Criteriul Routh-Hurwitz

În matematică , în special în algebra liniară , criteriul Routh - Hurwitz determină numărul de rădăcini cu parte reală pozitivă și negativă a unui polinom pornind de la coeficienții săi, îmbunătățind criteriul Descartes . Este util, de exemplu, pentru a determina stabilitatea unui sistem dinamic liniar și invariant în timp cu o singură intrare și o singură ieșire (SISO).

Derivare

Criteriul este legat de teorema Routh-Hurwitz : $a-b=w(+\infty )-w(-\infty )$ ${\ displaystyle ab = w (+ \ infty) -w (- \ infty)}$ $a-b = w (+ \ infty) -w (- \ infty)$ , unde este:

$la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este numărul rădăcinilor în afară de partea negativă reală a polinomului $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ ;
$b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este numărul rădăcinilor în afară de partea reală pozitivă a polinomului $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ ;
$w(x)$ ${\ displaystyle w (x)}$ $w (x)$ este numărul de variații ale secvenței Sturm obținute din $P_{0}(x)$ ${\ displaystyle P_ {0} (x)}$ $P_ {0} (x)$ Și $P_{1}(x)$ ${\ displaystyle P_ {1} (x)}$ $P_ {1} (x)$ (pentru iterațiile ulterioare ale algoritmului lui Euclid ) unde $f(ix)=P_{0}(x)+iP_{1}(x)$ ${\ displaystyle f (ix) = P_ {0} (x) + iP_ {1} (x)}$ $f (ix) = P_ {0} (x) + iP_ {1} (x)$ pentru un număr real $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Prin teorema fundamentală a algebrei , orice polinom de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ trebuie avut $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini complexe. Prin urmare, avem condiția ca. $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un polinom stabil (Hurwitz) dacă și numai dacă $a-b=n$ ${\ displaystyle ab = n}$ $a-b = n$ . Prin urmare, putem înlocui condiția de pe $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ cu o condiție pe secvența Sturm, care la rândul nostru ne va da o condiție pe coeficienții lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Descriere

Să se dea polinomul finit $p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{0}$ ${\ displaystyle p (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ ldots + a_ {0}}$ ${\ displaystyle p (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ ldots + a_ {0}}$ în care se presupune $a_{n}>0.$ ${\ displaystyle a_ {n}> 0.}$ ${\ displaystyle a_ {n}> 0.}$ Matricea Routh este construită:

\mathbf {R} (p)={\begin{bmatrix}a_{n}&a_{n-2}&a_{n-4}&a_{n-6}&\ldots \\a_{n-1}&a_{n-3}&a_{n-5}&\ldots \\b_{n-1}&b_{n-2}&\ldots &\\c_{n-2}&c_{n-3}&&\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {R} (p) = {\ begin {bmatrix} a_ {n} & a_ {n-2} & a_ {n-4} & a_ {n-6} & \ ldots \\ a_ { n-1} & a_ {n-3} & a_ {n-5} & \ ldots \\ b_ {n-1} & b_ {n-2} & \ ldots & \\ c_ {n-2} & c_ {n-3} && \ end {bmatrix}}}

{\ mathbf R} (p) = {\ begin {bmatrix} a_ {n} & a _ {{n-2}} & a _ {{n-4}} & a _ {{n-6}} & \ ldots \\ a_ {{n-1}} & a _ {{n-3}} & a _ {{n-5}} & \ ldots \\ b _ {{n-1}} & b _ { {n-2}} & \ ldots & \\ c_ {{n-2}} & c _ {{n-3}} && \ end {bmatrix}}

unde elementele $b_{i}$ ${\ displaystyle b_ {i}}$ $bi}$ iar cele ulterioare sunt legate de coeficienți. Fiecare element corespunde raportului dintre determinantul matricei compus din elementele celor două rânduri superioare, în prima coloană și în coloana care urmează celei a elementului, și primul coeficient (schimbat în semn) al rândului imediat deasupra elementul fiind calculat:

b_{n-1}={\frac {\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-2}\\a_{n-1}&a_{n-3}\end{vmatrix}}{-a_{n-1}}}

{\ displaystyle b_ {n-1} = {\ frac {\ begin {vmatrix} a_ {n} & a_ {n-2} \\ a_ {n-1} și a_ {n-3} \ end {vmatrix} } {-a_ {n-1}}}}

b _ {{n-1}} = {\ frac {{\ begin {vmatrix} a_ {n} & a _ {{n-2}} \\ a _ {{n-1}} & a _ {{ n-3}} \ end {vmatrix}}} {- a _ {{n-1}}}}

b_{n-2}={\frac {\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-4}\\a_{n-1}&a_{n-5}\end{vmatrix}}{-a_{n-1}}}

{\ displaystyle b_ {n-2} = {\ frac {\ begin {vmatrix} a_ {n} & a_ {n-4} \\ a_ {n-1} și a_ {n-5} \ end {vmatrix} } {-a_ {n-1}}}}

b _ {{n-2}} = {\ frac {{\ begin {vmatrix} a_ {n} & a _ {{n-4}} \\ a _ {{n-1}} & a _ {{ n-5}} \ end {vmatrix}}} {- a _ {{n-1}}}}

c_{n-2}={\frac {\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_{n-3}\\b_{n-1}&b_{n-2}\end{vmatrix}}{-b_{n-1}}}

{\ displaystyle c_ {n-2} = {\ frac {\ begin {vmatrix} a_ {n-1} & a_ {n-3} \\ b_ {n-1} & b_ {n-2} \ end { vmatrix}} {- b_ {n-1}}}}

c _ {{n-2}} = {\ frac {{\ begin {vmatrix} a _ {{n-1}} și a _ {{n-3}} \\ b _ {{n-1}} & b _ {{n- 2}} \ end {vmatrix}}} {- b _ {{n-1}}}}

c_{n-3}={\frac {\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_{n-5}\\b_{n-1}&b_{n-3}\end{vmatrix}}{-b_{n-1}}}

{\ displaystyle c_ {n-3} = {\ frac {\ begin {vmatrix} a_ {n-1} & a_ {n-5} \\ b_ {n-1} & b_ {n-3} \ end { vmatrix}} {- b_ {n-1}}}}

c _ {{n-3}} = {\ frac {{\ begin {vmatrix} a _ {{n-1}} și a _ {{n-5}} \\ b _ {{n-1}} & b _ {{n- 3}} \ end {vmatrix}}} {- b _ {{n-1}}}}

adică mai general

k_{i,j}={\frac {\begin{vmatrix}k_{i-2,1}&k_{i-2,j+1}\\k_{i-1,1}&k_{i-1,j+1}\end{vmatrix}}{-k_{i-1,1}}}

{\ displaystyle k_ {i, j} = {\ frac {\ begin {vmatrix} k_ {i-2,1} & k_ {i-2, j + 1} \\ k_ {i-1,1} & k_ {i -1, j + 1} \ end {vmatrix}} {- k_ {i-1,1}}}}

{\ displaystyle k_ {i, j} = {\ frac {\ begin {vmatrix} k_ {i-2,1} & k_ {i-2, j + 1} \\ k_ {i-1,1} & k_ {i -1, j + 1} \ end {vmatrix}} {- k_ {i-1,1}}}}

Construcția se termină imediat ce există o singură matrice pătrată cu determinant nul, adică doi coeficienți consecutivi cu o singură valoare fiecare. De fapt, acolo unde nu sunt prezente, elementele matricilor trebuie considerate nule.

Fiecare variație (permanență) a semnului coeficienților primei coloane corespunde unei rădăcini cu o parte reală pozitivă (negativă).

Prezența de zerouri pe prima coloană

În cazul în care un termen din prima coloană este nul, există patru metode diferite.

Prima metodă

Prin substituirea simbolului $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ să reprezinte un număr foarte mic în valoare absolută, având tendința de a $0^{+}$ ${\ displaystyle 0 ^ {+}}$ $0 ^ {+}$ oa $0^{-}$ ${\ displaystyle 0 ^ {-}}$ $0 ^ {-}$ .

Dacă celelalte numere din prima coloană sunt toate pozitive atunci $\varepsilon \to 0^{+}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ to 0 ^ {+}}$ $\ varepsilon \ to 0 ^ {+}$ .

Dacă celelalte numere din prima coloană sunt negative, atunci $\varepsilon \to 0^{-}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ to 0 ^ {-}}$ $\ varepsilon \ to 0 ^ {-}$ .

În caz contrar, trebuie luate în considerare ambele cazuri $\varepsilon \to 0^{+}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ to 0 ^ {+}}$ $\ varepsilon \ to 0 ^ {+}$ Și $\varepsilon \to 0^{-}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ to 0 ^ {-}}$ $\ varepsilon \ to 0 ^ {-}$ .

De exemplu:

\mathbf {R} (x^{5}+2x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+3x)={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&0\\0&3&0\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {R} (x ^ {5} + 2x ^ {4} + 2x ^ {3} + 4x ^ {2} + 3x) = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \ \\ end {bmatrix}}}

{\ mathbf R} (x ^ {5} + 2x ^ {4} + 2x ^ {3} + 4x ^ {2} + 3x) = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\\ end {bmatrix}}

devine prin înlocuirea acestuia cu $\varepsilon \to 0^{+}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ to 0 ^ {+}}$ $\ varepsilon \ to 0 ^ {+}$

\mathbf {R} (x^{5}+2x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+3x)={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&0\\\varepsilon &3&0\\{\frac {4\varepsilon -6}{\varepsilon }}&0&0\\3&0&0\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {R} (x ^ {5} + 2x ^ {4} + 2x ^ {3} + 4x ^ {2} + 3x) = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\\ varepsilon & 3 & 0 \\ {\ frac {4 \ varepsilon -6} {\ varepsilon}} & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

{\ mathbf R} (x ^ {5} + 2x ^ {4} + 2x ^ {3} + 4x ^ {2} + 3x) = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\\ varepsilon & 3 & 0 \\ {\ frac {4 \ varepsilon -6} {\ varepsilon}} & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}

se vede clar că $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ dar ${\frac {4\varepsilon -6}{\varepsilon }}<0$ ${\ displaystyle {\ frac {4 \ varepsilon -6} {\ varepsilon}} <0}$ ${\ frac {4 \ varepsilon -6} {\ varepsilon}} <0$

Această metodă este strict justificată numai atunci când polinomul nu are zerouri pe axa imaginară; din acest motiv, în unele cazuri, poate da naștere la erori (așa cum se poate vedea analizând $\mathbf {R} (x^{6}+x^{5}+3x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+2x+1)$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} (x ^ {6} + x ^ {5} + 3x ^ {4} + 3x ^ {3} + 3x ^ {2} + 2x + 1)}$ ${\ mathbf R} (x ^ {6} + x ^ {5} + 3x ^ {4} + 3x ^ {3} + 3x ^ {2} + 2x + 1)$ ).

A doua metodă

Polinomul dat poate fi înmulțit cu un binom cu zero negativ (adăugând astfel un zero negativ la polinom, permițând analiza semnelor celorlalte zerouri): fiind $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ polinomul original, trecem la studiul polinomului $p(x)\cdot (x-c)$ ${\ displaystyle p (x) \ cdot (xc)}$ $p (x) \ cdot (x-c)$

De exemplu:

\mathbf {R} (x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+6x+4)={\begin{bmatrix}1&3&4\\2&6&0\\0&4&0\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {R} (x ^ {4} + 2x ^ {3} + 3x ^ {2} + 6x + 4) = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

{\ mathbf R} (x ^ {4} + 2x ^ {3} + 3x ^ {2} + 6x + 4) = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\\ end {bmatrix}}

deci putem adăuga, de exemplu, un zero în -1:

p(x)\cdot (x+1)=x^{5}+3x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+10x+4

{\ displaystyle p (x) \ cdot (x + 1) = x ^ {5} + 3x ^ {4} + 5x ^ {3} + 9x ^ {2} + 10x + 4}

p (x) \ cdot (x + 1) = x ^ {5} + 3x ^ {4} + 5x ^ {3} + 9x ^ {2} + 10x + 4

\mathbf {R} (x^{5}+3x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+10x+4)={\begin{bmatrix}1&5&10\\3&9&4\\2&{\frac {26}{3}}&0\\-4&4&0\\{\frac {32}{3}}&0&0\\4&0&0\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {R} (x ^ {5} + 3x ^ {4} + 5x ^ {3} + 9x ^ {2} + 10x + 4) = {\ begin {bmatrix} 1 & 5 & 10 \ \ 3 & 9 & 4 \\ 2 & {\ frac {26} {3}} & 0 \\ - 4 & 4 & 0 \\ {\ frac {32} {3}} & 0 & 0 \\ 4 & 0 și 0 \\\ end {bmatrix}}}

{\ mathbf R} (x ^ {5} + 3x ^ {4} + 5x ^ {3} + 9x ^ {2} + 10x + 4) = {\ begin {bmatrix} 1 & 5 & 10 \\ 3 & 9 & 4 \\ 2 & {\ frac {26} {3}} & 0 \\ - 4 & 4 & 0 \\ {\ frac {32} {3}} & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}

A treia metodă

Se aplică și în prezența mai multor zerouri consecutive pe aceeași linie. Acesta constă în înlocuirea liniei în cauză cu șirul de numere obținut prin adăugarea la element $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -alea din linie elementul loc $i+j$ ${\ displaystyle i + j}$ $i + j$ în același rând înmulțit cu $(-1)^{j}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {j}}$ $(-1) ^ {j}$ , fiind $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ numărul primelor elemente nule.

De exemplu:

\mathbf {R} (x^{5}+5x^{3}+10x+4)={\begin{bmatrix}1&5&10\\0&0&4\\0&0&0\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {R} (x ^ {5} + 5x ^ {3} + 10x + 4) = {\ begin {bmatrix} 1 & 5 & 10 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

{\ mathbf R} (x ^ {5} + 5x ^ {3} + 10x + 4) = {\ begin {bmatrix} 1 & 5 & 10 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ \ end {bmatrix}}

În locul primei prime $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ (care este primul element non-nul al liniei) și înmulțiți-l cu $(-1)^{2}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {2}}$ $(-1) ^ {2}$ fiind $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ zerouri consecutive înainte $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ .

\mathbf {R} (x^{5}+5x^{3}+10x+4)={\begin{bmatrix}1&5&10\\4&0&4\\5&9&0\\-{\frac {36}{5}}&4&0\\{\frac {106}{9}}&0&0\\4&0&0\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {R} (x ^ {5} + 5x ^ {3} + 10x + 4) = {\ begin {bmatrix} 1 & 5 & 10 \\ 4 & 0 & 4 \\ 5 & 9 & 0 \\ - {\ frac {36} {5}} & 4 & 0 \\ {\ frac {106} {9}} & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

{\ mathbf R} (x ^ {5} + 5x ^ {3} + 10x + 4) = {\ begin {bmatrix} 1 & 5 & 10 \\ 4 & 0 & 4 \\ 5 & 9 & 0 \\ - {\ frac {36} {5}} & 4 & 0 \\ {\ frac {106} {9}} & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}

A patra metodă

Se poate întâmpla ca toți termenii unui rând să fie nul doar dacă rândul este de ordin neobișnuit; de fapt, cele două linii precedente trebuie să fie proporționale și, prin urmare, trebuie să aibă același număr de elemente (rețineți că atunci când treceți de la o linie impară la una pară, numărul de elemente nu se schimbă). În această împrejurare se poate concluziona că polinomul considerat este produsul a două polinoame: primul va avea zerouri care au o parte reală caracterizată prin variațiile semnului elementelor primei coloane a tabelului construite până acum ( zerouri ale $p_{1}(x)$ ${\ displaystyle p_ {1} (x)}$ $p_ {1} (x)$ în afară de realul pozitiv există atâtea variații de semn care au apărut în prima coloană a tabelului construită până în acel moment); al doilea polinom $p_{2}(x)$ ${\ displaystyle p_ {2} (x)}$ $p_ {2} (x)$ (care se numește ecuație auxiliară) este de grad egal cu indicele rândului care precede rândul care este anulat, are doar puteri de grad egal și coeficienții săi sunt în ordinea de la cel al gradului maxim la cel al gradului, i coeficienții rândului care precede cel care a fost anulat.

De exemplu:

\mathbf {R} (x^{5}+x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+x+1)={\begin{bmatrix}1&3&1\\1&3&1\\0&0&0\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {R} (x ^ {5} + x ^ {4} + 3x ^ {3} + 3x ^ {2} + x + 1) = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 1 \ \ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

{\ mathbf R} (x ^ {5} + x ^ {4} + 3x ^ {3} + 3x ^ {2} + x + 1) = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \ end {bmatrix}}

x^{5}+x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+x+1=p_{1}(x)p_{2}(x)

{\ displaystyle x ^ {5} + x ^ {4} + 3x ^ {3} + 3x ^ {2} + x + 1 = p_ {1} (x) p_ {2} (x)}

x ^ {5} + x ^ {4} + 3x ^ {3} + 3x ^ {2} + x + 1 = p_ {1} (x) p_ {2} (x)

$p_{1}(x)$ ${\ displaystyle p_ {1} (x)}$ $p_ {1} (x)$ este gradul I și are un zero negativ, $p_{2}(x)$ ${\ displaystyle p_ {2} (x)}$ $p_ {2} (x)$ de grad $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ numai cu puteri de ordine uniformă:

p_{2}(x)=x^{4}+3x^{2}+1

{\ displaystyle p_ {2} (x) = x ^ {4} + 3x ^ {2} +1}

p_ {2} (x) = x ^ {4} + 3x ^ {2} +1

Pentru $p_{2}(x)$ ${\ displaystyle p_ {2} (x)}$ $p_ {2} (x)$ putem calcula zerourile, dar dacă gradul este prea mare ar putea exista dificultăți. Apoi, construcția mesei poate fi reluată în alt mod. Se derivă $p_{2}(x)$ ${\ displaystyle p_ {2} (x)}$ $p_ {2} (x)$

p_{2}'(x)=4x^{3}+6x

{\ displaystyle p_ {2} '(x) = 4x ^ {3} + 6x}

p_ {2} '(x) = 4x ^ {3} + 6x

iar coeficienții rândului nul (în acest caz al treilea) sunt înlocuiți cu acești noi coeficienți:

\mathbf {R} (4x^{3}+6x)={\begin{bmatrix}1&3&1\\1&3&1\\4&6&0\\{\frac {3}{2}}&1&0\\{\frac {10}{3}}&0&0\\1&0&0\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {R} (4x ^ {3} + 6x) = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 4 & 6 & 0 \\ {\ frac {3 } {2}} & 1 & 0 \\ {\ frac {10} {3}} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

{\ mathbf R} (4x ^ {3} + 6x) = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 4 & 6 & 0 \\ {\ frac {3} {2 }} & 1 & 0 \\ {\ frac {10} {3}} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}

Observați că zerourile polinomului $p_{2}(x)$ ${\ displaystyle p_ {2} (x)}$ $p_ {2} (x)$ , cu puteri de numai grad egal, au o simetrie dublă față de fiecare axă a planului complex. Acest lucru asigură că, dacă nu există zero, altele decât partea reală pozitivă, toate sunt pe axa imaginară. Mai exact, a doua parte a tabelului trebuie interpretată după cum urmează: sunt numărate doar variațiile de semn corespunzătoare rădăcinilor cu partea reală pozitivă, pe care le indicăm cu $n p$ ${\ displaystyle np}$ $np$ ; sunt $nn=np$ ${\ displaystyle nn = np}$ $nn = np$ rădăcinile cu partea reală negativă (dată simetria dublă numită și simetria cadranului), dacă ecuația auxiliară este de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , apoi cele rămase $n-np-nn$ ${\ displaystyle n-np-nn}$ $n-np-nn$ rădăcinile se află pe axa imaginară. În exemplul nostru, ecuația auxiliară este gradul $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ , asa de $n=4$ ${\ displaystyle n = 4}$ $n = 4$ . Variațiile sunt $np=0$ ${\ displaystyle np = 0}$ $np = 0$ , deci există $nn=0$ ${\ displaystyle nn = 0}$ $nn = 0$ rădăcini în afară de negativul real și deci $4-0-0=4$ ${\ displaystyle 4-0-0 = 4}$ $4-0-0 = 4$ rădăcini pe axa imaginară.