Distanța unui punct față de un set
Această intrare sau secțiune despre geometrie nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În geometrie , distanța unui punct este măsura distanței unui punct față de o altă entitate geometrică din plan sau din spațiu . În general, această distanță este definită ca distanța minimă dintre punct și diferitele puncte ale entității geometrice:
- .
Distanța poate fi simplă pentru a calcula ce se întâmplă între două puncte definite sau mai complicată atunci când celălalt element este un set de puncte; în acest caz este mai întâi necesar să se identifice pe ce traiectorie liniară trebuie măsurată.
Calculul unor distanțe în geometria euclidiană
Distanța dintre două puncte
Distanța dintre două puncte este cea mai simplă de calculat, se măsoară de-a lungul liniei care trece prin cele două puncte; dacă vă aflați pe un plan cartezian cu coordonatele celor două puncte Și aplică doar teorema lui Pitagora
în spațiu cu coordonatele P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) și P 1 (x 1 , y 1 , z 1 )
Distanța unui punct de la o linie
Distanța unui punct față de o linie se măsoară de-a lungul distanței minime care poate fi identificată, adică de-a lungul segmentului care începe de la punct și intersectează linia ortogonal .
În plan cartezian , coordonatele punctelor
- Ecuația implicită a liniei ,
- Ecuația explicită a liniei
Demonstrație |
---|
Distanța dintre și este lungimea segmentului , unde este este punctul de intersecție al cu linia perpendiculară pe trecând prin . Să presupunem inițial că fie originea. Luând în considerare condiția perpendicularității, se obțin coordonatele punctului rezolvarea sistemului: Prin urmare și lungimea segmentului este dat de: De sine ne întoarcem la cazul precedent prin traducerea axelor. În referință linia este reprezentat de ecuația: . Trecând peste dovada anterioară, este ușor să ajungem la formula pe care am vrut să o dovedim. |
Distanța unui punct față de un plan
În spațiu, distanța unui punct față de un plan se măsoară de-a lungul liniei care trece prin punctul care intersectează planul perpendicular
Într-un sistem tridimensional de coordonate considerăm coordonatele punctului
Ecuația planului
Printre aplicațiile acestei relații, trebuie remarcat faptul că, de exemplu, distanța dintre centrul unei sfere și un plan tangent la aceasta este egală cu lungimea razei sferei în sine.
Distanța unui punct de la o suprafață
Distanța dintre un punct și o suprafață generică este mai complicată de calculat. De asemenea, poate exista o altă distanță notabilă, distanța maximă , definită ca distanța maximă dintre punctele de suprafață și punctul dat. De exemplu, distanța minimă a unui punct față de o sferă este diferența dintre distanța punctului de la centrul sferei și raza sferei, în timp ce distanța lor maximă este suma acestor două lungimi (distanța punctului din centrul sferei și raza sferei).