Teorema Riesz-Fischer

În matematică , în special în analiza reală , teorema lui Riesz-Fischer afirmă că într-un spațiu complet fiecare succesiune în pătrat integrabil definește o funcție pătrată integrabilă . În special, teorema determină condițiile în care se află elementele unei secvențe în $l^{2}$ ${\ displaystyle l ^ {2}}$ $l ^ {2}$ sunt coeficienții Fourier ai unui vector de $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ . De asemenea, rezultă din teoremă că o funcție este pătrată integrabilă dacă și numai dacă seria coeficienților Fourier converge în spațiu $l^{2}$ ${\ displaystyle l ^ {2}}$ $l ^ {2}$ .

Datorită importanței faptului că $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ este un set complet, uneori cu „teorema Riesz-Fischer” denotăm teorema care stabilește completitudinea sa. ^[1]

Teorema a fost formulată independent de matematicianul maghiar Frigyes Riesz și de matematicianul austriac Ernst Fischer în 1907 și este o formă mai puternică a inegalității Bessel . Poate fi folosit pentru a demonstra identitatea Parseval pentru seria Fourier.

Teorema

Sunt: $\{u_{\alpha }:\alpha \in A\}$ ${\ displaystyle \ {u _ {\ alpha}: \ alpha \ în A \}}$ $\ {u _ {\ alpha}: \ alpha \ în A \}$ o bază ortonormală și completă de vectori într-un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ (complet și cu $(,)$ ${\ displaystyle (,)}$ $(,)$ produs intern ) și ambele $\phi _{\alpha }\in l^{2}(A)$ ${\ displaystyle \ phi _ {\ alpha} \ în l ^ {2} (A)}$ $\ phi _ {\ alpha} \ în l ^ {2} (A)$ o succesiune.

Suma numerelor ${\textstyle \sum |\phi _{\alpha }|^{2}}$ ${\ textstyle \ sum | \ phi _ {\ alpha} | ^ {2}}$ ${\ textstyle \ sum | \ phi _ {\ alpha} | ^ {2}}$ converge dacă și numai dacă însumarea (seria Fourier) a vectorilor ${\textstyle \sum \phi _{\alpha }u_{\alpha }}$ ${\ textstyle \ sum \ phi _ {\ alpha} u _ {\ alpha}}$ ${\ textstyle \ sum \ phi _ {\ alpha} u _ {\ alpha}}$ converge la un vector (unic) $f\in H$ ${\ displaystyle f \ în H}$ $f \ în H$ în topologia indusă de produsul scalar, pătratic al spațiului. Elementele secvenței sunt coeficienții Fourier ai $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ^[2] : este ${\textstyle \phi _{\alpha }=(f,u_{\alpha })}$ ${\ textstyle \ phi _ {\ alpha} = (f, u _ {\ alpha})}$ ${\ textstyle \ phi _ {\ alpha} = (f, u _ {\ alpha})}$ .

Într-un mod echivalent, întregul discurs este transpus în spațiul funcțiilor pătrate sumabile. Având în vedere baza completă $\{u_{\alpha }\}\in L^{2}([a,b])$ ${\ displaystyle \ {u _ {\ alpha} \} \ în L ^ {2} ([a, b])}$ $\ {u _ {\ alpha} \} \ în L ^ {2} ([a, b])$ , apartenența la $\phi _{\alpha }$ ${\ displaystyle \ phi _ {\ alpha}}$ $\ phi _ {\ alpha}$ la setul de secvențe pătrate însumabile implică existența unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ astfel încât ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)u_{\alpha }(x)\mathrm {d} x=\phi _{\alpha }}$ ${\ textstyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) u _ {\ alpha} (x) \ mathrm {d} x = \ phi _ {\ alpha}}$ ${\ textstyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) u _ {\ alpha} (x) \ mathrm {d} x = \ phi _ {\ alpha}}$ pentru fiecare $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ .

Urmări

Teorema implică faptul că, dacă suma parțială N a seriei Fourier corespunzătoare unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este dat de:

S_{N}f(x)=\sum _{n=-N}^{N}F_{n}\,e^{inx}

{\ displaystyle S_ {N} f (x) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} F_ {n} \, e ^ {inx}}

S_ {N} f (x) = \ sum _ {{n = -N}} ^ {{N}} F_ {n} \, e ^ {{inx}}

unde este $F_{n}$ ${\ displaystyle F_ {n}}$ $F_ {n}$ este al n - lea coeficient Fourier: ^[3]

F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,e^{-inx}\,dx

{\ displaystyle F_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \, e ^ {- inx} \, dx}

F_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {{- \ pi}} ^ {\ pi} f (x) \, e ^ {{- inx}} \, dx

asa de:

\lim _{n\to \infty }\left\Vert S_{n}f-f\right\|=0

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left \ Vert S_ {n} ff \ right \ | = 0}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} \ left \ Vert S_ {n} f-f \ right \ | = 0

unde este:

\left\Vert g\right\|=\int _{-2\pi }^{2\pi }g^{2}\,dx

{\ displaystyle \ left \ Vert g \ right \ | = \ int _ {- 2 \ pi} ^ {2 \ pi} g ^ {2} \, dx}

\ left \ Vert g \ right \ | = \ int _ {{- 2 \ pi}} ^ {{2 \ pi}} g ^ {2} \, dx

este norma - $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$

Dimpotrivă, dacă $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ este o succesiune bilaterală de numere complexe , adică indicele său variază de la $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ la $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ , astfel încât:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|a_{n}\right\vert ^{2}<\infty

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right \ vert ^ {2} <\ infty}

\ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right \ vert ^ {2} <\ infty

atunci există o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ un pătrat integrabil astfel încât valorile $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ sunt coeficienții Fourier ai $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Completitudinea L ^p

Același subiect în detaliu: Spazio Lp .

Demonstrația acelui spațiu $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ este complet se bazează pe teoremele care caracterizează convergența seriei de funcții integrabile conform lui Lebesgue . Cand $1\leq p\leq \infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ $1 \ leq p \ leq \ infty$ inegalitatea Minkowski implică faptul că $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ este un spațiu reglementat. Pentru a demonstra asta $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ este complet, adică este un spațiu Banach , este suficient să se demonstreze că fiecare set de funcții $\sum u_{n}$ ${\ displaystyle \ sum u_ {n}}$ $\ sum u_ {n}$ în $L^{p}(\mu )$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ mu)}$ $L ^ {p} (\ mu)$ , cu $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ care poate fi măsura Lebesgue , astfel încât:

\sum \|u_{n}\|_{p}<\infty

{\ displaystyle \ sum \ | u_ {n} \ | _ {p} <\ infty}

\ sum \ | u_ {n} \ | _ {p} <\ infty

converge în norma de $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ la o anumită funcție $f\in L^{p}(\mu )$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {p} (\ mu)}$ $f \ în L ^ {p} (\ mu)$ . Pentru $p\leq \infty$ ${\ displaystyle p \ leq \ infty}$ $p \ leq \ infty$ , inegalitatea Minkowski și teorema convergenței monotone implică faptul că:

\int {\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }|u_{n}|{\Bigr )}^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq {\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }\|u_{n}\|_{p}{\Bigr )}^{p}<\infty

{\ displaystyle \ int {\ Bigl (} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | u_ {n} | {\ Bigr)} ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \ leq { \ Bigl (} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ | u_ {n} \ | _ {p} {\ Bigr)} ^ {p} <\ infty}

\ int {\ Bigl (} \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} | u_ {n} | {\ Bigr)} ^ {p} \, {\ mathrm {d}} \ mu \ leq {\ Bigl (} \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ | u_ {n} \ | _ {p} {\ Bigr)} ^ {p} <\ infty

prin urmare:

f=\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}

{\ displaystyle f = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} u_ {n}}

f = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} u_ {n}

este definit aproape peste tot în ceea ce privește $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ și aparține $L^{p}(\mu )$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ mu)}$ $L ^ {p} (\ mu)$ . Teorema convergenței dominate este apoi exploatată pentru a arăta că suma parțială a seriei converge la $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în norma de $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ :

\int \left|f-\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq \int \left(\sum _{\ell >n}|u_{\ell }|\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu \rightarrow 0{\text{ per }}n\rightarrow \infty

{\ displaystyle \ int \ left | f- \ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} \ right | ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \ leq \ int \ left (\ sum _ {\ ell> n} | u _ {\ ell} | \ right) ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \ rightarrow 0 {\ text {per}} n \ rightarrow \ infty}

\ int \ left | f- \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n}} u_ {k} \ right | ^ {p} \, {\ mathrm {d}} \ mu \ leq \ int \ left (\ sum _ {{\ ell> n}} | u _ {\ ell} | \ right) ^ {p} \, {\ mathrm {d}} \ mu \ rightarrow 0 {\ text {per}} n \ rightarrow \ infty

Cazul $0\leq p\leq 1$ ${\ displaystyle 0 \ leq p \ leq 1}$ $0 \ leq p \ leq 1$ necesită unele modificări datorită faptului că norma p- nu mai este subadditivă. Începem cu presupunerea că:

\sum \|u_{n}\|_{p}^{p}<\infty

{\ displaystyle \ sum \ | u_ {n} \ | _ {p} ^ {p} <\ infty}

\ sum \ | u_ {n} \ | _ {p} ^ {p} <\ infty

și se folosește în mod repetat faptul că:

\left|\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\leq \sum _{k=0}^{n}|u_{k}|^{p}{\text{ per }}p<1

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} \ right | ^ {p} \ leq \ sum _ {k = 0} ^ {n} | u_ {k} | ^ {p} {\ text {per}} p <1}

\ left | \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} u_ {k} \ right | ^ {p} \ leq \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} | u_ {k} | ^ {p} {\ text {per}} p <1

Cazul $p=\infty$ ${\ displaystyle p = \ infty}$ $p = \ infty$ se rezumă la o simplă întrebare de convergență uniformă dintr-un set de măsuri zero față de măsură $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ .

Notă

^ Reed, Simon , Pagina 18 .
^ W. Rudin , pagina 85 .
^ W. Rudin , pagina 92 .

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
( EN ) Beals, Richard (2004). Analiza: o introducere . New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2 .
( EN ) John Horváth. Cu privire la teorema Riesz-Fischer ( PDF ).

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) BI Golubov, teorema Riesz-Fischer , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Weisstein, Eric W. Reisz-Fischer Theorem .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Reed, Simon , Pagina 18 .

[2] W. Rudin , pagina 85 .

[3] W. Rudin , pagina 92 .

[1]

[2]

[3]