Clasa laterală

Clasa laterală este un concept matematic , util în teoria grupurilor. Prin această noțiune sunt definite conceptele de subgrup normal și grup de coeficienți .

Definiție

Este $(G;\cdot )$ ${\ displaystyle (G; \ cdot)}$ $(G; \ cdot)$ un grup și ambele $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ un subgrup al acestuia e $a\in G$ ${\ displaystyle a \ în G}$ $a \ in G$ . Clasa laterală dreaptă (sau mai simplu laterala dreaptă ) a $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ reprezentată de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este setul:

Ha=\{ha:h\in H\}

{\ displaystyle Ha = \ {ha: h \ in H \}}

Ha = \ {ha: h \ în H \}

Simetric definim clasa laterală stângă (sau laterală stângă ) a $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ reprezentată de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ ca întreg:

aH=\{ah:h\in H\}

{\ displaystyle aH = \ {ah: h \ în H \}}

aH = \ {ah: h \ în H \}

Descriere prin clase de echivalență

Este posibil să se descrie fiecare clasă laterală dreaptă ca o clasă de echivalență în raport cu relația de echivalență $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ definit în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ plasarea pentru $a,b\in G$ ${\ displaystyle a, b \ în G}$ $a, b \ în G$ :

a\sim b\Longleftrightarrow ba^{-1}\in H\Longleftrightarrow b\in Ha.

{\ displaystyle a \ sim b \ Longleftrightarrow ba ^ {- 1} \ in H \ Longleftrightarrow b \ in Ha.}

a \ sim b \ Longleftrightarrow ba ^ {{- 1}} \ in H \ Longleftrightarrow b \ in Ha.

Clasa de echivalență care conține elementul $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este exact $H. g$ ${\ displaystyle Hg}$ $Hg$ : intr-adevar $g=eg$ ${\ displaystyle g = eg}$ $g = ex$ , unde este $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este elementul neutru al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ : asa de $e\in H$ ${\ displaystyle și \ în H}$ $și \ în H$ deoarece $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este un subgrup.

Fiecare clasă din partea stângă poate fi definită și cu o relație de echivalență similară:

a\sim b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H\Longleftrightarrow b\in aH.

{\ displaystyle a \ sim b \ Longleftrightarrow a ^ {- 1} b \ in H \ Longleftrightarrow b \ in aH.}

a \ sim b \ Longleftrightarrow a ^ {{- 1}} b \ in H \ Longleftrightarrow b \ in aH.

Proprietate

Se verifică că în fiecare grup clasele din partea stângă sunt la fel de multe ca și cele din partea dreaptă: acest număr, fie el finit sau infinit, se numește indicele subgrupului $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ in grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , și este uneori indicat cu $i(H)$ ${\ displaystyle i (H)}$ $eu (H)$ . Mai mult, oricare două clase laterale pot fi ușor plasate într-o corespondență unu-la-unu: de aici rezultă că toate au aceeași cardinalitate .

În special, dacă $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este terminat și are $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente, iar o clasă laterală are $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ elemente, da $n=m\cdot i(H)$ ${\ displaystyle n = m \ cdot i (H)}$ $n = m \ cdot i (H)$ : apoi indexul subgrupului $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ iar cardinalitatea uneia dintre clasele sale laterale sunt divizorii cardinalității lui G. În special acest lucru este valabil pentru subgrup $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , cu toate acestea este ales, deoarece corespunde clasei laterale $Și H.$ ${\ displaystyle eH}$ $si H.$ , cu $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ element neutru al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

În general, clasele din partea stângă și clasele din partea dreaptă a unui subgrup al unui grup constituie două colecții diferite; cu alte cuvinte, cele două echivalențe induse sunt diferite. Un subgrup $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ din G care definește o singură partiție, adică astfel încât $gN=Ng\;\forall g\in G$ ${\ displaystyle gN = Ng \; \ forall g \ in G}$ $gN = Ng \; \ forall g \ in G$ , spunem subgrup normal de G; permite definirea unui grup de coeficienți ale cărui elemente sunt clasele din partea stângă sau, indiferent, cele din dreapta.

Bibliografie

Israel Nathan Herstein , Algebra , Editori Riuniti University Press, 2010, ISBN 978-88-6473-210-7
Michael Artin (1997): Algebra , Bollati Boringhieri , ISBN 8833955869
Serge Lang , Algebra , Springer, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Side Class , în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Eric W. Weisstein, clasa laterală stângă în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Eric W. Weisstein, clasa laterală dreapta în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) OA Ivanova, Coset într-un grup , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
Coset , în groupprops , The Group Properties Wiki.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică