Matrice de transpunere conjugată

În algebră liniară , matricea conjugată transpusă sau adăugarea matricială a unei matrice la complexe de valori este matricea obținută prin efectuarea transpusei și schimbarea fiecărei valori cu conjugatul său complex .

Definiție

Având în vedere o matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , indicând cu $A^{T}$ ${\ displaystyle A ^ {T}}$ $A ^ {T}$ transpunerea sa și cu asteriscul $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ operația de conjugare complexă a tuturor elementelor sale, conjugatul transpune $A^{\dagger }$ ${\ displaystyle A ^ {\ dagger}}$ $A ^ {{\ dagger}}$ este dat de:

A^{\dagger }=(A^{T})^{*}=(A^{*})^{T}

{\ displaystyle A ^ {\ dagger} = (A ^ {T}) ^ {*} = (A ^ {*}) ^ {T}}

A ^ {{\ dagger}} = (A ^ {T}) ^ {*} = (A ^ {{*}}) ^ {T}

În ceea ce privește elementele, relația deține:

(A^{\dagger })_{jk}=A_{kj}^{*}

{\ displaystyle (A ^ {\ dagger}) _ {jk} = A_ {kj} ^ {*}}

(A ^ {{\ dagger}}) _ {{jk}} = A _ {{kj}} ^ {{*}}

adică, dacă j este indicele rândului și k indicele coloanei:

A_{kj}^{*}=A_{jk}^{\dagger }

{\ displaystyle A_ {kj} ^ {*} = A_ {jk} ^ {\ dagger}}

A _ {{kj}} ^ {*} = A _ {{jk}} ^ {{\ dagger}}

De exemplu:

A={\begin{pmatrix}3+9i&2+i\\7-6i&1-3i\end{pmatrix}}\qquad A^{\dagger }={\begin{pmatrix}3-9i&7+6i\\2-i&1+3i\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 3 + 9i & 2 + i \\ 7-6i & 1-3i \ end {pmatrix}} \ qquad A ^ {\ dagger} = {\ begin {pmatrix} 3- 9i & 7 + 6i \ \ 2-i & 1 + 3i \ end {pmatrix}}}

A = {\ begin {pmatrix} 3 + 9i & 2 + i \\ 7-6i & 1-3i \ end {pmatrix}} \ qquad A ^ {{\ dagger}} = {\ begin {pmatrix} 3-9i & 7 + 6i \\ 2-i & 1 + 3i \ end {pmatrix}}

Proprietate

Se aplică următoarele proprietăți:

\left(A^{\dagger }\right)^{\dagger }=A\qquad \left(A+B\right)^{\dagger }=A^{\dagger }+B^{\dagger }\qquad \left(cA\right)^{\dagger }=c^{*}\cdot A^{\dagger }\qquad \left(A\cdot B\right)^{\dagger }=B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }

{\ displaystyle \ left (A ^ {\ dagger} \ right) ^ {\ dagger} = A \ qquad \ left (A + B \ right) ^ {\ dagger} = A ^ {\ dagger} + B ^ {\ dagger} \ qquad \ left (cA \ right) ^ {\ dagger} = c ^ {*} \ cdot A ^ {\ dagger} \ qquad \ left (A \ cdot B \ right) ^ {\ dagger} = B ^ {\ dagger} \ cdot A ^ {\ dagger}}

\ left (A ^ {{\ dagger}} \ right) ^ {{\ dagger}} = A \ qquad \ left (A + B \ right) ^ {{\ dagger}} = A ^ {{dagger}} + B ^ {{\ dagger}} \ qquad \ left (cA \ right) ^ {{\ dagger}} = c ^ {*} \ cdot A ^ {{\ dagger}} \ qquad \ left (A \ cdot B \ right) ^ {{\ dagger}} = B ^ {{\ dagger}} \ cdot A ^ {{\ dagger}}

și în general:

\left(A\cdot B\cdot C\cdot D...\right)^{\dagger }=...D^{\dagger }\cdot C^{\dagger }\cdot B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }

{\ displaystyle \ left (A \ cdot B \ cdot C \ cdot D ... \ right) ^ {\ dagger} = ... D ^ {\ dagger} \ cdot C ^ {\ dagger} \ cdot B ^ { \ dagger} \ cdot A ^ {\ dagger}}

\ left (A \ cdot B \ cdot C \ cdot D ... \ right) ^ {{\ dagger}} = ... D ^ {{\ dagger}} \ cdot C ^ {{\ dagger}} \ cdot B ^ {{\ dagger}} \ cdot A ^ {{\ dagger}}

Din proprietățile anterioare poate fi derivat

\left(A^{\dagger }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\dagger }=A^{-\dagger }

{\ displaystyle \ left (A ^ {\ dagger} \ right) ^ {- 1} = \ left (A ^ {- 1} \ right) ^ {\ dagger} = A ^ {- \ dagger}}

{\ displaystyle \ left (A ^ {\ dagger} \ right) ^ {- 1} = \ left (A ^ {- 1} \ right) ^ {\ dagger} = A ^ {- \ dagger}}

;

intr-adevar

A^{\dagger }\left(A^{\dagger }\right)^{-1}=I_{n}=I_{n}^{\dagger }=\left(A^{-1}A\right)^{\dagger }=A^{\dagger }\left(A^{-1}\right)^{\dagger }.

{\ displaystyle A ^ {\ dagger} \ left (A ^ {\ dagger} \ right) ^ {- 1} = I_ {n} = I_ {n} ^ {\ dagger} = \ left (A ^ {- 1 } A \ right) ^ {\ dagger} = A ^ {\ dagger} \ left (A ^ {- 1} \ right) ^ {\ dagger}.}

{\ displaystyle A ^ {\ dagger} \ left (A ^ {\ dagger} \ right) ^ {- 1} = I_ {n} = I_ {n} ^ {\ dagger} = \ left (A ^ {- 1 } A \ right) ^ {\ dagger} = A ^ {\ dagger} \ left (A ^ {- 1} \ right) ^ {\ dagger}.}

Prin urmare, egalitatea rezultă din unicitatea matricei inverse.

Denotând cu $\langle \cdot \,,\cdot \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot \ ,, \ cdot \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot \ ,, \ cdot \ rangle}$ produsul standard hermitian între vectori de $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ mathbb C} ^ {n}$ :

\langle Au,v\rangle =\langle u,A^{\dagger }v\rangle \qquad \langle u,Av\rangle ^{*}=\langle v,A^{\dagger }u\rangle

{\ displaystyle \ langle Au, v \ rangle = \ langle u, A ^ {\ dagger} v \ rangle \ qquad \ langle u, Av \ rangle ^ {*} = \ langle v, A ^ {\ dagger} u \ rangle}

\ langle Au, v \ rangle = \ langle u, A ^ {{\ dagger}} v \ rangle \ qquad \ langle u, Av \ rangle ^ {*} = \ langle v, A ^ {{\ dagger}} u \ rangle

Matrici hermitiene

Același subiect în detaliu: matricea hermitiană .

O matrice coincidentă cu transpunerea conjugată a acesteia se numește matrice Hermitiană (sau matrice autoadjunctă ). O astfel de matrice induce un produs hermitian

\phi (u,v)=(u,Av)

{\ displaystyle \ phi (u, v) = (u, Av)}

\ phi (u, v) = (u, Av)

De exemplu, din proprietățile văzute mai sus rezultă că numărul:

(u,Au)=(u,Au)^{*}

{\ displaystyle (u, Au) = (u, Au) ^ {*}}

(u, Au) = (u, Au) ^ {*}

e real.

Orice matrice pătrată complexă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ poate fi întotdeauna scris ca suma unei matrice hermitiene și anti- hermitiene:

A={\frac {1}{2}}\left(A+A^{\dagger }\right)+{\frac {1}{2}}\left(A-A^{\dagger }\right)

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ left (A + A ^ {\ dagger} \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (AA ^ {\ dagger} \ dreapta)}

A = {\ frac {1} {2}} \ left (A + A ^ {{dagger}} \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (AA ^ {{\ dagger}} \ dreapta)

Bibliografie

( EN ) FR Gantmakher, Matrix theory , 1-2 , Chelsea, reeditare (1959)
( EN ) B. Noble, JW Daniel, Algebra liniară aplicată , Prentice-Hall (1979)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) TS Pogolkina, Adjoint matrix , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică