Ecuația de gradul cinci

Graficul unui polinom de gradul cinci.

În matematică , o ecuație de gradul cinci este definită ca o ecuație polinomială în care gradul maxim al necunoscutului este al cincilea. În forma canonică, arată

ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,

{\ displaystyle ax ^ {5} + bx ^ {4} + cx ^ {3} + dx ^ {2} + ex + f = 0,}

ax ^ {5} + bx ^ {4} + cx ^ {3} + dx ^ {2} + ex + f = 0,

unde este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este variabila necunoscută și $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ Și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ sunt numere reale cu ≠ 0.

Căutarea soluțiilor

Teorema fundamentală a algebrei implică faptul că fiecare ecuație de gradul cinci are exact cinci soluții în numere complexe , dacă este numărată cu multiplicitate, și de câteva secole, căutarea unei formule de soluție pentru aceste ecuații a fost una dintre cele mai studiate probleme matematice.

Deja în secolul al XVI-lea, au fost descoperite formule care oferă soluții de ecuații generice de gradul trei și al patrulea în termeni doar ai sumelor , scăderilor , înmulțirilor , diviziunilor și radicalilor coeficienților ecuațiilor.

Căutarea formulelor de soluție s-a îndreptat mai târziu către ecuațiile de gradul cinci, dar problema a rămas nerezolvată până când, în 1824 , Niels Henrik Abel a finalizat o dovadă parțială a lui Paolo Ruffini , demonstrând că o astfel de formulă de soluție nu poate exista (această teoremă este cunoscută sub numele de Teorema Abel-Ruffini ).

În anii următori, Évariste Galois a început dezvoltarea teoriei lui Galois , raportând solubilitatea pentru radicali a unei ecuații cu unele proprietăți ale unui grup de permutații radiculare asociate ecuației: mai precis, s-a descoperit că o ecuație este rezolvabilă pentru radicali dacă , și numai dacă, grupul Galois asociat cu acesta este rezolvabil .

Toate grupurile Galois asociate cu ecuații de grad sub al cincilea sunt rezolvabile și, prin urmare, aceste ecuații sunt rezolvabile de radicali, în timp ce acest lucru nu este întotdeauna adevărat pentru ecuațiile de grad al cincilea sau mai mare (de exemplu, grupul Galois asociat ecuației $x^{5}-x+1=0$ ${\ displaystyle x ^ {5} -x + 1 = 0}$ $x ^ {5} -x + 1 = 0$ nu este rezolvabilă și, prin urmare, această ecuație nu poate fi rezolvată de radicali).

Cu toate acestea, pentru aplicații practice, nu sunt necesare soluții exacte ale unei ecuații, ci doar o aproximare a acestora. Acestea pot fi căutate, cu metode numerice , cum ar fi metodele clasice pentru calcularea zerourilor unei funcții sau prin utilizarea metodelor mai specifice ale lui Jenkins-Traub și Laguerre .

În secolul al XIX-lea, mai mulți matematicieni, printre care francezul Charles Hermite , germanul Leopold Kronecker și italianul Francesco Brioschi , au dezvoltat formule explicite pentru soluționarea ecuațiilor de gradul cinci, renunțând la ipoteza utilizării doar a funcțiilor elementare, în special a elipticii. funcțiile s-au dovedit a fi instrumente adecvate pentru formularea formulelor explicite. În cele din urmă, Felix Klein a fost capabil să conecteze aceste formule cu simetriile icosaedrului, obținând din acesta alte rezultate importante și pentru ceea ce privește ecuațiile de grade 7 și 11.