Metoda Laguerre

Metoda lui Laguerre este o metodă iterativă pentru găsirea rădăcinilor reale ale unui polinom , introdusă de matematicianul francez Edmond Nicolas Laguerre .

Formula pentru iterație este:

$x_{k+1}=x_{k}-{\frac {nP(x_{k})}{P'(x_{k})\pm {\sqrt {(n-1)[(n-1)(P'(x_{k}))^{2}-nP(x_{k})P''(x_{k})}}]}}$ ${\ displaystyle x_ {k + 1} = x_ {k} - {\ frac {nP (x_ {k})} {P '(x_ {k}) \ pm {\ sqrt {(n-1) [(n -1) (P '(x_ {k})) ^ {2} -nP (x_ {k}) P' '(x_ {k})}}}}}$ ${\ displaystyle x_ {k + 1} = x_ {k} - {\ frac {nP (x_ {k})} {P '(x_ {k}) \ pm {\ sqrt {(n-1) [(n -1) (P '(x_ {k})) ^ {2} -nP (x_ {k}) P' '(x_ {k})}}}}}$ ,

unde este $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este valoarea inițială aleasă pentru a declanșa procedura iterativă, $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ este polinomul, $P'(x)$ ${\ displaystyle P '(x)}$ $P '(x)$ este primul său derivat , $P''(x)$ ${\ displaystyle P '' (x)}$ ${\ displaystyle P '' (x)}$ este a doua derivată , $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este gradul polinomului $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ . Semnul ales pentru rădăcina pătrată trebuie să fie de acord cu cel al $P'(x_{k})$ ${\ displaystyle P '(x_ {k})}$ ${\ displaystyle P '(x_ {k})}$ când nu este zero, pentru a obține cel mai mic raport.

Prin modificarea valorii inițiale a $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este posibil să căutați, dacă există, o altă rădăcină reală.

Exemplu:
Este $P(x)=4x^{4}+3x^{3}-5x^{2}-4x+1$ ${\ displaystyle P (x) = 4x ^ {4} + 3x ^ {3} -5x ^ {2} -4x + 1}$ ${\ displaystyle P (x) = 4x ^ {4} + 3x ^ {3} -5x ^ {2} -4x + 1}$
asa de $P'(x)=16x^{3}+9x^{2}-10x-4$ ${\ displaystyle P '(x) = 16x ^ {3} + 9x ^ {2} -10x-4}$ ${\ displaystyle P '(x) = 16x ^ {3} + 9x ^ {2} -10x-4}$
Și $P''(x)=48x^{2}+18x-10$ ${\ displaystyle P '' (x) = 48x ^ {2} + 18x-10}$ ${\ displaystyle P '' (x) = 48x ^ {2} + 18x-10}$
Pentru $x_{0}=0$ ${\ displaystyle x_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {0} = 0}$
$x_{1}=0,1975496259559987...$ ${\ displaystyle x_ {1} = 0,1975496259559987 ...}$ ${\ displaystyle x_ {1} = 0,1975496259559987 ...}$
$x_{2}=0,2055025290836081...$ ${\ displaystyle x_ {2} = 0,2055025290836081 ...}$ ${\ displaystyle x_ {2} = 0,2055025290836081 ...}$
$x_{3}=0,2055031204717088...$ ${\ displaystyle x_ {3} = 0,2055031204717088 ...}$ ${\ displaystyle x_ {3} = 0,2055031204717088 ...}$
$x_{4}=0,2055031204717088...$ ${\ displaystyle x_ {4} = 0,2055031204717088 ...}$ ${\ displaystyle x_ {4} = 0,2055031204717088 ...}$
pentru $x_{0}=1$ ${\ displaystyle x_ {0} = 1}$ ${\ displaystyle x_ {0} = 1}$
$x_{1}=1,0755226110163770...$ ${\ displaystyle x_ {1} = 1.0755226110163770 ...}$ ${\ displaystyle x_ {1} = 1.0755226110163770 ...}$
$x_{2}=1,0756019089596258...$ ${\ displaystyle x_ {2} = 1.0756019089596258 ...}$ ${\ displaystyle x_ {2} = 1.0756019089596258 ...}$
$x_{3}=1,0756019089597004...$ ${\ displaystyle x_ {3} = 1.0756019089597004 ...}$ ${\ displaystyle x_ {3} = 1.0756019089597004 ...}$
$x_{4}=1,0756019089597004...$ ${\ displaystyle x_ {4} = 1.0756019089597004 ...}$ ${\ displaystyle x_ {4} = 1.0756019089597004 ...}$

Convergența metodei Laguerre este foarte rapidă.

Bibliografie

Forman S. Acton - Metode numerice care funcționează "Harper & Row. , 1970 ISBN 0883854503 .
Edmond Nicolas Laguerre Oeuvres Complètes t. 1 (New York: Chelsea publ., 1972) ISBN 0828402639
A. Ralston, P. Rabinowitz Un prim curs de analiză numerică (New York: Dover, 2001) p. 371 ISBN 048641454X

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică