Funcția W a lui Lambert

Graficul lui W ( x ) cu W > −4 și x <6. Ramura superioară cu W ≥ −1 este funcția W ₀ (ramura principală), ramura inferioară cu W ≤ −1 este funcția W ₋₁ .

În matematică , funcția Lambert W , numită și funcția Omega , este un set de funcții , în mod explicit ramurile funcției inverse ale funcției f ( w ) = ^w și ^w , unde e ^w este funcția exponențială și w este orice număr complex. Cu alte cuvinte, ecuația care definește W ( z ) este

z=W(z)e^{W(z)}

{\ displaystyle z = W (z) e ^ {W (z)}}

{\ displaystyle z = W (z) e ^ {W (z)}}

pentru orice număr complex z .

Deoarece funcția ƒ nu este injectivă , funcția W este o funcție polidromat (cu excepția 0). Prin restrângerea atenției la cazul în care W își asumă doar valori reale, atunci relația este definită numai pentru x ≥ −1 / e și se iau două valori distincte în interval (−1 / e , 0); condiția suplimentară W ≥ −1 definește o funcție unică W ₀ ( x ). Avem W ₀ (0) = 0 și W ₀ (−1 / e ) = −1. În același timp, ramura inferioară are W ≤ −1 și este notată cu notația W ₋₁ ( x ). Scade de la W ₋₁ (−1 / e ) = −1 la W ₋₁ (0 ^- ) = −∞.

Funcția W nu poate fi exprimată în termeni de funcții elementare . Găsește aplicații în combinatorică , de exemplu în enumerarea copacilor . Poate fi utilizat în rezolvarea ecuațiilor care includ funcții exponențiale (de exemplu, maximele distribuțiilor Planck , Bose-Einstein și Fermi-Dirac ) și este, de asemenea, necesar în rezolvarea ecuațiilor diferențiale de tip y ' ( t ) = a y ( t - 1).

Ramura principală a funcției W în planul complex. Hue reprezintă argumentul funcției, în timp ce intensitatea reprezintă modulul .

Istorie și terminologie

Funcția W poartă numele matematicianului Johann Heinrich Lambert . Lambert a studiat ecuația transcendentă omonimă a lui Lambert în 1758, care a fost urmată de un studiu realizat de Euler în 1783, care a considerat cazul special w și ^w . Cu toate acestea, funcția inversă a lui w și ^{w a} fost descrisă pentru prima dată de Pólya și Szegő în 1925. Funcția W a lui Lambert a fost „redescoperită” aproximativ în fiecare deceniu în aplicații specializate, dar importanța sa nu a fost observată până la sfârșitul anilor '90.

Ramura principală W ₀ este indicată cu Wp în Biblioteca digitală a funcțiilor matematice în timp ce ramura W ₋₁ este indicată acolo cu Wm . Notatia folosita in acest articol (cu W ₀ si W _-1 ) este de acord cu cea folosita de Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey si Knuth .

Analize

Derivat

Prin derivare implicită, se poate arăta că toate ramurile lui W satisfac ecuația diferențială

z(1+W){\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}=W,\quad z\neq -1/e.

{\ displaystyle z (1 + W) {\ frac {{\ rm {d}} W} {{\ rm {d}} z}} = W, \ quad z \ neq -1 / e.}

{\ displaystyle z (1 + W) {\ frac {{\ rm {d}} W} {{\ rm {d}} z}} = W, \ quad z \ neq -1 / e.}

( W nu este diferențiat la z = -1 / e ). Aceasta este o consecință a următoarei formule pentru derivata lui W :

{\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}},\quad z\not \in \{0,-1/e\}.

{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} W} {{\ rm {d}} z}} = {\ frac {W (z)} {z (1 + W (z))}}, \ quad z \ not \ in \ {0, -1 / și \}.}

{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} W} {{\ rm {d}} z}} = {\ frac {W (z)} {z (1 + W (z))}}, \ quad z \ not \ in \ {0, -1 / și \}.}

De asemenea, are

\left.{\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}\right|_{z=0}=1.

{\ displaystyle \ left. {\ frac {{\ rm {d}} W} {{\ rm {d}} z}} \ right | _ {z = 0} = 1.}

{\ displaystyle \ left. {\ frac {{\ rm {d}} W} {{\ rm {d}} z}} \ right | _ {z = 0} = 1.}

Demonstrație

De fapt, fiind prin definiție $z=We^{W}$ ${\ displaystyle z = We ^ {W}}$ ${\ displaystyle z = We ^ {W}}$ , avem:

{\frac {{\rm {d}}z}{{\rm {d}}W}}=We^{W}+e^{W}={\frac {W\cdot We^{W}+We^{W}}{W}}={\frac {Wz+z}{W}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} z} {{\ rm {d}} W}} = We ^ {W} + e ^ {W} = {\ frac {W \ cdot We ^ { W} + We ^ {W}} {W}} = {\ frac {Wz + z} {W}}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} z} {{\ rm {d}} W}} = We ^ {W} + e ^ {W} = {\ frac {W \ cdot We ^ { W} + We ^ {W}} {W}} = {\ frac {Wz + z} {W}}}

de la care:

{\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}={\frac {W}{Wz+z}}={\frac {W}{z(1+W)}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} W} {{\ rm {d}} z}} = {\ frac {W} {Wz + z}} = {\ frac {W} {z ( 1 + W)}}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} W} {{\ rm {d}} z}} = {\ frac {W} {Wz + z}} = {\ frac {W} {z ( 1 + W)}}}

În special, la punct $(z=0,W(z)=0)$ ${\ displaystyle (z = 0, W (z) = 0)}$ ${\ displaystyle (z = 0, W (z) = 0)}$ , derivatul funcției $z(W)=We^{W}$ ${\ displaystyle z (W) = We ^ {W}}$ ${\ displaystyle z (W) = We ^ {W}}$ 1, deci derivata funcției $W(z)$ ${\ displaystyle W (z)}$ ${\ displaystyle W (z)}$ , care este reciprocă, poate fi extinsă pentru continuitate și este 1.

Primitiv

Funcția W ( x ) și multe expresii care includ W ( x ) pot fi integrate prin aplicarea substituției w = W ( x ), adică x = W și ^W :

\int W(x)\,{\rm {d}}x=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.

{\ displaystyle \ int W (x) \, {\ rm {d}} x = x \ left (W (x) -1 + {\ frac {1} {W (x)}} \ right) + C. }

{\ displaystyle \ int W (x) \, {\ rm {d}} x = x \ left (W (x) -1 + {\ frac {1} {W (x)}} \ right) + C. }

Demonstrație

Intr-adevar:

\int W(x)\,{\rm {d}}x=

{\ displaystyle \ int W (x) \, {\ rm {d}} x =}

{\ displaystyle \ int W (x) \, {\ rm {d}} x =}

cu înlocuire $x=We^{W}$ ${\ displaystyle x = We ^ {W}}$ ${\ displaystyle x = We ^ {W}}$

$=\int W\,{\rm {d}}(We^{W})=\int W(e^{W}+We^{W})\,{\rm {d}}W=\int (W+W^{2})e^{W}\,{\rm {d}}W=$ ${\ displaystyle = \ int W \, {\ rm {d}} (We ^ {W}) = \ int W (e ^ {W} + We ^ {W}) \, {\ rm {d}} W = \ int (W + W ^ {2}) și ^ {W} \, {\ rm {d}} W =}$ ${\ displaystyle = \ int W \, {\ rm {d}} (We ^ {W}) = \ int W (e ^ {W} + We ^ {W}) \, {\ rm {d}} W = \ int (W + W ^ {2}) și ^ {W} \, {\ rm {d}} W =}$

integrarea pe piese

$=(W+W^{2})e^{W}-\int e^{W}(1+2W)\,{\rm {d}}W=(W+W^{2})e^{W}-e^{W}-2\int We^{W}\,{\rm {d}}W$ ${\ displaystyle = (W + W ^ {2}) e ^ {W} - \ int e ^ {W} (1 + 2W) \, {\ rm {d}} W = (W + W ^ { 2}) e ^ {W} -e ^ {W} -2 \ int We ^ {W} \, {\ rm {d}} W}$ ${\ displaystyle = (W + W ^ {2}) e ^ {W} - \ int e ^ {W} (1 + 2W) \, {\ rm {d}} W = (W + W ^ { 2}) e ^ {W} -e ^ {W} -2 \ int We ^ {W} \, {\ rm {d}} W}$

În acest moment, integrarea pe părți în ultimul termen:

\int We^{W}\,{\rm {d}}W=We^{W}-\int e^{W}\,{\rm {d}}W=We^{W}-e^{W}+C

{\ displaystyle \ int We ^ {W} \, {\ rm {d}} W = We ^ {W} - \ int e ^ {W} \, {\ rm {d}} W = We ^ {W} -e ^ {W} + C}

{\ displaystyle \ int We ^ {W} \, {\ rm {d}} W = We ^ {W} - \ int e ^ {W} \, {\ rm {d}} W = We ^ {W} -e ^ {W} + C}

și înlocuind în expresia anterioară, obținem:

\int W(x)\,{\rm {d}}x=(W+W^{2})e^{W}-e^{W}-2We^{W}+2e^{W}+C=

{\ displaystyle \ int W (x) \, {\ rm {d}} x = (W + W ^ {2}) e ​​^ {W} -e ^ {W} -2We ^ {W} + 2e ^ {W} + C =}

{\ displaystyle \ int W (x) \, {\ rm {d}} x = (W + W ^ {2}) e ​​^ {W} -e ^ {W} -2We ^ {W} + 2e ^ {W} + C =}

=W^{2}e^{W}-We^{W}+e^{W}+C=W\cdot We^{W}-We^{W}+{\frac {We^{W}}{W}}+C=

{\ displaystyle = W ^ {2} e ^ {W} -We ^ {W} + e ^ {W} + C = W \ cdot We ^ {W} -We ^ {W} + {\ frac {We ^ {W}} {W}} + C =}

{\ displaystyle = W ^ {2} e ^ {W} -We ^ {W} + e ^ {W} + C = W \ cdot We ^ {W} -We ^ {W} + {\ frac {We ^ {W}} {W}} + C =}

Wx-x+{\frac {x}{W}}+C=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C

{\ displaystyle Wx-x + {\ frac {x} {W}} + C = x \ left (W (x) -1 + {\ frac {1} {W (x)}} \ right) + C}

{\ displaystyle Wx-x + {\ frac {x} {W}} + C = x \ left (W (x) -1 + {\ frac {1} {W (x)}} \ right) + C}

Seria Maclaurin

Seria lui Maclaurin $W_{0}$ ${\ displaystyle W_ {0}}$ ${\ displaystyle W_ {0}}$ poate fi găsit folosind teorema de inversiune a lui Lagrange și este dat de

W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots

{\ displaystyle W_ {0} (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-n) ^ {n-1}} {n!}} \ x ^ {n} = xx ^ {2} + {\ frac {3} {2}} x ^ {3} - {\ frac {8} {3}} x ^ {4} + {\ frac {125} {24}} x ^ {5} - \ cdots}

{\ displaystyle W_ {0} (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-n) ^ {n-1}} {n!}} \ x ^ {n} = xx ^ {2} + {\ frac {3} {2}} x ^ {3} - {\ frac {8} {3}} x ^ {4} + {\ frac {125} {24}} x ^ {5} - \ cdots}

Raza de convergență este 1 / e , după cum se poate observa prin aplicarea criteriului rădăcină . Funcția definită de această serie poate fi extinsă la o funcție holomorfă definită pentru orice număr complex. Această funcție definește ramura principală a funcției Lambert W.

Întregi și puteri complexe

Puteri întregi ale $W_{0}$ ${\ displaystyle W_ {0}}$ ${\ displaystyle W_ {0}}$ admite o expansiune a seriei Taylor (sau Laurent ) centrată la 0

W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2(-n)^{n-3}}{(n-2)!}}\ x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\frac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots

{\ displaystyle W_ {0} (x) ^ {2} = \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {-2 (-n) ^ {n-3}} {(n-2 )!}} \ x ^ {n} = x ^ {2} -2x ^ {3} + 4x ^ {4} - {\ frac {25} {3}} x ^ {5} + 18x ^ {6} - \ cdots}

{\ displaystyle W_ {0} (x) ^ {2} = \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {-2 (-n) ^ {n-3}} {(n-2 )!}} \ x ^ {n} = x ^ {2} -2x ^ {3} + 4x ^ {4} - {\ frac {25} {3}} x ^ {5} + 18x ^ {6} - \ cdots}

Mai general, pentru $r\in \mathbb {Z} ,$ ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {Z},}$ ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {Z},}$ , formula de inversiune Lagrange permite obținerea

W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r(-n)^{n-r-1}}{(n-r)!}}\ x^{n},

{\ displaystyle W_ {0} (x) ^ {r} = \ sum _ {n = r} ^ {\ infty} {\ frac {-r (-n) ^ {nr-1}} {(nr)! }} \ x ^ {n},}

{\ displaystyle W_ {0} (x) ^ {r} = \ sum _ {n = r} ^ {\ infty} {\ frac {-r (-n) ^ {nr-1}} {(nr)! }} \ x ^ {n},}

care este, în general, o serie Laurent de ordine r . În mod echivalent, acesta din urmă poate fi scris ca seria lui Taylor $W_{0}(x)/x$ ${\ displaystyle W_ {0} (x) / x}$ ${\ displaystyle W_ {0} (x) / x}$

\left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=e^{-rW_{0}(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r(n+r)^{n-1}}{n!}}\ (-x)^{n},

{\ displaystyle \ left ({\ frac {W_ {0} (x)} {x}} \ right) ^ {r} = e ^ {- rW_ {0} (x)} = \ sum _ {n = 0 } ^ {\ infty} {\ frac {r (n + r) ^ {n-1}} {n!}} \ (-x) ^ {n},}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {W_ {0} (x)} {x}} \ right) ^ {r} = e ^ {- rW_ {0} (x)} = \ sum _ {n = 0 } ^ {\ infty} {\ frac {r (n + r) ^ {n-1}} {n!}} \ (-x) ^ {n},}

valabil pentru fiecare $r\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {C}}$ Și $|x|<e^{-1}$ ${\ displaystyle | x | <e ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle | x | <e ^ {- 1}}$ .

