Funcția omografică

În matematică , o funcție de ecuație generică (în formă normală) se numește funcție omografică $y={\frac {ax+b}{cx+d}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {ax + b} {cx + d}}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {ax + b} {cx + d}}}$ .

Discuţie

Graficul funcției omografice ca parametri a, b, c, d variază. O linie paralelă cu axa x este reprezentată în roșu

(a\cdot d=b\cdot c)

{\ displaystyle (a \ cdot d = b \ cdot c)}

{\ displaystyle (a \ cdot d = b \ cdot c)}

, în albastru o linie dreaptă cu coeficientul unghiular diferit de zero (c = 0), în verde o hiperbolă echilaterală se referă la asimptotele sale traduse.

De sine $c=0$ ${\ displaystyle c = 0}$ $c = 0$ asa de $y={\frac {a\cdot x}{d}}+{\frac {b}{d}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {a \ cdot x} {d}} + {\ frac {b} {d}}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {a \ cdot x} {d}} + {\ frac {b} {d}}}$ , care este ecuația unei linii drepte cu un coeficient unghiular ${a \over d}$ ${\ displaystyle {a \ over d}}$ ${\ displaystyle {a \ over d}}$ , care intersectează axa y în punctul ordonat ${b \over d}$ ${\ displaystyle {b \ over d}}$ ${\ displaystyle {b \ over d}}$ .

Dacă produsul mixt al coeficienților $a\cdot d=b\cdot c$ ${\ displaystyle a \ cdot d = b \ cdot c}$ ${\ displaystyle a \ cdot d = b \ cdot c}$ , atunci poate fi înlocuit $d={\frac {b\cdot c}{a}}$ ${\ displaystyle d = {\ frac {b \ cdot c} {a}}}$ ${\ displaystyle d = {\ frac {b \ cdot c} {a}}}$ și, prin urmare, prin colectarea unui factor comun, $y={\frac {a(ax+b)}{c(ax+b)}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {a (ax + b)} {c (ax + b)}}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {a (ax + b)} {c (ax + b)}}}$ , ceea ce simplifică dă $y={\frac {a}{c}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {a} {c}}}$ $y = {\ frac {a} {c}}$ , adică o linie dreaptă paralelă cu axa x care reprezintă asimptota orizontală a funcției omografice (Același rezultat se obține prin exploatarea definiției limitei, adică $y=\lim _{x\to +\infty }{\frac {(ax+b)}{(cx+d)}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x(a+{\frac {b}{x}})}{x(c+{\frac {d}{x}})}}={\frac {a+0}{c+0}}={\frac {a}{c}}$ ${\ displaystyle y = \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {(ax + b)} {(cx + d)}} = \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac { x (a + {\ frac {b} {x}})} {x (c + {\ frac {d} {x}})}}} = {\ frac {a + 0} {c + 0}} = {\ frac {a} {c}}}$ ${\ displaystyle y = \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {(ax + b)} {(cx + d)}} = \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac { x (a + {\ frac {b} {x}})} {x (c + {\ frac {d} {x}})}} = {\ frac {a + 0} {c + 0}} = {\ frac {a} {c}}}$ care este asimptota orizontală).

De sine $c\neq 0$ ${\ displaystyle c \ neq 0}$ ${\ displaystyle c \ neq 0}$ Și $a\cdot d\neq b\cdot c$ ${\ displaystyle a \ cdot d \ neq b \ cdot c}$ ${\ displaystyle a \ cdot d \ neq b \ cdot c}$ , atunci funcția omografică reprezintă o hiperbolă echilaterală cu asimptote paralele cu axele de coordonate. În special, asimptotele au ecuație $y={\frac {a}{c}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {a} {c}}}$ $y = {\ frac {a} {c}}$ Și $x=-{\frac {d}{c}}$ ${\ displaystyle x = - {\ frac {d} {c}}}$ ${\ displaystyle x = - {\ frac {d} {c}}}$ .

Hiperbola tradusă

Sub condiția $c\neq 0$ ${\ displaystyle c \ neq 0}$ ${\ displaystyle c \ neq 0}$ Și $a\cdot d\neq b\cdot c$ ${\ displaystyle a \ cdot d \ neq b \ cdot c}$ ${\ displaystyle a \ cdot d \ neq b \ cdot c}$ este posibil să se demonstreze că funcția omografică $y={\frac {ax+b}{cx+d}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {ax + b} {cx + d}}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {ax + b} {cx + d}}}$ se obține din traducerea unei hiperbole echilaterale de tipul $f(x)={\frac {k}{x}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {k} {x}}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {k} {x}}}$ (în formă canonică $xy=k$ ${\ displaystyle xy = k}$ ${\ displaystyle xy = k}$ ) care are asimptotele coincidente cu axele carteziene.

În primul rând, are loc împărțirea dintre polinoamele numărătorului și numitorului $(ax+b):(cx+d)$ ${\ displaystyle (ax + b) :( cx + d)}$ ${\ displaystyle (ax + b) :( cx + d)}$ .

Cocientul este $Q={\frac {a}{c}}$ ${\ displaystyle Q = {\ frac {a} {c}}}$ ${\ displaystyle Q = {\ frac {a} {c}}}$ iar restul este $R={\frac {bc-ad}{c}}$ ${\ displaystyle R = {\ frac {bc-ad} {c}}}$ ${\ displaystyle R = {\ frac {bc-ad} {c}}}$ și de aceea se obține

$y={\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {R}{cx+d}}+Q={\frac {\frac {R}{c}}{x+{\frac {d}{c}}}}+Q={\frac {R'}{x+{\frac {d}{c}}}}+{\frac {a}{c}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {ax + b} {cx + d}} = {\ frac {R} {cx + d}} + Q = {\ frac {\ frac {R} {c}} {x + {\ frac {d} {c}}}} + Q = {\ frac {R '} {x + {\ frac {d} {c}}}} + {\ frac {a} {c}}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {ax + b} {cx + d}} = {\ frac {R} {cx + d}} + Q = {\ frac {\ frac {R} {c}} {x + {\ frac {d} {c}}}} + Q = {\ frac {R '} {x + {\ frac {d} {c}}}} + {\ frac {a} {c}}}$ .

Funcția omografică se obține de la f (x) prin:

o traducere orizontală (cu originea tradusă în $-{\frac {d}{c}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {d} {c}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {d} {c}}}$ ) Și
o traducere verticală a termenului ${\frac {a}{c}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {c}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {c}}}$

Prin urmare, vectorul de traducere este ${\overrightarrow {v}}\left(-{\frac {d}{c}};{\frac {a}{c}}\right)$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {v}} \ left (- {\ frac {d} {c}}; {\ frac {a} {c}} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {v}} \ left (- {\ frac {d} {c}}; {\ frac {a} {c}} \ right)}$ , ecuațiile de traducere sunt $\left\{{\begin{matrix}x'=x-{\frac {d}{c}}\\y'=y+{\frac {a}{c}}\end{matrix}}\right.$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '= x - {\ frac {d} {c}} \\ y' = y + {\ frac {a} {c}} \ end {matrix} } \ dreapta.}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '= x - {\ frac {d} {c}} \\ y' = y + {\ frac {a} {c}} \ end {matrix} } \ dreapta.}$