Funcția anti-holomorfă

În matematică , funcțiile anti- holomorfe (numite și funcții anti- analitice ) sunt o familie de funcții strâns legate de funcțiile holomorfe, dar distincte de acestea din urmă.

O functie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ definit într-un set deschis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în planul complex se numește anti-holomorf dacă este derivabil în sens real (adică dacă $\Re (f)$ ${\ displaystyle \ Re (f)}$ ${\ displaystyle \ Re (f)}$ Și $\Im (f)$ ${\ displaystyle \ Im (f)}$ ${\ displaystyle \ Im (f)}$ sunt funcții reale diferențiabile) și derivatul său în raport cu $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este identic nul în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Această definiție contrastează cu una dintre definițiile echivalente ale funcției holomorfe , unde este necesar ca. $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este derivabil în sens real și derivatul său în raport cu ${\bar {z}}$ ${\ displaystyle {\ bar {z}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {z}}}$ nu este nimic.

Din relație ${\frac {\overline {\partial f}}{\partial z}}={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial {\bar {z}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ overline {\ partial f}} {\ partial z}} = {\ frac {\ partial {\ bar {f}}} {\ partial {\ bar {z}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ overline {\ partial f}} {\ partial z}} = {\ frac {\ partial {\ bar {f}}} {\ partial {\ bar {z}}}}}$ rezultă că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este anti-holomorf dacă și numai dacă ${\bar {f}}$ ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$ este holomorf.

Observăm că dacă $g(z)$ ${\ displaystyle g (z)}$ $g (z)$ este o funcție holomorfă într-un set deschis $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , asa de $f(z):=g({\bar {z}})$ ${\ displaystyle f (z): = g ({\ bar {z}})}$ ${\ displaystyle f (z): = g ({\ bar {z}})}$ este o funcție anti-holomorfă în ${\bar {D}}$ ${\ displaystyle {\ bar {D}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {D}}}$ , unde este ${\bar {D}}$ ${\ displaystyle {\ bar {D}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {D}}}$ este reflexia față de axa x a mulțimii $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ ; cu alte cuvinte, ${\bar {D}}$ ${\ displaystyle {\ bar {D}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {D}}}$ este ansamblul complexelor conjugate ale elementelor din $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . Prin urmare, orice funcție anti-holomorfă poate fi obținută în acest mod pornind de la o funcție holomorfă. Aceasta implică faptul că o funcție este anti-holomorfă dacă și numai dacă poate fi extinsă în serie de putere în variabilă ${\bar {z}}$ ${\ displaystyle {\ bar {z}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {z}}}$ într-un cartier din fiecare punct al domeniului său.

Dacă o funcție este atât holomorfă, cât și anti-holomorfă, atunci este constantă în fiecare componentă conectată a domeniului său. Prin definiție, o funcție care depinde de ambele $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ asta dă ${\bar {z}}$ ${\ displaystyle {\ bar {z}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {z}}}$ nu poate fi holomorf sau anti-holomorf.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică