Punct (geometrie)

În geometrie, punctul este un concept primitiv . Intuitiv este echivalent cu o entitate spațială adimensională, deci poate fi considerată pur și simplu ca o poziție, adică ca o coordonată .

În topologie și analiză matematică , un punct este adesea numit orice element al unui spațiu topologic și, în special, al unui spațiu funcțional .

Definiția punctului

În Elementele lui Euclid , punctul este pentru prima dintre definițiile primei cărți, care indica faptul că punctul este cel care nu are părți. Ideea este entitatea fundamentală a geometriei și este lipsită de orice dimensiune. Această definiție este ostensivă, adică nu are valoare logică, dar servește pentru a indica cu ce se dorește să se ocupe.

Cu axiomatizarea riguroasă a geometriei efectuată de David Hilbert în Grundlagen der Geometrie punctul, împreună cu linia dreaptă și planul , devine una dintre noțiunile primitive de geometrie și, prin urmare, nu este definit. Trebuie remarcat faptul că ar fi, de asemenea, posibil să se găsească geometria presupunând noțiunea de regiune ca primitivă și definind punctele prin intermediul unor clase adecvate de „regiuni din ce în ce mai mici”. Cercetările în această direcție, începând cu unele analize ale lui Alfred North Whitehead , se numesc Geometrie fără puncte .

Mulți preferă să definească aceste trei entități fundamentale ale geometriei și să definească punctul ca entitate care, deși reală, nu are dimensiuni.

Puncte în geometria euclidiană

Un punct din geometria euclidiană nu are magnitudini de niciun fel ( volum , suprafață , lungime ) și nu prezintă în general alte caracteristici decât poziția sa. Postulatele lui Euclid afirmă în unele cazuri existența punctelor; un exemplu: dacă două linii dintr-un plan nu sunt paralele, există exact un punct care aparține ambelor.

Se spune că trei sau mai multe puncte din spațiu sunt aliniate dacă sunt conținute pe o linie dreaptă. Se spune că patru sau mai multe puncte din spațiu sunt coplanare dacă sunt conținute într-un plan.

Proprietate

În geometria euclidiană punctul este legat de celelalte entități geometrice fundamentale , cum ar fi linia dreaptă și planul . De exemplu:

Liniile infinite trec prin fiecare punct din plan.
O singură linie dreaptă trece prin două puncte.
Un singur plan trece prin trei puncte care nu sunt aliniate.
O singură circumferință trece prin trei puncte care nu sunt aliniate.
O linie sau o linie dreaptă este o succesiune infinită de puncte.

Puncte în geometria carteziană

În geometria carteziană a planului și spațiului euclidian, un punct este identificat printr-un set ordonat de coordonate . Deci, un punct din spațiul tridimensional este reprezentat de un triplet ordonat de numere, de exemplu: $P=(2,6,9).$ ${\ displaystyle P = (2,6,9).}$ ${\ displaystyle P = (2,6,9).}$

În general, un punct într-un spațiu euclidian de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este o succesiune de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ numere. În acest context, punctele pot fi identificate cu vectori (aplicați în origine).

Proprietățile enumerate mai sus pot fi extinse la un spațiu euclidian de dimensiuni arbitrare după cum urmează:

Pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ puncte care nu sunt cuprinse într-un subspatiu afin de dimensiune $n-2$ ${\ displaystyle n-2}$ $n-2$ trece unul și un singur subspatiu afin de dimensiune $n-1.$ ${\ displaystyle n-1.}$ ${\ displaystyle n-1.}$

Sau pot fi extinse la obiecte curbate , cum ar fi curbe și suprafețe , de exemplu după cum urmează:

Una și o singură conică trece prin cinci puncte ale planului (unde fiecare triază nu este aliniată).

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « punct »
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe punctul

Controlul autorității	GND ( DE ) 4298379-4

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică