Matrice însoțitoare

În algebră liniară , matricea însoțitoare a polinomului monic de grad n :

P(X)=c_{0}+c_{1}X+\dots +c_{n-1}X^{n-1}+X^{n}

{\ displaystyle P (X) = c_ {0} + c_ {1} X + \ dots + c_ {n-1} X ^ {n-1} + X ^ {n}}

{\ displaystyle P (X) = c_ {0} + c_ {1} X + \ dots + c_ {n-1} X ^ {n-1} + X ^ {n}}

este matricea pătrată de ordinul n având $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ pe prima supra-diagonală și coeficienții de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , semn schimbat, pe ultima linie:

C_{P}={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &1&\ddots &\vdots \\\vdots &&\ddots &\ddots &0\\[1ex]0&\cdots &\cdots &0&1\\[1ex]-c_{0}&-c_{1}&\cdots &\cdots &-c_{n-1}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle C_ {P} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ ddots & 1 & \ ddots & \ vdots \\\ vdots && \ ddots & \ ddots & 0 \\ [1ex] 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & 1 \\ [1ex] -c_ {0} & - c_ {1} & \ cdots & \ cdots & -c_ {n-1} \ end { pmatrix}}}

{\ displaystyle C_ {P} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ ddots & 1 & \ ddots & \ vdots \\\ vdots && \ ddots & \ ddots & 0 \\ [1ex] 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & 1 \\ [1ex] -c_ {0} & - c_ {1} & \ cdots & \ cdots & -c_ {n-1} \ end { pmatrix}}}

Unii autori numesc matricea transpusă a celei anterioare, adică matricea cu matrice însoțitoare $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ pe prima sub-diagonală și coeficienții de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , semn schimbat, pe ultima coloană:

C_{P}^{t}={\begin{pmatrix}0&\cdots &\cdots &0&-c_{0}\\1&\ddots &&\vdots &-c_{1}\\0&1&\ddots &\vdots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots \\[1ex]0&\cdots &0&1&-c_{n-1}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle C_ {P} ^ {t} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & -c_ {0} \\ 1 & \ ddots && \ vdots & -c_ {1} \\ 0 & 1 & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 & \ vdots \\ [1ex] 0 & \ cdots & 0 & 1 & -c_ {n-1} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle C_ {P} ^ {t} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & -c_ {0} \\ 1 & \ ddots && \ vdots & -c_ {1} \\ 0 & 1 & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 & \ vdots \\ [1ex] 0 & \ cdots & 0 & 1 & -c_ {n-1} \ end {pmatrix}}}

Proprietate

Matricea însoțitoare a $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ are polinom caracteristic și polinom minim egal cu $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ ; valorile sale proprii sunt rădăcinile $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .
Pentru fiecare rădăcină $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ din $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , vectorul $(1,\alpha ,\alpha ^{2},\dots ,\alpha ^{n-1})^{t}$ ${\ displaystyle (1, \ alpha, \ alpha ^ {2}, \ dots, \ alpha ^ {n-1}) ^ {t}}$ ${\ displaystyle (1, \ alpha, \ alpha ^ {2}, \ dots, \ alpha ^ {n-1}) ^ {t}}$ este un vector propriu al $C_{P}$ ${\ displaystyle C_ {P}}$ ${\ displaystyle C_ {P}}$ cu valoare proprie $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ . În special, dacă toate rădăcinile $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ sunt distincte atunci $C_{P}$ ${\ displaystyle C_ {P}}$ ${\ displaystyle C_ {P}}$ poate fi diagonalizat printr-o matrice Vandermonde .
Pentru fiecare câmp $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ matricea $C_{P}$ ${\ displaystyle C_ {P}}$ ${\ displaystyle C_ {P}}$ exprimă multiplicarea cu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pe inel $k(X)/P(X)$ ${\ displaystyle k (X) / P (X)}$ ${\ displaystyle k (X) / P (X)}$ , exprimat ca un spațiu vectorial pe $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ cu baza $\{1,X,X^{2},\dots ,X^{n-1}\}$ ${\ displaystyle \ {1, X, X ^ {2}, \ dots, X ^ {n-1} \}}$ ${\ displaystyle \ {1, X, X ^ {2}, \ dots, X ^ {n-1} \}}$ . În special, dacă $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este ireductibil pe $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ Și $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este rădăcina sa, $C_{P}$ ${\ displaystyle C_ {P}}$ ${\ displaystyle C_ {P}}$ exprimă multiplicarea cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ pe teren $k(\alpha )$ ${\ displaystyle k (\ alpha)}$ ${\ displaystyle k (\ alpha)}$ .
De sine $LA$ {\ displaystyle A} $LA$ este o matrice $n$ $\times$ $n$ {\ displaystyle n \ times n} $n \ ori n$ pe un câmp $K.$ {\ displaystyle K} $K.$ , propozițiile sunt echivalente:
- $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este similar cu matricea însoțitoare de pe $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ a propriului său polinom caracteristic;
- polinomul caracteristic al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este egal cu polinomul său minim;
- există un vector $v\in K^{n}$ ${\ displaystyle v \ în K ^ {n}}$ ${\ displaystyle v \ în K ^ {n}}$ astfel încât $\{v,Av,A^{2}v,\dots ,A^{n-1}v\}$ ${\ displaystyle \ {v, Av, A ^ {2} v, \ dots, A ^ {n-1} v \}}$ ${\ displaystyle \ {v, Av, A ^ {2} v, \ dots, A ^ {n-1} v \}}$ este o bază de $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ .

Nu toate matricile pătrate sunt similare cu o matrice însoțitoare, dar toate sunt similare cu o matrice bloc diagonală a matricelor însoțitoare; acestea din urmă pot fi alese astfel încât polinoamele lor să se împartă succesiv, astfel încât să fie determinate în mod unic. Această scriere este forma canonică rațională a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Bibliografie

( EN ) Roger A. Horn și Charles R. Johnson, Matrix Analysis , Cambridge, Marea Britanie, Cambridge University Press, 1985, pp. 146–147, ISBN 0-521-30586-1 . Adus la 10 februarie 2010 .
( EN ) Richard E. Bellman, Richard (1987), Introducere în analiza matricială , SIAM, ISBN 0898713994 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Companion Matrix , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică