Matricea Hurwitz

În matematică , o matrice pătrată se numește matrice Hurwitz dacă toate valorile proprii au o parte reală negativă . Pentru fiecare valoare proprie $\lambda _{i}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ $\ lambda _ {i}$ a matricei Hurwitz $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ecuația diferențială :

{\dot {x}}=Ax

{\ displaystyle {\ dot {x}} = Ax}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = Ax}

este stabil , adică $x(t)\to 0$ ${\ displaystyle x (t) \ to 0}$ ${\ displaystyle x (t) \ to 0}$ pentru $t\to \infty$ ${\ displaystyle t \ to \ infty}$ ${\ displaystyle t \ to \ infty}$ .

De sine $G(s)$ ${\ displaystyle G (s)}$ ${\ displaystyle G (s)}$ este o (matrice valorică) a unei funcții de transfer , $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este uneori numită funcția de transfer "Hurwitz" dacă polii tuturor elementelor din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ au o parte reală negativă. Se știe că matricea nu este necesară $G(s),$ ${\ displaystyle G (s),}$ ${\ displaystyle G (s),}$ este o matrice Hurwitz și nu trebuie neapărat să fie pătrată. Conexiunea este că dacă matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice Hurwitz, atunci sistemul dinamic :

{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)

{\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = Ax (t) + Bu (t)}

{\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = Ax (t) + Bu (t)}

y(t)=Cx(t)+Du(t)

{\ displaystyle y (t) = Cx (t) + Du (t)}

{\ displaystyle y (t) = Cx (t) + Du (t)}

este o funcție de transfer a lui Hurwitz.

Polinomiale

Având un adevărat polinom :

p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}

{\ displaystyle p (z) = a_ {0} z ^ {n} + a_ {1} z ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n-1} z + a_ {n}}

{\ displaystyle p (z) = a_ {0} z ^ {n} + a_ {1} z ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n-1} z + a_ {n}}

matricea Hurwitz corespunzătoare polinomului $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este matricea pătrată a dimensiunii $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ dat de:

H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle H = {\ begin {pmatrix} a_ {1} & a_ {3} & a_ {5} & \ dots & \ dots & \ dots & 0 & 0 & 0 \\ a_ {0} & a_ {2 } & a_ {4} &&&& \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & a_ {1} & a_ {3} &&&& \ vdots & \ vdots & \ vdots \\\ vdots & a_ {0} & a_ {2 } & \ ddots &&& 0 & \ vdots & \ vdots \\\ vdots & 0 & a_ {1} && \ ddots && a_ {n} & \ vdots & \ vdots \\\ vdots & \ vdots & a_ {0} &&& \ ddots & a_ {n-1} & 0 & \ vdots \\\ vdots & \ vdots & 0 &&&&& a_ {n -2} & a_ {n} & \ vdots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots &&&& a_ {n-3} & a_ {n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & \ dots & \ dots & a_ {n-4} & a_ {n-2} & a_ {n} \ sfârșit {pmatrix}}}

{\ displaystyle H = {\ begin {pmatrix} a_ {1} & a_ {3} & a_ {5} & \ dots & \ dots & \ dots & 0 & 0 & 0 \\ a_ {0} & a_ {2 } & a_ {4} &&&& \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & a_ {1} & a_ {3} &&&& \ vdots & \ vdots & \ vdots \\\ vdots & a_ {0} & a_ {2 } & \ ddots &&& 0 & \ vdots & \ vdots \\\ vdots & 0 & a_ {1} && \ ddots && a_ {n} & \ vdots & \ vdots \\\ vdots & \ vdots & a_ {0} &&& \ ddots & a_ {n-1} & 0 & \ vdots \\\ vdots & \ vdots & 0 &&&&& a_ {n -2} & a_ {n} & \ vdots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots &&&& a_ {n-3} & a_ {n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & \ dots & \ dots & a_ {n-4} & a_ {n-2} & a_ {n} \ sfârșit {pmatrix}}}

În 1895, Adolf Hurwitz a stabilit ( criteriul Routh-Hurwitz ) că un polinom este stabil (adică rădăcinile au o parte reală strict negativă) dacă și numai dacă toți minorii principali ai matricei de $H(p)$ ${\ displaystyle H (p)}$ ${\ displaystyle H (p)}$ sunt pozitive:

{\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta _ {1} (p) & = {\ begin {vmatrix} a_ {1} \ end {vmatrix}} && = a_ {1}> 0 \\ [2mm] \ Delta _ {2} (p) & = {\ begin {vmatrix} a_ {1} & a_ {3} \\ a_ {0} & a_ {2} \\\ end {vmatrix}} && = a_ {2} a_ {1} -a_ {0} a_ {3}> 0 \\ [2mm] \ Delta _ {3} (p) & = {\ begin {vmatrix} a_ {1} & a_ {3} & a_ {5 } \\ a_ {0} & a_ {2} & a_ {4} \\ 0 & a_ {1} & a_ {3} \\\ end {vmatrix}} && = a_ {3} \ Delta _ {2} -a_ {1} (a_ {1} a_ {4} -a_ {0} a_ {5})> 0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta _ {1} (p) & = {\ begin {vmatrix} a_ {1} \ end {vmatrix}} && = a_ {1}> 0 \\ [2mm] \ Delta _ {2} (p) & = {\ begin {vmatrix} a_ {1} & a_ {3} \\ a_ {0} & a_ {2} \\\ end {vmatrix}} && = a_ {2} a_ {1} -a_ {0} a_ {3}> 0 \\ [2mm] \ Delta _ {3} (p) & = {\ begin {vmatrix} a_ {1} & a_ {3} & a_ {5 } \\ a_ {0} & a_ {2} & a_ {4} \\ 0 & a_ {1} & a_ {3} \\\ end {vmatrix}} && = a_ {3} \ Delta _ {2} -a_ {1} (a_ {1} a_ {4} -a_ {0} a_ {5})> 0 \ end {align}}}

si asa mai departe. Minori $\Delta _{k}(p)$ ${\ displaystyle \ Delta _ {k} (p)}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {k} (p)}$ se numesc determinanți ai lui Hurwitz .

Bibliografie

( EN ) Hassan K. Khalil (2002). Sisteme neliniare . Prentice Hall.
( EN ) Siegfried H. Lehnigk, Pe matricea Hurwitz ^{[ link rupt ]} , Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP) , mai 1970
( EN ) Matrici Hurwitz-Radon revizuite: De la soluția eficientă Hurwitz a ecuațiilor matricei până la periodicitatea Bott ^{[ legătură întreruptă ],} în Mathematical Survey Lectures 1943-2004, Springer Berlin Heidelberg, 2006
Bernard A. Asner, Jr., Despre nonegativitatea totală a matricei Hurwitz , SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 18, No. 2 (martie, 1970)
( EN ) Dimitar K. Dimitrov și Juan Manuel Peña, Pozitivitate totală aproape strictă și o clasă de polinoame Hurwitz ^{[ link rupt ]} , Journal of Approximation Theory, Volumul 132, Numărul 2 (februarie 2005)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) EN Kuz'min, criteriul Routh-Hurwitz , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Matricea Hurwitz , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică