Grup de torsiune

În matematică și în special în algebră , un grup de torsiune sau un grup periodic este un grup în care fiecare element are ordine finită. Toate grupurile finite sunt de torsiune. Conceptul de grup de torsiune nu trebuie confundat cu cel al unui grup ciclic , de exemplu grupul aditiv de numere întregi $(\mathbb {Z} ,+)$ ${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}$ este ciclic fără să se răsucească.

Exponentul unui grup de torsiune $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este definit ca cel mai mic multiplu comun , dacă există, dintre ordinele tuturor elementelor din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Fiecare grup finit are un exponent, care este, de asemenea, un divizor al $|G|$ ${\ displaystyle | G |}$ $| G |$ .

Problema limitată Burnside este o problemă clasică despre relația dintre grupurile de torsiune și grupurile finite, atunci când presupunem că $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este generat finit: ne întrebăm dacă un exponent finit implică finitudinea grupului (în general, răspunsul la această întrebare este negativ).

Exemple de grupuri de torsiune infinită sunt grupul aditiv al inelului de polinoame pe un câmp finit , sau grupul coeficient de raționale pe numere întregi , sau suma lor directă , cunoscut sub numele de grupul Prüfer . Cu toate acestea, niciunul dintre aceste grupuri nu este generat de un set finit; exemple explicite de grupuri de torsiune infinite și generate finit au fost construite pentru prima dată în 1964 de Golod și Šafarevič .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică