Problema Burnside

Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . Puteți îmbunătăți această intrare adăugând citate din surse de încredere în conformitate cu liniile directoare privind utilizarea surselor . Urmați sfaturile de proiectare de referință .

Problema Burnside , propusă de William Burnside în 1902, a fost una dintre cele mai vechi și mai influente probleme din teoria grupurilor. Formularea problemei este simplă: dacă toate elementele unui grup generat finit au ordine finită, atunci este grupul un grup finit ? Problema are și alte variante (limitate și restricționate), care diferă în ipoteze suplimentare despre ordinea elementelor grupului.

Istoria problemei

Primele lucrări au făcut să creadă că răspunsul a fost da. De exemplu, dacă un grup G este generat din m elemente și ordinea fiecărui element din G împarte 4, atunci G este finit. Mai mult, AI Kostrikin (pentru cazul p prime) și Efim Zelmanov (în general) au dovedit că printre grupurile finite de exponent fix și numărul de generatori, există unul care are un număr maxim de elemente.

Cu toate acestea, răspunsul la problemă sa dovedit a fi nu. În 1964, Golod și Šafarevič au construit un grup infinit care satisface ipotezele lui Burnside, dar nu au presupus că ordinea fiecărui element era limitată de o anumită valoare. În 1968, Pyotr Novikov și Sergei Adian au dovedit că problema era falsă și pentru orice exponent ciudat mai mare de 4381. În 1982, A. Yu. Ol'shanskii a găsit câteva contraexemple pentru exponenți impar destul de mari (mai mari de 10 ¹⁰ ) și o dovadă mult mai simplă bazată pe idei geometrice.

Pe de altă parte, cazul colegilor a fost mult mai dificil de rezolvat. În 1992, SVIvanov a anunțat că a dovedit răspunsul negativ la problemă chiar și pentru exponenți suficient de mari și divizibili cu puteri foarte mari de două (detaliile probei au fost publicate în 1994 și ocupă 300 de pagini). Ulterior, lucrarea comună a lui Ivanov și Ol'shanskii a găsit, de asemenea, o soluție negativă pentru o problemă similară cu cea a lui Burnside pentru grupurile hiperbolice , întotdeauna cu un exponent suficient de mare. În schimb, pentru exponenții mici, alții decât 2, 3, 4 și 6, se știe foarte puțin.

Problema generală Burnside

Un grup G se numește grup de torsiune dacă fiecare element are ordine finită sau, cu alte cuvinte, dacă pentru fiecare g din G există n astfel încât g ⁿ = 1 . Evident, fiecare grup terminat se răsucește. Se poate dovedi cu ușurință că există grupuri infinite de torsiune, cum ar fi grupurile Prüfer , dar acestea nu sunt generate finit.

Problema generală Burnside poate fi pusă după cum urmează:

Dacă G este un grup de torsiune și este generat finit, atunci este G finit?

Răspunsul la această întrebare s-a dovedit a fi negativ în 1964 de Golod și Šafarevič, care au dat un exemplu de grup p infinit și generat finit ( Teorema Golod-Šafarevič ). Cu toate acestea, ordinea elementelor acestui grup nu a fost limitată a priori de o constantă.

Problemă limitată Burnside

O parte din dificultatea de a rezolva problema generală Burnside este faptul că cele două cereri (fiind finit generate și răsucite) spun foarte puțin despre structura grupului. Problema Burnside limitată este reformularea problemei Burnside pentru grupurile G care, pe lângă faptul că sunt generate finit, au și un exponent finit, adică astfel încât să existe un număr întreg n pentru care g ⁿ = 1 pentru fiecare g .

Prin urmare, formularea este următoarea:

Dacă G este un grup finit generat cu exponent n, atunci este G finit?

S-a observat că această problemă ar putea fi văzută ca studiul finitudinii grupurilor aparținând unei anumite familii. Grupul Burnside liber B (m, n) de rangul m și exponentul n , este cel mai mare grup generat de m elemente distincte x ₁ , ..., x _m în care, pentru toate x , x ⁿ = 1 . Mai precis, proprietatea caracteristică a lui B (m, n) este că, având în vedere orice grup G cu m generatoare g ₁ , ..., g _m și exponent n , există un singur omomorfism de la B (m, n) la G care mapează al i-lea generator x _i al lui B (m, n) în al i-lea generator g _i . Existența și unicitatea până la izomorfisme ale grupului Burnside liber pot fi demonstrate cu tehnici standard de teorie de grup. Problema Burnside Limited poate fi apoi rescrisă după cum urmează:

Pentru care m, n numere întregi este finit grupul liber Burnside B (m, n)?

Soluția la această formă nu este cunoscută. Burnside a luat în considerare câteva cazuri simple în lucrările sale:

• Pentru m = 1 și pentru fiecare n , B (1, n) este grupul ciclic de ordinul n .
• B (m, 2) este produsul direct al m copii ale grupului ciclic de ordinul 2. Pasul cheie pentru a demonstra acest lucru este să observăm că a ² = b ² = (ab) ² = 1 implică ab = ba ; prin urmare, orice grup liber Burnside al exponentului 2 este neapărat Abelian.

Se știe, de asemenea, că B (m, 3) , B (m, 4) și B (m, 6) sunt finite pentru fiecare m . Cu toate acestea, multe cazuri rămân deschise, dintre care primele sunt B (2.5) și B (2.8) .

O soluție parțială a problemei mărginite a lui Burnside a fost găsită de Pyotr Novikov și Sergei Adian în 1968. Folosind un argument combinatoric complicat, au demonstrat că pentru fiecare număr impar n , cu n mai mare de 4381, există un grup finit generat finit cu exponent n . Mai târziu, însuși Adian a redus această limită la 665. Cazul chiar și al exponenților s-a dovedit a fi mult mai dificil. Abia în 1992 SV Ivanov a reușit să ajungă la un rezultat analog: pentru fiecare m> 1 și n ≥ 2 ⁴⁸ , n divizibil cu 2 ⁹ , grupul B (m, n) este infinit. Toate cele trei au stabilit rezultate precise asupra structurii grupurilor libere ale lui Burnside. În cazul exponentului impar, toate subgrupurile finite sunt grupuri ciclice. În cazul unui exponent egal, toate subgrupurile finite sunt conținute în produsul a două grupuri diedre .

Problemă Burnside îngustă

Problema restricționată a lui Burnside , datând din 1930, este o variantă a problemei Burnside, care poate fi formulată după cum urmează:

Dacă știm că un grup G generat de m elemente și de exponent n este finit, putem concluziona că ordinea lui G este mărginită de o constantă întreagă care depinde doar de m? Cu alte cuvinte, există doar un număr finit de grupuri finite cu m generatori și exponent n, cu excepția cazului în care există izomorfisme ?

Această variantă a problemei Burnside poate fi, de asemenea, reformulată în termeni de un anumit tip de grupuri universale cu m generatoare și exponent n. Fie M intersecția tuturor subgrupurilor indexului finit al lui B (m, n) . Cu instrumentele teoriei grupurilor se arată că M este un subgrup normal de B (m, n) . În acest moment definim B ₀ (m, n) . Fiecare grup G cu m generatori și exponent n este o imagine epimorfă a lui B ₀ (m, n) . Prin urmare, problema Burnside restricționată constă în determinarea în care cazuri B ₀ (m, n) este finit. Cazul B ₀ (m, p) , cu p prime, a fost rezolvat de Kostrikin în 1950, care a dovedit că grupul este finit pentru fiecare m . În 1956 s-a arătat că problema poate fi urmărită înapoi la cazul B ₀ (m, p ^k ) . Soluția afirmativă a fost dată de Efim Zelmanov în 1991, care a dovedit finitudinea B ₀ (m, n) pentru fiecare m și n . Pentru această lucrare a primit Medalia Fields în 1994.

linkuri externe

• ( EN ) Burnside Problem / Burnside Problem (altă versiune) , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica