Funcție (matematică)
În matematică , o funcție este o relație între două seturi , numite domeniu și interval al funcției, care se asociază cu fiecare element al domeniului, unul și un singur element al intervalului.
Dacă cele două seturi sunt indicate respectiv cu Și , relația este indicată cu și elementul asociat cu prin intermediul funcției este indicat de obicei cu (pronunțat „effe of x”).
Descriere
Prin urmare, cuvântul funcție nu se referă doar la relație, ci la triada: relație, domeniu și codomain. De exemplu: funcția care asociază rădăcina pătrată a acelui număr la un număr natural este diferită de funcția care asociază rădăcina pătrată a acelui număr la un număr întreg (în funcție de modul în care este definită gama, a doua poate să nu fie chiar corectă asociere). În multe cazuri, când domeniul și intervalul sunt clare din context, o funcție este exprimată indicând doar relația și implicând domeniul și intervalul.
Se spune că este argumentul funcției sau o valoare a variabilei independente, în timp ce este o valoare a variabilei dependente a funcției.
Sinonimele termenului funcție sunt aplicație și hartă . Termenul transformare este adesea folosit în geometrie pentru a indica o funcție inversabil și care păstrează proprietățile geometrice ale , în timp ce operatorul este uneori utilizat în tratamentul funcțiilor liniare între spațiile vectoriale .
Funcțiile joacă un rol foarte important în toate științele exacte . Conceptul de dependență funcțională între două mărimi îl înlocuiește de fapt, în cadrul teoriilor fizice și matematice, pe cel de cauză-efect, care, spre deosebire de precedent, nu privește entitățile teoretice, ci direct elementele realității concrete. Dacă spunem, de exemplu, că presiunea unei anumite cantități de gaz perfect este o funcție a temperaturii și a volumului său , facem o afirmare internă a unui model termodinamic , în timp ce relația cauză-efect identificată între cele trei cantitățile depind în mod substanțial de posibilitățile de intervenție concretă asupra acestora. Rămânând cu acest exemplu, valoarea presiunii este văzută mai des ca o consecință a valorii celorlalți doi parametri, deoarece este, în general, mult mai ușor să se intervină asupra volumului și temperaturii decât direct asupra presiunii.
Exemple
Cele mai simple exemple de funcții sunt cele pentru care atât domeniul, cât și gama sunt seturi numerice . De exemplu, dacă dublul acestui număr este asociat cu fiecare număr natural, avem o funcție, al cărei domeniu este dat de naturali și a cărui gamă este alcătuită din chiar naturali.
Cu toate acestea, vorbim de funcție chiar și atunci când domeniul sau intervalul, sau ambele, nu sunt seturi numerice. Dacă, de exemplu, cercul înscris în acesta este asociat cu fiecare triunghi al planului, există și o funcție, deoarece pentru fiecare triunghi există un singur și un singur cerc înscris în el.
Mai mult, vorbim adesea despre funcții cu mai multe argumente sau cu mai multe valori: de exemplu funcția care la coordonate un punct din spațiu echivalează cu temperatura și presiune a aerului. În acest caz, funcția are de fapt întotdeauna un singur argument, care este triada și are întotdeauna o singură valoare, care este perechea
Definiție
Având două seturi ne-goale Și , se numește funcția de la în o relație astfel încât pentru fiecare există un singur și un singur element astfel încât . Acest element este notat în mod tradițional prin : cu alte cuvinte, în loc să scrie puteți folosi scrierea mai tradițională:
Faptul că este o funcție din în cu care se asociază elementul poate fi exprimat în scris:
Întregul (de aici și funcția „Ia” valorile) este domeniul funcției , în timp ce întregul (unde se găsesc valorile „returnate” de funcție ) Este codomainul funcției . [1]
Expresiile „iau o valoare” și „returnează o valoare” se referă la un model mecanic de funcții, reprezentat ca mecanisme care, dat fiind un element al domeniului, îl „transformă” în elementul corespunzător al gamei.
Imagine și contor imagine
Având o funcție domeniu și codomain oricum a ales un articol a domeniului, se numește imaginea lui elementul corespunzător al gamei, indicat cu În mod similar, dacă este un element al gamei care este o imagine a unui element a domeniului, adică dacă , se spune că este o contra imagine a În timp ce fiecare element al domeniului o singură imagine este atribuită, este posibil ca un element din gamă să aibă mai multe imagini contra, sau să nu aibă deloc. Prin urmare, „imaginea contra” a elementului este definită întregul
- .
De sine pentru fiecare se spune că este surjectiv , în timp ce dacă conține cel mult un element pentru fiecare se spune că este injectiv . Dacă se aplică ambele condiții, se numește bijectiv sau bijectiv .
Întregul
a elementelor din intervalul pentru care există cel puțin unul în domeniul pe care îl are ca imagine se numește imagine a și este notat cu sau cu . [2]
Alte notații pentru funcții
Pentru valoarea unei funcții corespunzător unui element , denotabilă cu notația tradițională , sunt utilizate și alte două scripturi.
Pentru ceea ce numim notația funcției prefixate apare
Căci apare ceea ce numim funcția sufixală notația
Uneori se utilizează paranteze pătrate în locul parantezelor rotunde:
Acest lucru evită confuzia cu paranteze care indică ordinea operațiilor. Această notație este utilizată de unele programe de calcul simbolice.
În funcțiile a două variabile, se utilizează uneori notația infix , adică
de exemplu, în operațiile obișnuite de adunare și scădere pe care le folosim pentru a scrie Și in loc de Și
Extinderea și restricționarea unei funcții
Având o funcție Este un set astfel încât , se spune că funcția este o extensie a lui f la set de sine
unde este este includerea în , dat de . Invers, se spune că este restricția de la întreg .
Restricția unei funcții la un set conținut în domeniul său este de obicei indicat cu .
Funcțiile a două sau mai multe variabile
Când domeniul unei funcții este produsul cartezian din două sau mai multe seturi și, prin urmare, funcția acționează asupra -copii de elemente ale seturilor, apoi imaginea vectorială a acestor elemente se indică cu notația
În acest caz, funcția este numită și funcția vectorială . În acest sens, în fizică vorbim despre domeniu .
De exemplu, luați în considerare funcția de multiplicare care asociază un vector de două numere naturale Și la produsul lor: . Această funcție poate fi definită formal ca având pentru domeniu , ansamblul tuturor perechilor de numere naturale; de asemenea, rețineți că, în acest caz, funcția este simetrică față de componentele vectorului: și, prin urmare, este o funcție a unui set în care ordinea elementelor nu contează. Sunt posibile și alte grupări ale variabilelor: de exemplu, teoria funcției matriciale este extrem de importantă în studiul sistemelor de ecuații diferențiale :
Operații binare
Multe operații binare de aritmetică , cum ar fi adunarea și multiplicarea , sunt funcții din produsul cartezian la valori în , și sunt descrise prin intermediul notației infix : adică este scris (si nu ) pentru a descrie imaginea cuplului prin operație . [3]
Această notație a fost generalizată de algebra modernă, pentru a defini structurile algebrice, cum ar fi structurile de grup , ca un set echipat cu unele operații binare având anumite proprietăți.
Funcții cu mai multe valori
Dacă domeniul unei funcții este produsul cartezian din două sau mai multe seturi, acest lucru poate fi indicat ca o funcție vectorială . Astfel de variabile sunt adesea agregate într-un vector ; în acest sens, în fizică vorbim despre un câmp vector .
Un exemplu tipic este dat de o transformare liniară a planului , de exemplu:
- .
O funcție, pe de altă parte, se numește polidrom dacă există cel puțin un element al domeniului căruia îi corespund mai mult de un element din interval. De fapt, aceste funcții nu se încadrează în definiția dată inițial, dar în unele domenii (de exemplu în analiza complexă ) sunt extinse tocmai în acest sens. Un exemplu de funcție polidrom este rădăcina pătrată a unui număr real pozitiv, care poate fi descrisă ca o funcție
care asociază fiecărui număr real pozitiv mulțimea celor două rădăcini pătrate ale sale. Un exemplu analog este logaritmul definit pe setul de numere complexe . [4]
Tipologie
Numeroase tipuri de funcții sunt întâlnite în matematică și substanțial în toate aplicațiile sale, care au, de asemenea, caracteristici foarte diferite și care sunt clasificate în funcție de criterii diferite.
Clasificare pur stabilită
Clasificarea funcțiilor în domeniul teoriei calculabilității
- Funcția recursivă primitivă
- Funcție calculabilă
- Funcția recursivă (conform tezei Church-Turing , funcțiile recursive și funcțiile calculabile sunt același lucru)
- Funcție recursivă totală
- Funcția enumerativă
Clasificarea funcțiilor în domeniul analizei matematice
- Funcția armonică
- Funcție continuă
- Chiar și funcția și funcția de ciudat
- Creșterea funcției, scăderea funcției și funcția monotonă
- Funcția polinomială
- Funcția rațională fracturată
- Funcția algebrică și funcția transcendentă
- Funcție diferențiată
- Funcție netedă
- Funcția analitică
- Funcția holomorfă
- Funcția anti-holomorfă
- Funcția meromorfă
- Funcția convexă
- Funcția concavă
- Funcția integrală
- Funcția cilindrică
Câteva caracteristici notabile
- Funcția beta , funcția gamma , funcția zeta Riemann
- Funcții trigonometrice : sinus , cosinus , tangent , cotangent , secant , cosecant
- Funcția de identitate
- Funcție exponențială , logaritm
Funcții de interes probabilistic și statistic
- Funcția de distribuție
- Funcția de probabilitate
- Funcția de densitate
- Funcție generatoare de momente
- Funcția caracteristică
Operații elementare asupra funcțiilor unei variabile reale cu valori reale
Având o funcție de variabilă reală cu valori reale și o constantă , pe acesta sunt aplicabile operațiile aritmetice elementare care sunt adunarea , scăderea , înmulțirea , divizarea , exponențierea , n-a rădăcină sau:
de sine ai și tu
de sine ai și tu
si daca întreg mai mare de 1 și dacă egal trebuie, de asemenea, avut , ai și tu
Dă două funcții Și a variabilei reale cu valori reale, sunt aplicabile operațiile aritmetice elementare menționate mai sus, adică:
de sine ai și tu
de sine (sau În cazul în care ) are deasemenea
Compoziţie
Dă două funcții : → Și : → compoziția lor poate fi definită: aceasta se definește prin aplicarea mai întâi la și apoi aplicând la rezultat .
Această nouă funcție este notată cu (se citește: „f compusul g”). [ Fără sursă ] Riconducendoci notația tradițională cu cele două notații rezultatul compoziției anterioare aplicate elementului x din domeniul pe care îl putem scrie [5]
Traducere
Având o funcție de variabilă reală cu valori reale și o constantă :
- translația sa față de axă în dreapta este
- translația sa față de axă la stânga este
- translația sa față de axă în sus este
- translația sa față de axă jos este
Simetrie
Având o funcție variabilei reale cu valori reale:
- simetricul de în raport cu axa y este
- simetricul de în raport cu axa x este
Notă
- ^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Mathematical Analysis , Liguori Editore Srl, 1994, p. 63 .
- ^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Mathematical Analysis , Liguori Editore Srl, 1994, p. 67 .
- ^ Francesca Dalla Volta, Marco Rigoli, Elemente de matematică discretă și algebră liniară , Pearson Paravia Bruno Mondad, 2007, p. 169 .
- ^ Gazzola Ferrero Zanotti, Elemente de analiză superioară pentru fizică și inginerie , Società Editrice Esculapio, 2007, pp. 127-128 .
- ^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Analiza matematică , Liguori Editore Srl, 1994, pp. 69-70 .
Bibliografie
- Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Analiză matematică , Liguori Editore, 1995, ISBN 9788820723972
- Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Lessons in Mathematical Analysis Due , Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203
- Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Mathematical Analysis One , Liguori Editore, 1998, ISBN 9788820728199
- Enrico Giusti , Analiza matematică 1 , Boringhieri, 2002, ISBN 9788833956848
Elemente conexe
- Domeniu și codomain
- Imagine (matematică)
- Graficul unei funcții
- Funcție variabilă reală
- Funcție definită în bucăți
- Partea pozitivă și negativă a unei funcții
- Studiul funcției
- Istoria noțiunii de funcție matematică
- Analiză matematică , integrală , derivată
- Funcție specială
- Funcția periodică
- Funcţional
- Funcție parțială
- Aplicare parțială
- Seria de funcții
- Seria formală de puteri
- Ecuație diferențială
- Ecuația funcțională
- Teoria categoriilor
Alte proiecte
- Wikționarul conține dicționarul lema « funcție »
- Wikiversitatea conține resurse despre funcții
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de caracteristici
linkuri externe
- Function , pe Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene .
- ( EN ) Feature , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
- Funcția , în Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene.
Controlul autorității | Tezaur BNCF 19483 · LCCN (EN) sh85052327 · GND (DE) 4071510-3 · BNF (FR) cb11946892t (dată) · NDL (EN, JA) 00.56496 milioane |
---|