Perspectivă

Vedere în perspectivă într-o ilustrație a artistului Giacomo Barozzi (1644)

Perspectiva este un set de proiecții și procedee de natură geometrică - matematică care permit construirea imaginii unei figuri a spațiului pe un plan , proiectând-o dintr-un centru de proiecție plasat la o distanță finită.

Prin urmare, este o proiecție centrală sau conică. Specificația este utilă pentru a o deosebi de perspectiva paralelă , o modalitate alternativă, chiar dacă nu în uz curent, de apelare a axonometriilor . Comunitatea parțială a termenilor se datorează faptului că axonometria, din motive structurale legate de determinarea imaginii pe un singur plan, poate fi văzută ca un caz particular de perspectivă, atunci când centrul de proiecție, în loc să fie un punctul corect, este la nesfârșit.

De asemenea, pentru perspectiva centrală, care este configurată ca o aplicare directă a uneia dintre metodele de reprezentare aparținând corpului de geometrie descriptivă , se aplică cerința substituibilității între figura obiectivă și proiecția acesteia. Aceasta înseamnă că, având în vedere figura din spațiu, trebuie să fie întotdeauna posibilă determinarea imaginii sale pe un plan, deoarece, invers, având în vedere imaginea, trebuie să fie posibilă urmărirea configurației figurii în spațiu.

Dar această reciprocitate nu poate fi obținută în măsură deplină și imediată, așa cum se întâmplă pentru proiecțiile paralele , deoarece în perspectiva centrală același obiect, proiectat din același punct de vedere pe planuri la distanțe diferite de acesta, dă naștere la imagini similare, dar de diferite dimensiuni. Prin urmare, pentru a urmări dimensiunile reale ale obiectului, este necesar să se introducă în imagine elemente metrice de referință auxiliare care să permită rezolvarea problemei. În contextul perspectivei, cerința substituibilității găsește o aplicație semnificativă în fotogrametrie , care în unele cazuri folosește proceduri particulare, chiar și de o complexitate considerabilă.

Celebrul pod Golden Gate din San Francisco . O fotografie normală este complet asemănătoare cu o perspectivă ^[1] . În aparatul camerei , imaginea este suprafața sensibilă a filmului, centrul de proiecție este al doilea punct nodal al obiectivului, în timp ce distanța dintre centru și imagine este dată de distanța focală principală a obiectivului; liniile proiectante sunt razele de lumină.

Etimologie

Perspectiva medievală, dintr-un abac din secolul al XV-lea

Din punct de vedere lingvistic, cuvântul „perspectivă” este forma nominală feminină a „prospectivului”, derivând la rândul său din latina târzie „prospectivus”, „care asigură vederea” ^[2] . În domeniul studiilor optice medievale, perspectiva a indicat însăși optica ( perspectiva naturalis ) ^[3] , înțeleasă ca percepție vizuală. În special, a indicat practica măsurării distanțelor și lungimilor inaccesibile prin detectarea indirectă ^[4] .

Istoria perspectivei

Antichitate

Perspectiva a fost prima dintre metodele de reprezentare obișnuite care erau, ca să spunem așa, codificate. Cu toate acestea, nu există referiri la aceasta în vechile tratate clasice de geometrie și pierderea totală a marelui tablou grecesc de perete nu ne permite să știm cu certitudine dacă acei pictori au folosit sau nu proceduri tehnice utile pentru o reprezentare corectă în perspectivă a realității. Din rămășițele evidente ale picturii romane care au supraviețuit, în mare parte derivate din subiecte elenistice, putem observa o capacitate matură de a obține întrezături, dar trasarea liniilor care definesc mediile arhitecturale este foarte aproximativă și sugerează că, cel puțin în mediul roman, metodele operaționale pentru obținerea efectelor de perspectivă în imagini au fost destul de intuitive.

Evul Mediu

Ambrogio Lorenzetti , Buna Vestire (1344), Galeria Națională de Tablouri din Siena

În perioada bizantină și în Evul Mediu timpuriu, problemele legate de mimesis în reprezentare au fost aproape complet neglijate, întrucât scopul artelor figurative a fost evocarea transcendentului și din acest motiv au fost elaborate și trăsături stilistice foarte rafinate, lăsând deoparte cu toate acestea, chiar și în mod deliberat, căutarea efectelor unui realism obiectiv în imagini. Abia de la sfârșitul secolului al XIII-lea , și mai ales cu opera picturală a lui Giotto , restituirea iluzionistă a realității și a corpului figurilor a devenit din nou o temă de interes primordial și un obiectiv de atins în reprezentări. Prin urmare, era inevitabil să se dezvolte căutarea expedienților și a procedurilor care vizau obținerea de figurări care corespund într-un fel tipului de percepție vizuală a ființei umane. Deja la mijlocul secolului al XIV-lea , rezultatele erau departe de a fi neglijabile, dovadă fiind Buna Vestire de Ambrogio Lorenzetti păstrată în Galeria Națională de Tablouri din Siena , pictată pe lemn în 1344 .

Renașterea timpurie

Masaccio, Trinitate (1425-1427), Santa Maria Novella , Florența

Melozzo, frescă în cupola Sacristiei San Marco din sanctuarul Loreto

La începutul secolului al XV-lea, de către marele arhitect florentin Filippo Brunelleschi a avut loc un prim salt de calitate, se poate spune de natură științifică. Prin studii și experiențe efectuate cu ajutorul instrumentelor optice, Brunelleschi a ajuns la o procedură metodologică de reprezentare a clădirilor în perspectivă, pe care a ilustrat-o grafic în două tăblițe din păcate pierdute, reprezentând respectiv baptisteriul văzut de la ușa Santa Maria del Fiore, Piazza della Signoria și Palazzo Vecchio, dar pe care le cunoaștem practic datorită primei discuții scrise despre acest subiect, De Pictura ( 1434 - 1436 ), scrisă de umanistul și arhitectul Leon Battista Alberti , căruia Perspectiva Urbino este atribuită de unii critici.

Prin urmare, originile procedurilor utile pentru obținerea unei reprezentări corecte în perspectivă trebuie căutate în activitatea și voința artiștilor. Un rezultat admirabil, cu siguranță puternic influențat de descoperirile lui Brunelleschi și care precedă scrierile lui Alberti, poate fi văzut în celebra Trinitate a lui Masaccio din Santa Maria Novella din Florența .

La fel de importantă este și opera lui Melozzo da Forlì , un erudit foarte riguros al perspectivelor și al privirilor (așa cum recunoaște Vasari ), citat de exemplu de Luca Pacioli și, mai presus de toate, inițiatorul unui nou tip de perspectivă: „El a fost primul care a pictează vremurile cu arta de jos în sus , cea mai dificilă și cea mai riguroasă ”, spune Luigi Lanza. ^[5]

Contribuția lui Alberti a fost, de asemenea, decisivă, tocmai datorită formei sale scrise. Relația de stimă reciprocă și prietenie cu Brunelleschi a fost, fără îndoială, importantă, martoră în „Prologul” versiunii „ Pictura în limba toscană ” a lui De Pictura , dedicată arhitectului mai în vârstă și în care autorul îi cere prietenului său să îl corecteze. „Dacă ce crezi că o poți modifica ”. Începutul documentat al tratamentului științific al perspectivei poate fi urmărit înapoi la această lucrare împărțită în trei cărți, dintre care prima conține aspecte matematice, sau mai degrabă de ordin geometric.

Mai târziu, alți mari artiști renascențiali au lăsat scrieri pe această temă: Piero della Francesca în De prospectiva pingendi , un tratat în limba populară compus în deceniul al optulea al secolului al XV-lea și Leonardo da Vinci cu notații și demonstrații împrăștiate în manuscrisele sale (în special în Manuscrisul A , datat din 1492 și păstrat la Institutul Franței din Paris ). Este potrivit să subliniem modul diferit de a privi problema lui Leonardo, comparativ cu artiștii generațiilor anterioare. În timp ce Alberti, având în vedere relația dintre imagine și obiectul real, se concentrează pe relațiile de proporționalitate, Leonardo se concentrează mai scurt pe similitudine , una dintre proprietățile care vor fi fundamentale în stimularea dezvoltărilor teoretice ulterioare și, cu mentalitatea omului de știință, mai spune: „perspectiva este nimic altceva decât să știi să-ți dai seama de biroul ochiului ". ^[6]

Renașterea matură

Anonim, oraș ideal ( 1470 - 1475 circa), Galeria Națională Marche din Urbino , a cărei reprezentare în perspectivă este o emblemă a raționalizării spațiului urban din orașul ideal , așa cum a fost înțeles în secolul al XV-lea.

În absența unei baze matematice sigure, cercetarea asupra fenomenului percepției vizuale a fost efectuată cu instrumente foarte simple, premise pentru „prospectografii” folosiți în secolele următoare sau cel mult cu camere întunecate rudimentare. Dintre aceste instrumente și utilizarea lor, pe lângă descrierile literare, avem reprezentări clare în unele bine-cunoscute gravuri pe lemn de Albrecht Dürer , inserate ca ilustrații în tratatul său adresat tinerilor artiști, Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt ( Nürnberg , 1525 ), cu un text german pentru prima ediție germanică, apoi tradus în latină cu titlul Institutionum Geometricarum libri quattuor și publicat postum la Paris în 1532 , cu o prefață a lui Erasmus de Rotterdam .

Lucrarea este, de asemenea, cunoscută deoarece conține aplicații clare ale dublei proiecții ortogonale , printre primele care sunt atât de sigur documentate ^[7] . Xilografia menționată mai sus arată cum dintr-o poziție fixă, privind obiectul printr-o sticlă fixată pe un cadru sau prin detectarea poziției punctelor proiecției sale pe o ușă, este posibil să se atragă privirea perfectă.

Perspectivă și proporții ale Mona Lisa, Museo del Prado, Madrid

Dürer, care făcuse două călătorii în Italia în 1494 și 1505 , a contribuit foarte mult la popularizarea noilor teorii din Europa de Nord, în special cu imensa sa operă grafică .

Interesul pasionat al pictorilor în perspectivă nu a fost indus doar de dorința de a găsi expeditori pentru a ajunge la o reprezentare mimetică corectă a realității. În plus față de a conferi sprijin științific artei, cercetarea a avut ca scop dovedirea unei concepții filosofice despre lume , bazată pe o ordine rațională distribuită peste toată creația. Această funcție și-a atins maxima expresie în perioada dintre activitatea târzie a lui Piero della Francesca și primele decenii ale secolului al XVI-lea, înainte ca manierismul să se insinueze pentru a rupe echilibrul viziunii anterioare. Gândiți-vă, de exemplu, la fresca lui Rafael din camera Segnatura din Vatican , cunoscută sub numele de Școala din Atena . Această scenă, amplasată în spațiul grandios definit de stâlpi și bolțile învăluitoare din centru, este o alegorie a universului vizibil, precum fresca plasată în fața aceleiași camere, Disputa Sacramentului (sau mai degrabă Triumful Euharistia ) este a celui invizibil.

În cele două secole de aur ale Renașterii, artiștii erau, prin urmare, interesați aproape exclusiv de problema perspectivei. Personalitățile menționate anterior nu erau însă lipsite de cunoștințe matematice și, în cazul lui Piero della Francesca, există un adevărat cunoscător al subiectului, atât de mult încât poate fi definit ca un topograf talentat. Fiind în principal pictori și neputând trece dincolo de limite înguste la nivel teoretic, dat fiind că instrumentele matematice disponibile erau încă substanțial cele cunoscute în vechea epocă elenistică , aspectul căruia îi acordau cea mai mare atenție a fost efectul gradării de tonuri și de culori în raport cu distanța de la punctul de observație, până când dispar la orizont. Au discutat și au scris multe, adică pe ceea ce se numește „ perspectiva aeriană ”, de origine nordică și venețiană din care chiar și Leonardo s-a inspirat.

Cazare teoretică

În a doua jumătate a secolului al XVI-lea , subiectul a început să-i intereseze pe erudiții care nu aparțin domeniului artei, atât în ​​Italia, cât și în afara acestuia. Și, în același timp, a existat un al doilea salt de calitate, determinat de dorința de a acorda un aranjament teoretic procedurilor executive sugerate până atunci. Acest lucru poate fi văzut deja în lucrarea lui Guidobaldo del Monte din Pesaro ^[8] și în cea a flamandului Simon Stevin ^[9] .

Jacopo Barozzi da Vignola , Cele două reguli ale perspectivei practice , 1682

În tratatul lui Guidobaldo del Monte și chiar mai mult în paralelismele Ad Vitellionem ale lui Kepler ^[10] , în partea dedicată conicelor, pare să simtă nevoia enunțării unei propoziții care admite incidența liniilor paralele. Lyonezul Girard Desargues (deja autor al unui scurt tratat de perspectivă publicat în 1636 ^[11] ) va ajunge la acest rezultat în proiectul său Brouillon d'une atteinte aux événements des rencontres d'un cône avec un plan ^[12] , studiu original asupra conicelor în care, printre altele, problema dificilă a modului în care un cerc poate fi obținut prin disecarea unui con non-circular cu un plan, nu numai eliptic, ci și parabolic sau hiperbolic, este rezolvată proiectiv, în funcție de poziția avionul.

Desargues, pentru Brouillon și pentru teorema sa asupra triunghiurilor omologice, are dreptul de a fi considerat inițiatorul autentic al geometriei proiective . Pentru ideea de a lua în considerare liniile paralele care se intersectează la un punct la infinit, el a fost lăudat deschis de Descartes . Conceptul de punct necorespunzător care a fost implicit introdus a deschis calea justificării teoretice a procedurii constructive a perspectivei, permițând să dea punctului de dispariție o interpretare pur geometric-matematică.

Brook Taylor a dat un impuls de o importanță primară acestei sarcini, realizată complet numai între sfârșitul secolului al XVIII-lea și începutul secolului al XIX-lea , cu cea de-a doua ediție a tratatului său de perspectivă, intitulată Noi principii ale perspectivei liniare (Londra, 1719 ). În el se folosește pentru prima dată denumirea „perspectivă liniară” și se formulează propoziții impecabile pentru determinarea „punctului de dispariție” al unei linii drepte date care nu este paralel cu imaginea și a „liniei de dispariție” a unui plan dat nu paralel cu poza. Prima este definită ca o intersecție cu imaginea unei linii drepte paralele cu cea dată de ochiul observatorului, a doua identificată ca o intersecție cu imaginea unui plan paralel cu cel dat care trece prin același ochi. Înlocuind ochiul cu centrul de proiecție, avem descrierea exactă a modului în care se obțin puncte și linii de fugă.

Perspectiva „de jos” (imagine orizontală văzută de jos)

Andrea Pozzo , Gloria di Sant'Ignazio (1691-1694), frescă pe bolta bisericii Sant'Ignazio din Roma

Experiențele acumulate de-a lungul a mai mult de trei secole au fost de așa natură încât, în secolul al XVIII-lea , nu mai existau secrete privind modul de configurare grafică a unei perspective; Printre numeroasele conotații și valori pe care perspectiva și le-a asumat în cursul istoriei sale, utilizarea sa în scopuri iluzioniste nu trebuie cu siguranță uitată. Deși acesta este un aspect din ce în ce mai puțin sau mai puțin inerent în imaginile obținute cu acesta, un interes deosebit pentru simulare este evidențiat de o anumită venă de pictură , când cu aceasta doriți să anulați soliditatea zidăriei pentru a vă deschide iluziv spre cer, dar deseori și alegoric, plafoane și bolți . O primă realizare realizată și celebră a acestei tendințe poate fi admirată în Camera degli Sposi de Andrea Mantegna în Palazzo Ducale din Mantua , cu fresce în anii de la începutul anului 1470 .

Dar maestrul considerat exemplar pentru perspectiva „de jos în sus” este, tot în secolul al XV-lea , Melozzo da Forlì , cu capodoperele sale din Roma , Loreto și Forlì . Trecând, după el, prin numeroase experiențe, dintre care cele mai evidente episoade sunt în secolul al XVI-lea decorarea domului și tamburul de bază al catedralei din Parma de Correggio și în secolul al XVII-lea fresca de Pietro da Cortona de pe bolta a sălii Palatului Barberini din Roma ( Triumful Providenței Divine ), ajunge la vârful cărării, în realizarea efectelor care stârnesc mirarea și uimirea, cu isprava starețului Andrea Pozzo în naosul central al bisericii Sant ' Ignazio în Roma ( Gloria Sfântului Ignatie ). Trebuie avut în vedere faptul că frescele sunt pictate pe suprafețe curbate și, pentru a se asigura că privirea lor de sub liniile arhitecturale și figurile nu par deformate, pictorii au fost nevoiți să recurgă la expedienți tehnici similari anamorfozei , studiați și de către dezvoltarea suprafeței curbate pe cutii plate, care au fost apoi curbate pentru a controla efectele vizuale ale designului.

Dorința de a extinde iluziv spațiul arhitectural către o spațialitate nelimitată și-a găsit acceptarea pe scară largă în Europa centrală, susținută de aprobarea monarhilor și a comandării ordinelor religioase. În teritoriile germană, austriacă și boemă - moraviană a fost etalată de pictori talentați, precum Johann Michael Rottmayr , elvețianul Johann Rudolf Byss , a cărui decorare pe bolta scării castelului Pommersfelden este menționată și Cosmas Damian , acesta din urmă activ, de asemenea, ca arhitect și lucrează deseori în simbioză cu fratele său Egid Quirin, care se ocupa de decorarea din stuc plastic cu virtuozitate excepțională. De Cosmas Damian, care a lăsat o serie de lucrări notabile în clădiri în principal religioase, vrem să ne amintim aici de fresca în perspectivă clară și strălucitoare din biserica abațială din Osterhofen ( 1729 - 1735 ), unde amintirea vie a picturii pe pânză de Andrea Pozzo este evident, reprezentând o cupolă falsă ( 1685 ) și plasat în biserica Sant'Ignazio din Roma, un mare tondo pe care pictorul bavarez îl văzuse în timpul șederii sale romane, care a durat între 1711 și 1713 .

Influența lui Pozzo în Europa centrală, precum și prestigiul de care se bucura, au fost favorizate de șederea sa la Viena în ultimii șapte ani din viața sa; faima tratatului său Perspectivae pictorum atque architectorum , ilustrat cu peste o sută de tabele grafice, publicat la Roma în 1693 , apoi la Augusta în 1706 și 1719 , cu un text german alături de cel latin, a contribuit cu siguranță la răspândirea învățăturii sale ^[13] . Notă Figura 100 a lucrării publicate pe web de Universidad de Sevilla (pagina 314), în care sunt desenate secțiunile longitudinale și transversale ale unui mediu arhitectural nu foarte diferit de Sf. Ignatie și în care pozițiile percepute sunt indicate de un observator plasat în centrul navei, a ceea ce este de fapt dislocat pe suprafața bolții; totul este apoi proiectat pe o suprafață orizontală virtuală, situată la înălțimea obturatorului. Tocmai prezența acestui plan în figură este foarte indicativă a procedurii tehnice care trebuie urmată pentru proiectarea compozițiilor, care pot fi asimilate perspectivelor de imagine oblice de dedesubt sau pot apărea ca perspective frontale în care planul imaginilor are a suferit o rotație de 90 ° pentru a-și asuma poziția orizontală ^[14] .

Predilecția pentru acest tip de realizări, care au avut și funcții de sărbătoare, întrucât satisfăceau nevoia monarhilor de a-și confirma pretinsa învestitură divină cu lucrări vizibile și, în același timp, s-au împrumutat să ofere un fel de epifanie a adevărului catolic Biserică față de acel protestant , a avut un epilog triumfal cu opera lui Giambattista Tiepolo , în imensele fresce ale reședinței episcopului prinț din Würzburg ( 1751 - 1753 ) și în Palatul Regal din Madrid ( 1762 - 1766 ). Dispozitive tehnice similare cu cele adoptate pentru lucrări de dimensiuni mari au fost utilizate, deși au avut ca rezultat mai puțin impresionante, de către pictorii de peisaje și patrulateriști în a doua jumătate a secolului al XVII-lea și pe tot parcursul secolului al XVIII-lea.

Perspectivă solidă

Printre complexul de expedienți implementat cu scopuri speciale, trebuie să ne amintim și de cei care creează așa-numitele „perspective solide”, în care efectul liniilor este compus cu cel al reliefului plastic, chiar și pentru a obține spații care par mai adânci decât în realitate nu sunt. O tehnică cel mai probabil utilizată deja în scenografiile teatrale în perioada elenistică și romană, a fost reînviată în Renaștere și în epoca barocă și au fost date exemple memorabile ale acesteia, precum corul bisericii Santa Maria din San Satiro din Milano , de Donato Bramante , părți ale scenei Teatrului Olimpico din Vicenza , creată de Vincenzo Scamozzi pentru a finaliza proiectul de Andrea Palladio , și galeria Palazzo Spada din Roma, de Francesco Borromini . Acum tehnica este evident studiată în școlile de scenografie, deoarece rămâne un factor de utilizare recurentă în scenele de teatru.

Nașterea geometriei descriptive

Urmând itinerariul istoric parcurs până acum, înțelegem cum abilitatea practică desăvârșită a decoratorilor și ilustratorilor din secolul al XVIII-lea nu a avut încă un echivalent deplin în conștientizarea teoretică a problemei. Totuși, acest lucru a fost atins la scurt timp după aceea. Marele salt științific și tehnologic care s-a maturizat în secolul al XVIII-lea a necesitat, de asemenea, o amenajare a descoperirilor făcute în secolele anterioare, determinându-le să fie inserate corect în diferitele ramuri ale cunoașterii, conform unei viziuni organice de coerență și apartenență. În ceea ce privește cunoștințele legate de tipurile de reprezentare atribuibile geometriei , procesul a fost, fără îndoială, favorizat de nevoile care au apărut treptat în domeniul proiectării bunurilor materiale, pentru a căror producție meșteșugul a fost înlocuit tot mai mult de sistemul industrial .

Mai ales, datorită culturii științifice franceze, care a atins un nivel foarte ridicat în a doua jumătate a secolului al XVIII-lea, pentru că a dat un răspuns adecvat la diferitele cereri. De fapt, Gaspard Monge a fost primul care a ordonat materia, făcându-l un organism coordonat de proporții vaste, stabilind, de asemenea, exact cerințele pe care o procedură trebuie să le îndeplinească pentru a fi considerate o „ metodă de reprezentare ”. Lui îi datorăm numele de „ geometrie descriptivă ” și primul tratat pe această temă ^[15] , o colecție de lecții care au avut ediții succesive și numeroase și care s-au răspândit rapid în afara granițelor franceze, contribuind la promovarea cercetării și dezvoltărilor în câmp.

Metoda cunoscută sub numele său, deși deja utilizată pentru anumite aplicații particulare cu mult înainte, a fost teoretizată de el și a devenit fundamentul geometriei descriptive. Cu toate acestea, lucrarea citată nu conține referințe la perspectivă, care în orice caz a avut un rol în lecțiile autorului său și a fost apoi inserată în același corp al noii științe împreună cu metoda care specifică fiecare aspect teoretic, adică cea a proiecției centrale, dezvoltată de Jean -Victor Poncelet . Faima și importanța acestuia din urmă, deja student al lui Monge la École Polytechnique , se datorează și mai ales Traité des propriétés projectives des figures (Paris, 1822 , ediția I), dedicată studiului proprietăților cifrele rămân nealterate în ciuda transformărilor pe care le suferă figurile în sine prin operații de proiecție și secțiune .

Definindu-le ca proprietăți proiective și distingându-le de alte proprietăți geometrice care nu sunt, el a fondat „geometria proiectivă” ca un corp separat de celelalte active ale geometriei. O separare menținută apoi și mai târziu, când polul de conducere al studiilor, la sfârșitul secolului al XIX-lea, sa mutat din Franța în Germania . În acest context compozit, perspectiva, văzută într-o perspectivă care îi detectează pe deplin conotațiile, este configurată ca un set de elemente capabile să conecteze cele două ramuri ale geometriei fondate de Monge și Poncelet.

Era contemporana

În vremuri mai recente, au fost propuse concepții fuzioniste menite să depășească diviziunile care pot fi considerate doar evidente, concepte care fac parte dintr-o dezbatere de proporții foarte largi și care tind să caute bazele structurale pe care este construită întreaga clădire a matematicii , cu rețeaua sa infinită de conexiuni și articulații. Cu toate acestea, aceste cercetări nu au contestat teoria fondatoare încă considerată cea mai valabilă, cea a mulțimilor . Cu toate acestea, toate acestea lasă deoparte operatorul care folosește din punct de vedere tehnic un anumit grup de elemente, chiar dacă fac parte dintr-o imensă construcție sau chiar dintr-un univers în sine, deoarece matematica este înțeleasă în conformitate cu concepția neoplatonică a lui Roger Penrose . Metodele descriptive de reprezentare sunt, de fapt, încă cele definite în secolul al XIX-lea, cu singurele modificări aduse obiceiurilor operatorilor de reglementările tehnice, pentru a standardiza convențiile grafice pentru a face documentele lizibile fără nicio ambiguitate.

În domeniul picturii, este evident că perspectiva nu mai îndeplinește nicio funcție întrucât artiștii, cel puțin cei mai reprezentativi, au rupt decisiv firul unei continuități care, în trecut, a durat de la preistorie până la aproape întreg secolul al XIX-lea. Avangardele secolului al XX-lea , începând cu cubismul , vizează expresii și efecte care nu au nimic în comun cu obiectivele unei perspective. Acesta, pe de altă parte, rămâne un instrument de investigare și verificare foarte valid pentru planificatori , arhitecți și designeri și pentru a produce imagini ale bunurilor concepute sau construite pentru a fi supuse atenției clienților și potențialilor cumpărători.

În aceste scopuri, o resursă care oferă performanțe din diferite puncte de vedere extrem de superioare execuției manuale este cea constituită de computerele electronice . Astăzi sunt disponibile aplicații software cu care este posibil să se obțină modele tridimensionale ale oricărui obiect, chiar pornind de la proiecțiile ortogonale ale acestuia, precum și vizualizarea mediilor și spațiilor virtuale care sunt complet similare cu cele reale. Apoi, este posibil să observăm aceste modele din orice punct de vedere, întorcându-ne în jurul lor sau intrând în ele, vizualizând contextual nenumărate perspective ale acestora. ^[16]

Ceea ce a fost spus și explicat nu anulează în niciun fel importanța cunoașterii structurii geometrice-matematice a perspectivei, a cărei validitate rămâne în orice caz neschimbată ca factor științific. Nu numai asta, deoarece numeroasele posibilități oferite de programele de computer, departe de a le diminua, le sporesc valabilitatea ca instrument de verificare și investigare, dincolo de faptul că o vedere în perspectivă este obținută de pe computer sau manual. Mai mult, în fazele de concepție și proiectare a activelor materiale atribuibile clădirilor, de orice fel ar fi acestea, lucrările grafice manuale rămân deseori un pas inevitabil.

Reprezentarea în perspectivă

Diagrama prezintă elementele fundamentale de referință ale unei perspective conice cu cadru vertical. Sono anche state disegnate sul quadro le immagini di due rette (in tratto grosso), giacenti sul piano geometrale e intersecantisi in un punto. I raggi proiettanti sono delineati in rosso. Il disegno è costruito come un'assonometria.

Gli elementi fondamentali necessari alla costruzione della prospettiva di una figura obiettiva, che si suppone data nello spazio, sono, come per ogni metodo di rappresentazione, il piano di proiezione, a cui si dà in genere il nome specifico di "quadro", e il centro di proiezione, chiamato normalmente "punto di vista" o "centro di vista". Per procedere operativamente nel disegno occorre anche fissare la posizione di alcuni elementi di riferimento, di seguito elencati. Un piano orizzontale, detto "piano di terra" o "piano geometrale", che intersecando il quadro fornisce la "linea di terra", luogo delle tracce di tutte le rette appartenenti allo stesso piano geometrale. La proiezione ortogonale del punto di vista sul piano geometrale individua il cosiddetto "punto di stazione", mentre la proiezione ortogonale dello stesso punto di vista sul quadro determina il "punto principale". L'intersezione del quadro con un piano orizzontale passante per il centro di vista è una retta denominata "linea d'orizzonte", parallela alla linea di terra e luogo delle fughe di tutte le rette orizzontali, ovvero retta di fuga di tutti i piani paralleli a quello geometrale. In alcuni casi può essere utile tracciare il "cerchio di distanza", che ha il centro nel punto principale, raggio uguale alla distanza del centro di vista dal quadro, ed è il luogo geometrico delle fughe di tutte le rette inclinate di 45° rispetto al quadro. È inoltre necessario disporre delle proiezioni ortogonali della figura obiettiva, la cui vista dall'alto, o pianta, viene di solito riportata sul piano di terra.

Occorre ancora tenere presente che la sintesi teorica della prospettiva va ricercata nel "metodo della proiezione centrale", o di Poncelet. Ma mentre questo si occupa della rappresentazione degli enti e degli elementi geometrici considerati nella loro astrattezza, e di dare corrette soluzioni dei problemi inerenti alle relazioni fra gli enti stessi, come l' appartenenza , il parallelismo , l' ortogonalità , il fine della prospettiva è di fornire immagini realistiche delle strutture oggettuali proiettate. In essa, la determinazione delle immagini degli enti geometrici fondamentali è comunque basata sulle loro proprietà, e sulla struttura tipica del metodo della proiezione centrale. Quindi per la retta, essendo essa individuata da due punti, occorre disporre della proiezione di questi per potere tracciare la sua immagine. I due punti più notevoli di detta immagine sono la traccia della retta, punto della sua intersezione col quadro, e la fuga della retta, proiezione sul quadro del suo punto improprio, che perciò si ottiene come intersezione col quadro della parallela alla retta condotta per il centro di vista. Ancora, l'immagine di un punto deve essere determinata come intersezione delle immagini di due rette passanti per esso. Infine, un piano è individuato dalla sua traccia, retta d'intersezione del piano stesso col quadro, e dalla sua fuga, proiezione sul quadro della sua retta all'infinito.

Operativamente, si può procedere o con due fogli separati, o con un unico foglio. Nel primo caso un foglio conterrà tutti gli elementi riportati sul piano di terra, e l'altro corrisponderà al quadro; nel secondo caso normalmente si dispone nella parte inferiore del foglio la vista dall'alto del piano di terra, e nella parte superiore il quadro a partire dalla linea di terra.

Nei confronti della figura obiettiva, il quadro può assumere infinite posizioni, come anche infinite inclinazioni rispetto al piano geometrale. Se ad esempio, fissato il centro di vista, il quadro si sposta rispetto alla figura obiettiva conservando la medesima giacitura, si otterranno, in corrispondenza delle diverse posizioni, delle immagini simili fra loro che sono casi di omotetia . Se invece si considerano le possibili e diverse inclinazioni del quadro, ovvero le sue variazioni di giacitura, si perviene alla determinazione dei tipi di prospettiva classificati dalla normativa tecnica, che sono la "prospettiva frontale" e la "prospettiva accidentale" quando il quadro è verticale, e la "prospettiva razionale" quando il quadro è inclinato.

Esempio di una prospettiva frontale (o centrale)

Esempio di una prospettiva d'angolo (o accidentale)

Esempio di una prospettiva razionale (oa quadro obliquo)

Esempio di una prospettiva d'angolo a quadro verticale di una composizione di parallelepipedi)

Per definire le caratteristiche fondamentali dei tre tipi di prospettiva sopra elencati, conviene riferire la figura obiettiva a una terna di assi cartesiani coordinati , due dei quali siano paralleli al piano geometrale e il terzo, di conseguenza, normale a esso. Per semplicità si pensi a un cubo o ad un parallelepipedo con tre spigoli concorrenti in uno stesso vertice, rispettivamente giacenti su ciascuno dei tre assi cartesiani, quindi con quel vertice coincidente con l'origine degli assi. Disponendo il quadro parallelo a due degli assi cartesiani, e prescindendo dall'aggiunta di rette ausiliarie necessarie alla costruzione dell'immagine, con gli elementi dello schema preso in esame è possibile individuare soltanto un punto di fuga proprio (quello delle rette con direzione normale al quadro, che è il punto principale). Si ha in questo caso la prospettiva di fronte (detta anche, tradizionalmente, "prospettiva centrale", terminologia dovuta alla posizione più frequentemente assegnata al punto principale nelle opere degli artisti rinascimentali. Tale denominazione non deve ingenerare confusione con la dizione relativa alle caratteristiche generali del sistema, che si avvale dei principi delle proiezioni centrali). Se il quadro è invece parallelo a un solo asse cartesiano, e di conseguenza obliquo agli altri due, con gli elementi dello schema si individuano due punti di fuga propri. Si configura in questo secondo caso la prospettiva accidentale (detta anche d'angolo). Se infine il quadro è obliquo a tutti tre gli assi cartesiani, si hanno tre punti di fuga propri e il caso più generale della prospettiva razionale (oa quadro inclinato).

Un'immagine prospettica, essendo improntata a caratteri di verosimiglianza, deve essere in grado di soddisfare esigenze di gradevolezza visiva, deve cioè corrispondere, per quanto possibile, al tipo di visione percepito dall'essere umano. Una perfetta corrispondenza fra immagini piane e quelle proiettate sul fondo dell'occhio non è però possibile, essendo le seconde distribuite su una superficie curva, ma si ottiene un'accettabile limitazione delle difformità assegnando al cosiddetto "cono visivo" un angolo di apertura opportuno. Detto cono ha vertice nel centro di vista e dovrebbe contenere tutti i raggi proiettanti passanti per gli infiniti punti della figura obiettiva; la sua intersezione col quadro è un cerchio (da non confondersi col cerchio di distanza) con centro nel punto principale, e il suo angolo di apertura non deve superare di norma i 60°. Il cerchio così ottenuto costituisce un limite di notevole importanza, poiché all'interno di esso la rappresentazione conserva requisiti di accettabilità, e sono evitate macroscopiche "aberrazioni" nelle immagini, così che queste appaiono assimilabili a quelle incluse nel campo visivo umano. La normativa tecnica è particolarmente restrittiva, prescrive infatti per l'angolo di apertura del cono visivo un'ampiezza massima di 35°.

Metodi esecutivi

Una suddivisione in differenti sistemi o metodi del complesso di operazioni finalizzate alla costruzione di prospettive, è del tutto convenzionale, in quanto i criteri per ottenere le immagini degli enti geometrici fondamentali sono sempre quelli indicati in "Generalità", qualunque sia il metodo seguito. La classificazione è comunque utile, ed è infatti adottata anche dalla normativa tecnica, per indicare diverse modalità di procedere onde determinare la prospettiva della pianta (o vista dall'alto) della struttura oggetto dell'operazione, soprattutto in riferimento alla scelta delle rette utili alla determinazione dei punti notevoli della struttura. Tale scelta è legata a fattori di economia grafica; inoltre, non sempre si procede utilizzando un solo metodo, ma in uno stesso disegno spesso si individuano gli elementi utili nella maniera che risulta più conveniente od immediata.

Disegno preparatorio per l'esecuzione della prospettiva riprodotta a fianco. Il quadro è stato disposto in modo che uno spigolo del primo gradino giaccia su di esso. La scala di rappresentazione delle proiezioni ortogonali è dimezzata rispetto a quella della prospettiva.

Prospettiva accidentale di una scala a tre rampe, eseguita col sistema dei punti misuratori. Si notino i ribaltamenti sul quadro dei raggi proiettanti utili a individuare le fughe delle due direzioni non orizzontali (esterne al campo del grafico), ciascuno con un estremo in un punto misuratore.

Per costruire l'immagine prospettica di una struttura oggettuale, si comincia normalmente col disegnare la prospettiva della sua vista dall'alto (o pianta ), vista che è data secondo il metodo delle proiezioni ortogonali (o del Monge). Solo in alcuni casi di prospettiva a quadro obliquo, può essere conveniente iniziare da livelli differenti.

Si consideri quindi riferita ai soli casi di quadro verticale, la descrizione di questa prima successione di operazioni. Detta pianta viene di solito riportata direttamente sul piano geometrale. Però, qualora il punto di vista fosse molto basso, e di conseguenza l'orizzonte vicino alla linea di terra, determinando un'immagine del geometrale molto schiacciata, onde ottenere risultati precisi si può disegnare la prospettiva della pianta prima su un piano virtuale collocato più in basso, per poi riportare la posizione dei punti nella loro giusta collocazione al disopra della linea di terra. Completata questa prima fase, occorre determinare l'immagine dei punti della struttura nella loro effettiva configurazione spaziale. A tale scopo è necessario conoscerne le reali quote (cioè le loro altezze sul piano geometrale), rilevabili da prospetti e sezioni anch'esse date mediante il metodo del Monge.

Le operazioni da eseguire sono assai semplici, perché nella prospettiva frontale e in quella accidentale la fuga delle rette verticali è un punto improprio, e le immagini di tali rette rimangono verticali. Basta quindi riportare sul quadro, in posizione opportuna, le quote reali nella scala assegnata al disegno, per poi determinare, sempre attraverso le intersezioni delle immagini prospettiche di due rette per ciascuno dei punti, le proiezioni effettive di essi nello spazio. La fuga di una retta non orizzontale, ovviamente non sta sull'orizzonte. Qualora sia necessario individuarla, occorre disegnare sul quadro il ribaltamento del raggio proiettante parallelo alla retta, ribaltamento che si immagina avvenire intorno al punto di fuga cercato ed è rappresentato da una linea inclinata sull'orizzonte di un angolo uguale a quello di pendenza della retta nello spazio; l'intersezione fra il raggio ribaltato e la verticale condotta per la fuga della proiezione orizzontale della retta, fornisce il punto cercato. I disegni riportati in questa sezione illustrano chiaramente i procedimenti fin qui e di seguito descritti.

Metodo dei punti di distanza

Prospettiva frontale di un solido ottenuta con il "metodo dei punti di distanza". In questo caso il punto principale si trova in posizione laterale.

Fra i vari procedimenti esecutivi dotati di caratteristiche particolari, e tali da poter essere definiti, seppur convenzionalmente, dei metodi, il primo a essere adoperato fu quello dei punti di distanza. Esso è infatti il sistema impiegato dai maestri toscani del primo Quattrocento, ma anche da artisti come Mantegna e Melozzo da Forlì , ed usato costantemente fino al Cinquecento inoltrato. Si è già definito in "Generalità" il cerchio di distanza, che può anche essere riguardato come il luogo di tutti i possibili ribaltamenti sul quadro del centro di vista. Dai pittori venivano sfruttati i due punti della sua intersezione con l'orizzonte, fughe delle rette orizzontali inclinate di 45º rispetto al quadro. Queste due direzioni, essendo le stesse delle diagonali di quadrati giacenti sul piano geometrale e con i lati rispettivamente ortogonali e paralleli al quadro, permettevano di determinare in modo facile e rapido la prospettiva dei pavimenti, da cui i pittori partivano per poi completare l'ambientazione architettonica del dipinto. Il procedimento è conveniente e ancora applicato per l'esecuzione manuale delle prospettive frontali.

Il disegno riportato a lato rappresenta la prospettiva di un solido ottenuto da un originario esaedro, tagliando di sguincio tutti i suoi dodici spigoli. I due punti di fuga sull'orizzonte sono il punto principale a destra e un punto di distanza a sinistra. L'immagine prospettica è costruita secondo i criteri già descritti. Si richiama l'attenzione sulla figura disegnata al disotto della linea di terra, che è una vista dall'alto del solido appartenente al piano geometrale e ribaltata, con una rotazione di 90º, sullo stesso quadro. Non ci si lasci quindi confondere dall'apparente direzione delle rette inclinate di 45º rispetto alla linea di terra. La loro reale posizione nello spazio richiede per esse, quale punto di fuga, il punto di distanza fissato a sinistra sull'orizzonte.

Metodo del taglio

Anche il metodo chiamato del taglio si può far risalire all'originaria concezione dell'Alberti di considerare la "pittura non altro che intersegazione della pirramide visiva, secondo data distanza, posto il centro e constituiti i lumi, ...." ( Della pittura , Libro I, 12; dove "pittura" è intesa chiaramente in un'accezione più tecnica che artistica). La sua sistemazione fu però completata nei secoli successivi al quindicesimo. Non è un procedimento molto pratico per l'esecuzione manuale, perché i punti utili a costruire l'immagine, al fine di conservare la precisione nel disegno, debbono essere riportati direttamente dalle intersezioni dei raggi proiettanti col quadro, individuate sulla vista dall'alto e su quella di profilo, e qualora sia necessario anche su una vista dal basso. Ciò comporta la necessità di avere molti grafici in un unico foglio, con la conseguenza di ottenere una prospettiva relativamente piccola rispetto all'estensione del campo su cui si opera.

Metodo dei punti di fuga

Costruzione di una prospettiva col sistema dei punti di fuga. Si noti come le tracce individuate sulla linea di terra occupino un'estensione maggiore che nel caso successivo.

Anche il metodo dei punti di fuga fu elaborato da artisti del passato prima di ricevere una sistemazione teorica nella visione organica del Poncelet. Lo si vede applicato in modo piuttosto corretto ad esempio in noti disegni e incisioni del bolognese Ferdinando Galli da Bibbiena (1657-1743), architetto e scenografo che già in vita godette di fama europea (Vedi collegamento esterno). Nella sua struttura sistemica, per la rappresentazione del punto il metodo fa ricorso a due rette fra loro perpendicolari, in modo che la fuga di ciascuna sia l' antipolare , rispetto al cerchio di distanza, della fuga del piano a essa ortogonale e passante per l'altra. Si esprime la condizione anche dicendo che le fughe delle due rette sono punti anticoniugati rispetto al cerchio di distanza. Non ci si sofferma qui sull'illustrazione di questa proprietà, che esula dai limiti della presente trattazione, e per la quale si rimanda allo studio del citato "metodo della proiezione centrale". Dal punto di vista operativo il procedimento è applicabile per strutture oggettuali in cui prevalgano spigoli orientati secondo due direzioni ortogonali fra loro, come accade in molti edifici di tipo tradizionale. Presenta l'inconveniente che le tracce delle rette condotte per punti viepiù lontani dal quadro, risultano notevolmente distanti dalla linea mediana del disegno, e molte di esse possono trovarsi all'esterno del foglio.

Metodo dei punti misuratori

Sistema dei punti misuratori. Come nel disegno precedente la scala delle proiezioni ortogonali è dimezzata rispetto a quella della prospettiva.

Per rendere più agevoli le operazioni grafiche, si ricorre frequentemente al metodo dei punti misuratori, l'ultimo in ordine di tempo a essere stato introdotto. In esso anziché ricorrere, per la rappresentazione del punto, a due rette fra loro ortogonali, si sceglie una prima retta in funzione della direzione più conveniente ai fini dell'economia grafica, e la seconda viene individuata dalla corda dell'arco di ribaltamento del punto sul quadro, facendo ruotare la prima intorno alla sua traccia, come risulta chiaramente dal disegno sopra riprodotto. Le fughe delle rette su cui si trovano le corde dei diversi archi di ribaltamento (due per le strutture caratterizzate da profili tutti ortogonali fra loro), si chiamano "punti misuratori" in quanto consentono di "misurare" la scansione delle distanze nell'immagine prospettica. Detto questo, si riconosce come anche i punti di distanza sull'orizzonte siano due particolari misuratori, fughe delle corde degli archi descritti da punti appartenenti a rette normali al quadro, quando queste vengono ribaltate. È questo un ulteriore elemento per capire come la suddivisione del procedimento costruttivo della prospettiva in diversi sistemi o metodi, sia un fatto puramente convenzionale, legato soprattutto all'evoluzione storica delle applicazioni.

Casi non ortogonali al piano di terra

Disegno preparatorio per l'esecuzione della prospettiva a quadro obliquo dall'alto del solido rappresentato.

Prospettiva a quadro obliquo dall'alto del solido rappresentato in proiezioni mongiane nella figura precedente. La costruzione dell'immagine ha avuto inizio dall'ellisse superiore. La scala delle distanze è la medesima nei due disegni.

Fin qui si sono esposte le operazioni da eseguire col presupposto di riferirsi a prospettive a quadro verticale. Qualora il quadro non sia ortogonale al piano di terra, si hanno i due casi di prospettiva a quadro obliquo dal basso ea quadro obliquo dall'alto. L'adozione di un piano inclinato per l'immagine, dipende dalle caratteristiche della figura obiettiva e dagli effetti che si vogliono ottenere. È quindi plausibile per strutture con grande sviluppo verticale e per la rappresentazione di vaste aree edificate, per le quali si adotta la vista da punti elevati, detta anche "a volo d'uccello". I principi generali attinenti alla rappresentazione degli enti geometrici fondamentali non mutano rispetto a quanto si è già detto, ma le costruzioni grafiche risultano decisamente più complesse di quelle che si eseguono per la prospettiva frontale e per quella accidentale. Nel caso generale di quadro obliquo ai tre assi cartesiani coordinati ai quali può essere riferita la figura obiettiva, si hanno, per le rette rispettivamente parallele ai tre suddetti assi, tre punti di fuga propri che sono vertici di un triangolo di cui il punto principale costituisce l' ortocentro .

Le ultime due figure sono esemplificative delle operazioni relative all'esecuzione manuale di una prospettiva a quadro obliquo. Nel disegno con la rappresentazione mongiana del solido oggetto dell'esercizio, è stato necessario eseguire il ribaltamento (equivalente a una terza proiezione) per determinare la posizione di tutti gli elementi utili. Il cerchio di distanza nella prospettiva è stato tracciato per metterne in evidenza la relazione con gli altri elementi, ma non è strettamente necessario in questo particolare caso, mentre quello più piccolo concentrico a esso è l'intersezione col quadro del cono visivo, all'interno del quale l'immagine non subisce aberrazioni fastidiose. Il disegno di una prospettiva richiede notevole precisione grafica, gli errori infatti si trasmettono da un'operazione all'altra anche ampliandosi. Per questo la posizione di alcuni punti è stata determinata incrociando fra loro i risultati di almeno due operazioni; le altezze delle due ellissi, immagini prospettiche dei cerchi individuati sulle due basi del solido, sono state verificate anche col metodo del taglio, che è possibile applicare al ribaltamento nella prima figura. Si nota come in complesso una prospettiva a quadro obliquo sia notevolmente più laboriosa di una a quadro verticale della stessa struttura oggettuale.

In riferimento all'uso dell'elaboratore elettronico, va da sé che l'analisi della struttura dei software adatti a visualizzare le prospettive di una singola figura obiettiva o di un loro insieme, esula completamente dai limiti della presente trattazione. Ciò non solo perché i programmi sono venduti a costi elevati e la loro struttura non è resa pubblica, o almeno non è completamente leggibile, ma anche perché tale analisi avrebbe significato solo se rapportata al metodo con cui l'elaboratore esegue le informazioni ricevute dal programma, in merito al loro trattamento.

Metodo del ribaltamento omologico (unificazione dei metodi storici)

I metodi di rappresentazione prospettica di cui sopra sono stati elaborati a volte empiricamente, anche se scientificamente corretti, prima di Poncelet, e non potevano, quindi, essere trattati con l'omologia, messa a punto dal Poncelet stesso nel suo trattato del 1822. Da allora, a seguito della definizione di prospettività, e di doppia prospettività in particolare, sarebbe stato logico aspettarsi che scomparissero dalla didattica della prospettiva, o vi prendessero parte solo come interesse storico.

In effetti, se sul quadro (piano di proiezione) si ribalta il piano di terra (possibilmente con la parte più lontana dall'osservatore ruotata nella parte superiore del quadro stesso) si vengono a trovate su di esso due figure, una quella ribaltata, e l'altra costituita dalla prospettiva della figura sul piano di terra. Quella prospettica, come noto, è la sezione della piramide visiva con centro nel punto di vista (occhio dell'osservatore), mentre quella ribaltata è la sezione di una proiezione cilindrica (o parallela) eseguita da un centro di proiezione improprio ortogonale al piano bisettore del diedro formato dai due piani in questione, e cioè il piano di terra e il quadro.

Poiché le due figure sul quadro sono state ottenute da due centri di proiezione differenti, tra loro intercorre una relazione di omologia, per cui punti omologhi sono allineati con il centro di omologia (costituito dall'intersezione della congiungente i due centri di proiezione sul quadro), e rette omologhe si incontrano sull'asse di omologia (costituito dalla retta comune ai due piani). Con queste considerazioni perde importanza la caratterizzazione metrica di parallelismo, ed è possibile usare un'unica metodologia esecutiva per i tre tipi di prospettiva (centrale, accidentale e razionale oa quadro inclinato).

Note

Bibliografia

• L. Berzolari, G. Vivanti, D. Gigli (a cura di), Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi , Volume II - Parte 2º, Ristampa anastatica, Ulrico Hoepli Editore, Milano, 1979 (L'opera è anche una preziosa fonte di minuziosa informazione bibliografica)
• Carl B. Boyer, Storia della matematica , Mondadori, Milano, 1980
• Anna Maria Brizio (a cura di), Leonardo da Vinci, Pensieri sull'Universo , UTET, Torino, 1952
• Dante Nannoni, Il mondo delle proiezioni, applicazioni della geometria descrittiva e proiettiva , Volume 1, 2, 3, Cappelli editore, Bologna, 1975
• Giuseppe Pacciarotti, La pittura del Seicento , Utet, Torino, 1997
• Roger Penrose, La strada che porta alla realtà, Le leggi fondamentali dell'universo , BUR Scienza, Milano, 2006
• Grigore Arbore Popescu, L'arte nell'età delle monarchie assolute , UTET, Torino, 1997
• Paolo Rossi (diretta da), Storia della scienza , Volume 1, 2 (tomo 1º e 2º), 3 (tomo 1º e 2º), Utet, Torino, 1988
• Pierluigi De Vecchi ed Elda Cerchiari, I tempi dell'arte , volume 2, Bompiani, Milano 1999. ISBN 88-451-7212-0

Voci correlate

• Geometria
• Enti geometrici impropri
• Prospettività
• Metodi di rappresentazione
• Campo visivo (geometria descrittiva)
• Fotogrammetria
• Disegno tecnico
• Camera oscura
• Agatarco

Altri progetti

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario « prospettiva »
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su prospettiva

Collegamenti esterni

• Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt , su digital.slub-dresden.de . URL consultato il 28 febbraio 2009 (archiviato dall' url originale il 1º giugno 2009) .
• Perspective menu , su fulltable.com .
• Trattato di Galli da Bibiena , su unav.es .
• Perspectivae Pictorum atque Architectorum , su fondosdigitales.us.es .
• I prospettografi: dalla storia alla scuola ( PDF ), su galileo.cincom.unical.it . URL consultato il 28 luglio 2019 (archiviato dall' url originale il 13 novembre 2012) .
• Le sezioni coniche ( DOC ), su dm.uniba.it . URL consultato il 19 febbraio 2009 (archiviato dall' url originale il 2 novembre 2012) .

Portale Arte

Portale Fotografia