Suprafață conică

O suprafață conică circulară

În matematică, o suprafață conică este o suprafață generată de mișcarea rigidă a unei linii drepte numite generatrix de -a lungul punctelor unei circumferințe numite directrix și pentru un punct fix numit vârf , nu coplanar cu acesta. Toate generatoarele se întâlnesc la vârf , care le împarte în două jumătăți de linie care sunt numite clape ale suprafeței conice . În special, pot exista două tipuri de conice: când delta ^{[ ce ar fi delta? ]} este o conică , nu degenerată, se generează așa-numitul con quadric ^[1] , altfel, atunci delta ^{[ ce ar fi delta? ]} nu este o curbă conică, conul se numește con generic . Prin urmare, trebuie avut în vedere faptul că cilindrul este considerat ca un caz particular al unui con având un vârf plasat la o distanță infinită .

Conform tipului de conic care are ca con director drept un con cvadric , se obține următoarea clasificare:

Con circular : obținut din mișcarea unei linii drepte $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , numită generatrix , în jurul unei alte linii drepte $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , axa de rotație menționată , în starea în care aceste linii drepte $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ Și $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ sunt coplanare între ele. În acest fel, prin secționarea acelui con cu un plan perpendicular pe axă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și nu trecând prin vârful său, există o circumferință ca directoare dreaptă a aceluiași con.
Con eliptic .
Con hiperbolic .

Ecuații

O suprafață conică $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ poate fi descris parametric ca:

S(t,u)=v+uq(t),

{\ displaystyle S (t, u) = v + uq (t),}

{\ displaystyle S (t, u) = v + uq (t),}

cu $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ vârful suprafeței e $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ directorul său.

O suprafață circulară conică circulară de deschidere $2\theta$ ${\ displaystyle 2 \ theta}$ ${\ displaystyle 2 \ theta}$ , a cărui axă este axa $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , iar cu vârful originea, este descrisă prin următoarea parametrizare:

S(t,u)=(u\sin \theta \cos t,u\sin \theta \sin t,u\cos \theta ),

{\ displaystyle S (t, u) = (u \ sin \ theta \ cos t, u \ sin \ theta \ sin t, u \ cos \ theta),}

{\ displaystyle S (t, u) = (u \ sin \ theta \ cos t, u \ sin \ theta \ sin t, u \ cos \ theta),}

unde este $t\in [0,2\pi )$ ${\ displaystyle t \ in [0,2 \ pi)}$ ${\ displaystyle t \ in [0,2 \ pi)}$ Și $u\in (-\infty ,\infty )$ ${\ displaystyle u \ in (- \ infty, \ infty)}$ ${\ displaystyle u \ in (- \ infty, \ infty)}$ . În forma implicită, aceeași suprafață este descrisă de ecuație $S(x,y,z)=0$ ${\ displaystyle S (x, y, z) = 0}$ ${\ displaystyle S (x, y, z) = 0}$ , unde este:

S(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.

{\ displaystyle S (x, y, z) = (x ^ {2} + y ^ {2}) (\ cos \ theta) ^ {2} -z ^ {2} (\ sin \ theta) ^ {2 }.}

{\ displaystyle S (x, y, z) = (x ^ {2} + y ^ {2}) (\ cos \ theta) ^ {2} -z ^ {2} (\ sin \ theta) ^ {2 }.}

Mai general, o suprafață conică circulară dreaptă, cu vârful său la origine și axa sa paralelă cu vectorul $\mathbf {d}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$ ${\ mathbf {d}}$ , de deschidere $2\theta$ ${\ displaystyle 2 \ theta}$ ${\ displaystyle 2 \ theta}$ , este dat de ecuația vectorială implicită $S(\mathbf {x} )=0$ ${\ displaystyle S (\ mathbf {x}) = 0}$ ${\ displaystyle S (\ mathbf {x}) = 0}$ , unde este:

S(\mathbf {x} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} )^{2}-(\mathbf {d} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )(\cos \theta )^{2},

{\ displaystyle S (\ mathbf {x}) = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {d}) ^ {2} - (\ mathbf {d} \ cdot \ mathbf {d}) (\ mathbf {x } \ cdot \ mathbf {x}) (\ cos \ theta) ^ {2},}

{\ displaystyle S (\ mathbf {x}) = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {d}) ^ {2} - (\ mathbf {d} \ cdot \ mathbf {d}) (\ mathbf {x } \ cdot \ mathbf {x}) (\ cos \ theta) ^ {2},}

sau:

S(\mathbf {x} )=\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} -|\mathbf {d} ||\mathbf {x} |\cos \theta ,

{\ displaystyle S (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {d} - | \ mathbf {d} || \ mathbf {x} | \ cos \ theta,}

{\ displaystyle S (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {d} - | \ mathbf {d} || \ mathbf {x} | \ cos \ theta,}

unde este $\mathbf {x} =(x,y,z)$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x, y, z)}$ ${\ mathbf {x}} = (x, y, z)$ , Și $\mathbf {x} \cdot \mathbf {d}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {d}}$ denotă produsul punct.

În $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ 3$ , o suprafață conică cu directoare eliptică, este dată de următoarea ecuație omogenă de grad 2:

S(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+2uxy+2vyz+2wzx=0.

{\ displaystyle S (x, y, z) = ax ^ {2} + de ^ {2} + cz ^ {2} + 2uxy + 2vyz + 2wzx = 0.}

{\ displaystyle S (x, y, z) = ax ^ {2} + de ^ {2} + cz ^ {2} + 2uxy + 2vyz + 2wzx = 0.}

Bibliografie

^ Un con cvadric poate fi definit ca o proiecție a unei conice (dintr-un centru de „vârf” în afara planului său). În schimb, secțiunea unui con cvadric cu un plan care nu trece prin vârf este o conică. Enriques F., Lecții de geometrie proiectivă. Ed. Italiană 1898. str. 208

Elemente conexe

linkuri externe

Secțiuni circulare ale unui con eliptic , pe assex.altervista.org .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Un con cvadric poate fi definit ca o proiecție a unei conice (dintr-un centru de „vârf” în afara planului său). În schimb, secțiunea unui con cvadric cu un plan care nu trece prin vârf este o conică. Enriques F., Lecții de geometrie proiectivă. Ed. Italiană 1898. str. 208

[1]