Funcția holomorfă

În matematică , o funcție holomorfă (compoziția cuvintelor grecești „ holos”, toate și „ morphe ”, formează; referindu-se la capacitatea derivatului de a rămâne egală cu el însuși în transformări ^[1] ) este o funcție definită pe un subset deschis a planului numeric complex $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb C}$ cu valori în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb C}$ ceea ce este diferențiat într-un sens complex în fiecare punct al domeniului. Funcțiile holomorfe se numără printre principalele obiecte ale analizei complexe . Ele pot fi scrise oriunde ca o serie de puteri convergente sau sunt analitice , iar termenul „funcție analitică” este folosit ca sinonim pentru funcția holomorfă. ^[2]

Diferențierea în sensul complex al unei funcții complexe este o condiție mult mai strictă decât diferențialitatea reală , deoarece implică faptul că funcția este infinit diferențiată și că poate fi complet identificată prin seria sa Taylor . În unele texte funcțiile holomorfe (și derivatele lor) definite pe un set deschis se numesc funcții analitice.

În acest context definim biolomorfismul între două seturi deschise de $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ o funcție holomorfă care este injectivă , surjectivă și al cărei invers este, de asemenea, holomorf.

Definiție

Este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ un subset deschis al planului complex $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb C$ . O functie $f:U\to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$ $f: U \ to \ mathbb C$ este diferențiat în sens complex ( $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb C$ -diferențiat) într-un punct $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ din $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ dacă există limita : ^[3]

f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}

{\ displaystyle f '(z_ {0}) = \ lim _ {z \ rightarrow z_ {0}} {f (z) -f (z_ {0}) \ over z-z_ {0}}}

f '(z_0) = \ lim_ {z \ rightarrow z_0} {f (z) - f (z_0) \ over z - z_0}

Limita trebuie înțeleasă în raport cu topologia podelei. Cu alte cuvinte, pentru fiecare succesiune de numere complexe care converg către $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ raportul incremental trebuie să tindă la același număr, indicat cu $f'(z_{0})$ ${\ displaystyle f '(z_ {0})}$ $f '(z_0)$ .

Functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este holomorf în $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ dacă este diferențiat în sens complex în fiecare punct $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ a deschisului $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ . Se mai spune că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este holomorf în acest punct $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ dacă este holomorf în vreun cartier al punctului și mai general că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este holomorf într-un set nedeschis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă este holomorf într-un conținut deschis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Ecuații Cauchy-Riemann

Relația dintre diferențialitatea funcțiilor reale și funcțiile complexe este dată de faptul că dacă o funcție complexă

f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)

{\ displaystyle f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + i \, v (x, y)}

f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + i \, v (x, y)

atunci este holomorf $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ posedă derivate parțiale prime cu privire la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , iar aceste derivate satisfac ecuațiile Cauchy-Riemann :

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} \ qquad {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} = - {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} \,}

\ frac {\ partial u} {\ partial x} = \ frac {\ partial v} {\ partial y} \ qquad \ frac {\ partial u} {\ partial y} = - \ frac {\ partial v} {\ parțial x} \,

În mod echivalent, derivatul Wirtinger $\partial f/\partial {\overline {z}}$ ${\ displaystyle \ partial f / \ partial {\ overline {z}}}$ $\ partial f / \ partial \ overline {z}$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în ceea ce privește complexul conjugat ${\overline {z}}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ $\ overline {z}$ din $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ Nu-i nimic.

Proprietăți de bază

Relația cu diferențialitatea

Prin identificarea standard a $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb C}$ cu $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ mathbb R} ^ {2}$ , o funcție holomorfă este în special o funcție diferențiată de un set deschis de $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ mathbb R} ^ {2}$ în $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ mathbb R} ^ {2}$ . Cu toate acestea, opusul nu este adevărat: o funcție diferențiată nu este neapărat holomorfă. Ecuațiile Cauchy-Riemann descriu o condiție necesară și suficientă pentru ca o funcție diferențiată să fie holomorfă.

Operațiuni

Regulile obișnuite de derivare definite de obicei în domeniul real rămân valabile în câmpul complex. ^[3]

Harta conformă

Același subiect în detaliu: hartă conformă și imagini conforme .

O funcție holomorfă având o derivată care este întotdeauna diferită de zero este o hartă conformă , o hartă care nu schimbă unghiurile (dar poate schimba ariile și lungimile). De fapt, o funcție holomorfă cu derivată diferită de zero este o funcție aproximabilă local dintr-o funcție liniară complexă de tip

f(z)=az

{\ displaystyle f (z) = az}

f (z) = az

pentru un număr complex $a\neq 0$ ${\ displaystyle a \ neq 0}$ $a \ neq 0$ . Hărțile liniare de acest tip sunt conforme; de fapt, scrierea $a=re^{i\theta }$ ${\ displaystyle a = re ^ {i \ theta}}$ $a = re ^ {{i \ theta}}$ , primesti

f(z)=re^{i\theta }z

{\ displaystyle f (z) = re ^ {i \ theta} z}

f (z) = re ^ {{i \ theta}} z

și deci înmulțirea cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este geometric compoziția unei rotații unghiulare $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ și a unei omotimi de factori $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ : ambele operațiuni sunt hărți conforme.

Exemple

Funcții întregi

Același subiect în detaliu: Funcții întregi .

Toate funcțiile polinomiale din variabila complexă $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ cu coeficienți complecși sunt holomorfi pe întreg $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb C}$ , adică sunt funcții întregi .

Funcția exponențială complexă și funcțiile trigonometrice din $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . (De fapt, funcțiile trigonometrice pot fi exprimate ca compoziții de variante ale funcției exponențiale prin formula lui Euler ).

Funcții care nu sunt întregi

Functia $f(z)=1/z$ ${\ displaystyle f (z) = 1 / z}$ $f (z) = 1 / z$ este holomorf pe planul complex lipsit de origine:

\mathbb {C} \setminus \{0\}

{\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}

{\ mathbb C} \ setminus \ {0 \}

Ramura principală a funcției logaritmice $\ln(z)$ ${\ displaystyle \ ln (z)}$ $\ ln (z)$ este holomorf pe planul complex lipsit de semi-axa reală negativă:

\mathbb {C} \setminus \{x,y\in \mathbb {R} \ |\ y=0,x<0\}

{\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {x, y \ in \ mathbb {R} \ | \ y = 0, x <0 \}}

{\ mathbb C} \ setminus \ {x, y \ in \ mathbb {R} \ | \ y = 0, x <0 \}

Funcția rădăcină pătrată poate fi definită ca

{\sqrt {z}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln z}

{\ displaystyle {\ sqrt {z}} = e ^ {{\ frac {1} {2}} \ ln z}}

{\ sqrt {z}} = e ^ {{{\ frac {1} {2}} \ ln z}}

și în consecință este holomorf în toate punctele planului complex în care se află funcția logaritmului.

Funcții non-holomorfe

Exemplele de bază ale funcțiilor complexe neholomorfe sunt conjugarea complexă , tranziția la partea reală și funcția de valoare absolută .

Funcții analitice

Funcția analitică

Același subiect în detaliu: Funcția analitică .

Contrar a ceea ce se întâmplă pentru funcțiile diferențiate în domeniul real, o funcție holomorfă este automat diferențiată de un număr infinit de ori ^[4] . Funcția este, de asemenea, exprimată local printr-o serie de puteri convergente, adică este analitică : pentru fiecare punct $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_ {0}$ domeniul există un $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ astfel încât propria serie a lui Taylor

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (z_ {0})} {n!}} (z-z_ {0 }) ^ {n}}

f (z) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {{(n)}} (z_ {0})} {n!}} (z-z_ { 0}) ^ {n}

centrat în $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ este convergent pe discul deschis de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ centrat în $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$

\Delta =\{z\ |\ |z-z_{0}|<r\}

{\ displaystyle \ Delta = \ {z \ | \ | z-z_ {0} | <r \}}

\ Delta = \ {z \ | \ | z-z_ {0} | <r \}

și coincide cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe acest disc. Cu alte cuvinte, o funcție holomorfă este exprimabilă local ca o serie de puteri .

Seria Taylor poate converge pe un disc mai mare, nu neapărat conținut în domeniu: acest lucru se întâmplă de exemplu în funcția de logaritm definită mai sus, dacă luăm un punct $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ aproape de axa reală. Acest fenomen se numește prelungire analitică .

Formula integrală a lui Cauchy

Formula integrală Cauchy este un instrument foarte puternic în analiza complexă, care nu are analogii în analiza reală. Această formulă leagă valoarea unei funcții într-un punct de o integrală de-a lungul unei curbe care o cuprinde.

Teorema lui Liouville

Același subiect în detaliu: teorema lui Liouville (analiză complexă) .

Teorema lui Liouville afirmă că, dacă o funcție întreagă are un modul limitat pe întregul plan complex, atunci este constantă.

Funcții holomorfe în mai multe variabile

O funcție complexă a mai multor variabile este o funcție de tip

f:A\to \mathbb {C} ^{m}

{\ displaystyle f: A \ to \ mathbb {C} ^ {m}}

f: A \ to {\ mathbb C} ^ {m}

definit pe un deschis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ mathbb C} ^ {n}$ . Acest lucru este holomorf într-un moment dacă este dezvoltabil local (în cadrul unui polidisc , adică în cadrul unui produs cartezian al discurilor centrate în punct) ca o serie de puteri convergente. Se observă că această condiție este mai puternică decât ecuațiile Cauchy-Riemann ; de fapt, acesta poate fi exprimat în următoarea formă:

O funcție a mai multor variabile complexe cu valori complexe este holomorfă dacă și numai dacă îndeplinește ecuațiile Cauchy-Riemann și este pătrată la nivel local.

Biolomorfisme

Un biolomorfism între două seturi deschise $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ din $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ mathbb C} ^ {n}$ este o funcție holomorfă $f:A\to B$ ${\ displaystyle f: A \ to B}$ $f: de la A la B$ care este injectiv , surjectiv și al cărui invers este, de asemenea, holomorf. Cu alte cuvinte, un biolomorfism este un izomorfism din categoria analizei complexe .

De fapt, se arată că o funcție injectivă este întotdeauna un biolomorfism pe imaginea sa. În consecință, o funcție holomorfă unu-la-unu este automat un biolomorfism.

Notă

^ Steven Schwartzman, Cuvintele matematicii - Un dicționar etimologic al termenilor matematici folosiți în limba engleză , 1996.
^ (EN) Eric W. Weisstein, Funcție analitică , în MathWorld , Wolfram Research.
^ ^a ^b W. Rudin , p. 197 .
^ W. Rudin , p. 208 .

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin , Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
- Analiză reală și complexă, Trad Maria Laura Vesentini -. Edoardo Vesentini , Boringhieri ( . Coll programul de fizică matematică electronice), 1974 ISBN 9788833953427
( EN ) Markushevich, AI, Silverman, Richard A. (ed.),Teoria funcțiilor unei variabile complexe , ediția a II-a, New York, American Mathematical Society , 2005 [1977] , p. 112, ISBN 0-8218-3780-X .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AA Gonchar, BV Shabat, Funcția analitică , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85061536 · NDL (EN, JA) 00.570.426

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Steven Schwartzman, Cuvintele matematicii - Un dicționar etimologic al termenilor matematici folosiți în limba engleză , 1996.

[2] (EN) Eric W. Weisstein, Funcție analitică , în MathWorld , Wolfram Research.

[rudin-3] W. Rudin , p. 197 .

[4] W. Rudin , p. 208 .

[1]

[2]

[3]

[4]