Valori remarcabile

Pentru orice algebric diferit de zero x W ( x ) este un număr transcendent . Această proprietate poate fi dovedită în mod absurd : dacă W ( x ) ar fi algebric și non-nul (rețineți că dacă x este non-nul, W ( x ) trebuie să fie și el) atunci prin teorema Lindemann-Weierstrass și ^{W ( x ) ar} trebui să fie transcendent, ceea ce înseamnă că x = W ( x ) și ^{W ( x )} sunt, de asemenea, transcendenți, contrazicând ipoteza că x este algebric.

W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}{\rm {i}}

{\ displaystyle W \ left (- {\ frac {\ pi} {2}} \ right) = {\ frac {\ pi} {2}} {\ rm {i}}}

{\ displaystyle W \ left (- {\ frac {\ pi} {2}} \ right) = {\ frac {\ pi} {2}} {\ rm {i}}}

W\left(-1\right)\approx -0,31813-1,33723{\rm {i}}

{\ displaystyle W \ left (-1 \ right) \ approx -0.31813-1.33723 {\ rm {i}}}

{\ displaystyle W \ left (-1 \ right) \ approx -0.31813-1.33723 {\ rm {i}}}

W\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1

{\ displaystyle W \ left (- {\ frac {1} {e}} \ right) = - 1}

{\ displaystyle W \ left (- {\ frac {1} {e}} \ right) = - 1}

W\left(0\right)=0

{\ displaystyle W \ left (0 \ right) = 0}

{\ displaystyle W \ left (0 \ right) = 0}

W\left(1\right)=\Omega \approx 0,56714329\dots

{\ displaystyle W \ left (1 \ right) = \ Omega \ approx 0.56714329 \ dots}

{\ displaystyle W \ left (1 \ right) = \ Omega \ approx 0.56714329 \ dots}

unde este

\Omega

{\ displaystyle \ Omega}

\Omega

indică constanta Omega

W\left(e\right)=1

{\ displaystyle W \ left (e \ right) = 1}

{\ displaystyle W \ left (e \ right) = 1}

W(x\ln x)=\ln x\quad \left({\frac {1}{e}}\leq x\leq e\right)

{\ displaystyle W (x \ ln x) = \ ln x \ quad \ left ({\ frac {1} {e}} \ leq x \ leq e \ right)}

{\ displaystyle W (x \ ln x) = \ ln x \ quad \ left ({\ frac {1} {e}} \ leq x \ leq e \ right)}

W'\left(0\right)=1

{\ displaystyle W '\ left (0 \ right) = 1}

{\ displaystyle W '\ left (0 \ right) = 1}

Alte proprietăți integrale

\int _{0}^{\pi }W{\bigl (}2\cot ^{2}(x){\bigr )}\sec ^{2}(x)\;\mathrm {d} x=4{\sqrt {\pi }}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} W {\ bigl (} 2 \ cot ^ {2} (x) {\ bigr)} \ sec ^ {2} (x) \; \ mathrm {d } x = 4 {\ sqrt {\ pi}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} W {\ bigl (} 2 \ cot ^ {2} (x) {\ bigr)} \ sec ^ {2} (x) \; \ mathrm {d } x = 4 {\ sqrt {\ pi}}}

\int _{0}^{+\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\;\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} W \ left ({\ frac {1} {x ^ {2}}} \ right) \; \ mathrm {d} x = {\ sqrt {2 \ pi}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} W \ left ({\ frac {1} {x ^ {2}}} \ right) \; \ mathrm {d} x = {\ sqrt {2 \ pi}}}

\int _{0}^{+\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\mathrm {d} x=2{\sqrt {2\pi }}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {W (x)} {x {\ sqrt {x}}}} \ mathrm {d} x = 2 {\ sqrt {2 \ pi }}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {W (x)} {x {\ sqrt {x}}}} \ mathrm {d} x = 2 {\ sqrt {2 \ pi }}}

Aplicații

Multe ecuații care includ exponențieri pot fi rezolvate folosind funcția W. Strategia generală este de a muta toate aparițiile necunoscutului către un membru pentru a obține o formă de tip Y = Xe ^X , moment în care funcția W furnizează valoarea variabilei în X.

Cu alte cuvinte:

Y=Xe^{X}\;\Longleftrightarrow \;X=W(Y)

{\ displaystyle Y = Xe ^ {X} \; \ Longleftrightarrow \; X = W (Y)}

{\ displaystyle Y = Xe ^ {X} \; \ Longleftrightarrow \; X = W (Y)}

Exemplul 1

2^{t}=5t

{\ displaystyle 2 ^ {t} = 5t}

{\ displaystyle 2 ^ {t} = 5t}

\Rightarrow 1={\frac {5t}{2^{t}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow 1 = {\ frac {5t} {2 ^ {t}}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow 1 = {\ frac {5t} {2 ^ {t}}}}

\Rightarrow 1=5t\,e^{-t\ln 2}

{\ displaystyle \ Rightarrow 1 = 5t \, e ^ {- t \ ln 2}}

{\ displaystyle \ Rightarrow 1 = 5t \, e ^ {- t \ ln 2}}

\Rightarrow {\frac {1}{5}}=t\,e^{-t\ln 2}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {1} {5}} = t \, e ^ {- t \ ln 2}}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {1} {5}} = t \, e ^ {- t \ ln 2}}

\Rightarrow {\frac {-\,\ln 2}{5}}=(-\,t\,\ln 2)\,e^{(-t\ln 2)}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {- \, \ ln 2} {5}} = (- \, t \, \ ln 2) \, e ^ {(- t \ ln 2)}}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {- \, \ ln 2} {5}} = (- \, t \, \ ln 2) \, e ^ {(- t \ ln 2)}}

\Rightarrow W\left({\frac {-\ln 2}{5}}\right)=-t\ln 2

{\ displaystyle \ Rightarrow W \ left ({\ frac {- \ ln 2} {5}} \ right) = - t \ ln 2}

{\ displaystyle \ Rightarrow W \ left ({\ frac {- \ ln 2} {5}} \ right) = - t \ ln 2}

\Rightarrow t=-{\frac {1}{\ln 2}}W\left({\frac {-\ln 2}{5}}\right)

{\ displaystyle \ Rightarrow t = - {\ frac {1} {\ ln 2}} W \ left ({\ frac {- \ ln 2} {5}} \ right)}

{\ displaystyle \ Rightarrow t = - {\ frac {1} {\ ln 2}} W \ left ({\ frac {- \ ln 2} {5}} \ right)}

Mai general, ecuația

~p^{ax+b}=cx+d

{\ displaystyle ~ p ^ {ax + b} = cx + d}

{\ displaystyle ~ p ^ {ax + b} = cx + d}

unde este

p>0{\text{ e }}c,a\neq 0

{\ displaystyle p> 0 {\ text {e}} c, a \ neq 0}

{\ displaystyle p> 0 {\ text {e}} c, a \ neq 0}

poate fi transformat prin substituție

-t=ax+{\frac {ad}{c}}

{\ displaystyle -t = ax + {\ frac {ad} {c}}}

{\ displaystyle -t = ax + {\ frac {ad} {c}}}

în

tp^{t}=R=-{\frac {a}{c}}p^{b-{\frac {ad}{c}}}

{\ displaystyle tp ^ {t} = R = - {\ frac {a} {c}} p ^ {b - {\ frac {ad} {c}}}}

{\ displaystyle tp ^ {t} = R = - {\ frac {a} {c}} p ^ {b - {\ frac {ad} {c}}}}

obtinerea

t={\frac {W(R\ln p)}{\ln p}}

{\ displaystyle t = {\ frac {W (R \ ln p)} {\ ln p}}}

{\ displaystyle t = {\ frac {W (R \ ln p)} {\ ln p}}}

care oferă soluția finală

x=-{\frac {d}{c}}-{\frac {1}{a\ln p}}W\left(-{\frac {a}{c}}\,p^{b-{\frac {ad}{c}}}\ln p\right)

{\ displaystyle x = - {\ frac {d} {c}} - {\ frac {1} {a \ ln p}} W \ left (- {\ frac {a} {c}} \, p ^ { b - {\ frac {ad} {c}}} \ ln p \ right)}

{\ displaystyle x = - {\ frac {d} {c}} - {\ frac {1} {a \ ln p}} W \ left (- {\ frac {a} {c}} \, p ^ { b - {\ frac {ad} {c}}} \ ln p \ right)}

În mod similar, derivăm că ecuația

p^{ax+b}\,(cx+d)=q

{\ displaystyle p ^ {ax + b} \, (cx + d) = q}

{\ displaystyle p ^ {ax + b} \, (cx + d) = q}

are pentru soluție

x=-{\frac {d}{c}}+{\frac {1}{a\ln p}}W\left(q\,{\frac {a}{c}}\,p^{{\frac {ad}{c}}-b}\ln p\right)

{\ displaystyle x = - {\ frac {d} {c}} + {\ frac {1} {a \ ln p}} W \ left (q \, {\ frac {a} {c}} \, p ^ {{\ frac {ad} {c}} - b} \ ln p \ right)}

{\ displaystyle x = - {\ frac {d} {c}} + {\ frac {1} {a \ ln p}} W \ left (q \, {\ frac {a} {c}} \, p ^ {{\ frac {ad} {c}} - b} \ ln p \ right)}

Exemplul 2

$\ln(x)=1+ax\ \$ ${\ displaystyle \ ln (x) = 1 + ax \ \}$ ${\ displaystyle \ ln (x) = 1 + ax \ \}$ cu $\ a\neq 0$ ${\ displaystyle \ a \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ a \ neq 0}$

\Rightarrow x=e^{1+ax}=e\cdot e^{ax}

{\ displaystyle \ Rightarrow x = e ^ {1 + ax} = e \ cdot e ^ {ax}}

{\ displaystyle \ Rightarrow x = e ^ {1 + ax} = e \ cdot e ^ {ax}}

\Rightarrow e=x\cdot e^{-ax}

{\ displaystyle \ Rightarrow e = x \ cdot e ^ {- ax}}

{\ displaystyle \ Rightarrow e = x \ cdot e ^ {- ax}}

\Rightarrow -ae=-ax\cdot e^{-ax}

{\ displaystyle \ Rightarrow -ae = -ax \ cdot e ^ {- ax}}

{\ displaystyle \ Rightarrow -ae = -ax \ cdot e ^ {- ax}}

\Rightarrow W(-ae)=-ax

{\ displaystyle \ Rightarrow W (-ae) = - ax}

{\ displaystyle \ Rightarrow W (-ae) = - ax}

\Rightarrow x=-{\frac {W(-ae)}{a}}

{\ displaystyle \ Rightarrow x = - {\ frac {W (-ae)} {a}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow x = - {\ frac {W (-ae)} {a}}}

Mai general, pentru a rezolva ecuația:

\log _{p}(ax+b)=cx+d

{\ displaystyle \ log _ {p} (ax + b) = cx + d}

{\ displaystyle \ log _ {p} (ax + b) = cx + d}

unde este

p>0\ {\text{ e }}\neq 1,\ \ a,c\neq 0,

{\ displaystyle p> 0 \ {\ text {e}} \ neq 1, \ \ a, c \ neq 0,}

{\ displaystyle p> 0 \ {\ text {e}} \ neq 1, \ \ a, c \ neq 0,}

există două moduri.

Primul este să ridici $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ la fiecare membru al acestei ecuații, revenind astfel la exemplul 1:

ax+b=p^{cx+d}

{\ displaystyle ax + b = p ^ {cx + d}}

{\ displaystyle ax + b = p ^ {cx + d}}

Al doilea este după cum urmează:

\log _{p}(ax+b)=cx+d

{\ displaystyle \ log _ {p} (ax + b) = cx + d}

{\ displaystyle \ log _ {p} (ax + b) = cx + d}

\Rightarrow {\frac {\ln(ax+b)}{\ln p}}=cx+d

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ ln (ax + b)} {\ ln p}} = cx + d}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ ln (ax + b)} {\ ln p}} = cx + d}

\Rightarrow \ln(ax+b)=cx\cdot \ln p+d\cdot \ln p

{\ displaystyle \ Rightarrow \ ln (ax + b) = cx \ cdot \ ln p + d \ cdot \ ln p}

{\ displaystyle \ Rightarrow \ ln (ax + b) = cx \ cdot \ ln p + d \ cdot \ ln p}

\Rightarrow ax+b=e^{cx\cdot \ln p+d\cdot \ln p}=p^{d}\cdot e^{cx\cdot \ln p}

{\ displaystyle \ Rightarrow ax + b = e ^ {cx \ cdot \ ln p + d \ cdot \ ln p} = p ^ {d} \ cdot e ^ {cx \ cdot \ ln p}}

{\ displaystyle \ Rightarrow ax + b = e ^ {cx \ cdot \ ln p + d \ cdot \ ln p} = p ^ {d} \ cdot e ^ {cx \ cdot \ ln p}}

\Rightarrow p^{d}=(ax+b)\cdot e^{-cx\cdot \ln p}

{\ displaystyle \ Rightarrow p ^ {d} = (ax + b) \ cdot e ^ {- cx \ cdot \ ln p}}

{\ displaystyle \ Rightarrow p ^ {d} = (ax + b) \ cdot e ^ {- cx \ cdot \ ln p}}

\Rightarrow -{\frac {c\ln p}{a}}\cdot p^{d}=-(cx\cdot \ln p+{\frac {bc\ln p}{a}})\cdot e^{-cx\cdot \ln p}

{\ displaystyle \ Rightarrow - {\ frac {c \ ln p} {a}} \ cdot p ^ {d} = - (cx \ cdot \ ln p + {\ frac {bc \ ln p} {a}}) \ cdot e ^ {- cx \ cdot \ ln p}}

{\ displaystyle \ Rightarrow - {\ frac {c \ ln p} {a}} \ cdot p ^ {d} = - (cx \ cdot \ ln p + {\ frac {bc \ ln p} {a}}) \ cdot e ^ {- cx \ cdot \ ln p}}

\Rightarrow -{\frac {c\ln p}{a}}\cdot p^{d}\cdot e^{-{\frac {bc\ln p}{a}}}=-\left(cx\cdot \ln p+{\frac {bc\ln p}{a}}\right)\cdot e^{-\left(cx\cdot \ln p+{\frac {bc\ln p}{a}}\right)}

{\ displaystyle \ Rightarrow - {\ frac {c \ ln p} {a}} \ cdot p ^ {d} \ cdot e ^ {- {\ frac {bc \ ln p} {a}}} = - \ left (cx \ cdot \ ln p + {\ frac {bc \ ln p} {a}} \ right) \ cdot e ^ {- \ left (cx \ cdot \ ln p + {\ frac {bc \ ln p} { a}} \ right)}}

{\ displaystyle \ Rightarrow - {\ frac {c \ ln p} {a}} \ cdot p ^ {d} \ cdot e ^ {- {\ frac {bc \ ln p} {a}}} = - \ left (cx \ cdot \ ln p + {\ frac {bc \ ln p} {a}} \ right) \ cdot e ^ {- \ left (cx \ cdot \ ln p + {\ frac {bc \ ln p} { a}} \ right)}}

\Rightarrow -{\frac {c\ln p}{a}}\cdot p^{d-{\frac {bc}{a}}}=-\left(cx\cdot \ln p+{\frac {bc\ln p}{a}}\right)\cdot e^{-\left(cx\cdot \ln p+{\frac {bc\ln p}{a}}\right)}

{\ displaystyle \ Rightarrow - {\ frac {c \ ln p} {a}} \ cdot p ^ {d - {\ frac {bc} {a}}} = - \ left (cx \ cdot \ ln p + { \ frac {bc \ ln p} {a}} \ right) \ cdot e ^ {- \ left (cx \ cdot \ ln p + {\ frac {bc \ ln p} {a}} \ right)}}

{\ displaystyle \ Rightarrow - {\ frac {c \ ln p} {a}} \ cdot p ^ {d - {\ frac {bc} {a}}} = - \ left (cx \ cdot \ ln p + { \ frac {bc \ ln p} {a}} \ right) \ cdot e ^ {- \ left (cx \ cdot \ ln p + {\ frac {bc \ ln p} {a}} \ right)}}

\Rightarrow W\left(-{\frac {c\ln p}{a}}\cdot p^{d-{\frac {bc}{a}}}\right)=-\left(cx\cdot \ln p+{\frac {bc\ln p}{a}}\right)

{\ displaystyle \ Rightarrow W \ left (- {\ frac {c \ ln p} {a}} \ cdot p ^ {d - {\ frac {bc} {a}}} \ right) = - \ left (cx \ cdot \ ln p + {\ frac {bc \ ln p} {a}} \ right)}

{\ displaystyle \ Rightarrow W \ left (- {\ frac {c \ ln p} {a}} \ cdot p ^ {d - {\ frac {bc} {a}}} \ right) = - \ left (cx \ cdot \ ln p + {\ frac {bc \ ln p} {a}} \ right)}

\Rightarrow {\frac {bc\ln p}{a}}+W\left(-{\frac {c\ln p}{a}}\cdot p^{d-{\frac {bc}{a}}}\right)=-cx\cdot \ln p

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {bc \ ln p} {a}} + W \ left (- {\ frac {c \ ln p} {a}} \ cdot p ^ {d - {\ frac {bc} {a}}} \ right) = - cx \ cdot \ ln p}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {bc \ ln p} {a}} + W \ left (- {\ frac {c \ ln p} {a}} \ cdot p ^ {d - {\ frac {bc} {a}}} \ right) = - cx \ cdot \ ln p}

\Rightarrow x=-{\frac {b}{a}}-{\frac {1}{c\ln p}}W\left(-{\frac {c}{a}}p^{d-{\frac {bc}{a}}}\ln p\right)

{\ displaystyle \ Rightarrow x = - {\ frac {b} {a}} - {\ frac {1} {c \ ln p}} W \ left (- {\ frac {c} {a}} p ^ { d - {\ frac {bc} {a}}} \ ln p \ right)}

{\ displaystyle \ Rightarrow x = - {\ frac {b} {a}} - {\ frac {1} {c \ ln p}} W \ left (- {\ frac {c} {a}} p ^ { d - {\ frac {bc} {a}}} \ ln p \ right)}

Exemplul 3

a^{x}=bx^{c}\ \ \

{\ displaystyle a ^ {x} = bx ^ {c} \ \ \}

{\ displaystyle a ^ {x} = bx ^ {c} \ \ \}

cu

a>0\ {\text{ e }}\neq 1,\ \ b,c\neq 0

{\ displaystyle a> 0 \ {\ text {e}} \ neq 1, \ \ b, c \ neq 0}

{\ displaystyle a> 0 \ {\ text {e}} \ neq 1, \ \ b, c \ neq 0}

\Rightarrow a^{x/c}=b^{1/c}\ x

{\ displaystyle \ Rightarrow a ^ {x / c} = b ^ {1 / c} \ x}

{\ displaystyle \ Rightarrow a ^ {x / c} = b ^ {1 / c} \ x}

\Rightarrow 1={\frac {b^{1/c}\ x}{a^{x/c}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow 1 = {\ frac {b ^ {1 / c} \ x} {a ^ {x / c}}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow 1 = {\ frac {b ^ {1 / c} \ x} {a ^ {x / c}}}}

\Rightarrow 1=b^{1/c}\ x\ e^{-(x/c)\ln(a)}

{\ displaystyle \ Rightarrow 1 = b ^ {1 / c} \ x \ e ^ {- (x / c) \ ln (a)}}

{\ displaystyle \ Rightarrow 1 = b ^ {1 / c} \ x \ e ^ {- (x / c) \ ln (a)}}

\Rightarrow {\frac {1}{b^{1/c}}}=x\ e^{-(x/c)\ln(a)}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {1} {b ^ {1 / c}}} = x \ e ^ {- (x / c) \ ln (a)}}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {1} {b ^ {1 / c}}} = x \ e ^ {- (x / c) \ ln (a)}}

\Rightarrow -{\frac {\ln(a)}{c\ b^{1/c}}}=-(x/c)\ln(a)\ e^{-(x/c)\ln(a)}

{\ displaystyle \ Rightarrow - {\ frac {\ ln (a)} {c \ b ^ {1 / c}}} = - (x / c) \ ln (a) \ e ^ {- (x / c) \ ln (a)}}

{\ displaystyle \ Rightarrow - {\ frac {\ ln (a)} {c \ b ^ {1 / c}}} = - (x / c) \ ln (a) \ e ^ {- (x / c) \ ln (a)}}

\Rightarrow W\left(-{\frac {\ln(a)}{c\ b^{1/c}}}\right)=-(x/c)\ln(a)

{\ displaystyle \ Rightarrow W \ left (- {\ frac {\ ln (a)} {c \ b ^ {1 / c}}} \ right) = - (x / c) \ ln (a)}

{\ displaystyle \ Rightarrow W \ left (- {\ frac {\ ln (a)} {c \ b ^ {1 / c}}} \ right) = - (x / c) \ ln (a)}

\Rightarrow x=-{\frac {c}{\ln(a)}}W\left(-{\frac {\ln(a)}{c\ b^{1/c}}}\right)

{\ displaystyle \ Rightarrow x = - {\ frac {c} {\ ln (a)}} W \ left (- {\ frac {\ ln (a)} {c \ b ^ {1 / c}}} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ Rightarrow x = - {\ frac {c} {\ ln (a)}} W \ left (- {\ frac {\ ln (a)} {c \ b ^ {1 / c}}} \ dreapta)}

Exemplul 4

Ecuația

x^{x}=z\,,

{\ displaystyle x ^ {x} = z \ ,,}

{\ displaystyle x ^ {x} = z \ ,,}

poate fi rezolvat cu două tehnici diferite:

\Rightarrow x\ln x=\ln z

{\ displaystyle \ Rightarrow x \ ln x = \ ln z}

{\ displaystyle \ Rightarrow x \ ln x = \ ln z}

\Rightarrow \ln x\,e^{\ln x}=\ln z

{\ displaystyle \ Rightarrow \ ln x \, e ^ {\ ln x} = \ ln z}

{\ displaystyle \ Rightarrow \ ln x \, e ^ {\ ln x} = \ ln z}

\Rightarrow \ln x=W(\ln z)

{\ displaystyle \ Rightarrow \ ln x = W (\ ln z)}

{\ displaystyle \ Rightarrow \ ln x = W (\ ln z)}

\Rightarrow x=e^{W(\ln z)}

{\ displaystyle \ Rightarrow x = e ^ {W (\ ln z)}}

{\ displaystyle \ Rightarrow x = e ^ {W (\ ln z)}}

sau, echivalent,

\Rightarrow x=z^{\frac {1}{x}}

{\ displaystyle \ Rightarrow x = z ^ {\ frac {1} {x}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow x = z ^ {\ frac {1} {x}}}

\Rightarrow 1={\frac {1}{x}}e^{\frac {\ln z}{x}}

{\ displaystyle \ Rightarrow 1 = {\ frac {1} {x}} e ^ {\ frac {\ ln z} {x}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow 1 = {\ frac {1} {x}} e ^ {\ frac {\ ln z} {x}}}

\Rightarrow \ln z={\frac {\ln z}{x}}e^{\frac {\ln z}{x}}

{\ displaystyle \ Rightarrow \ ln z = {\ frac {\ ln z} {x}} e ^ {\ frac {\ ln z} {x}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow \ ln z = {\ frac {\ ln z} {x}} e ^ {\ frac {\ ln z} {x}}}

\Rightarrow W(\ln z)={\frac {\ln z}{x}}

{\ displaystyle \ Rightarrow W (\ ln z) = {\ frac {\ ln z} {x}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow W (\ ln z) = {\ frac {\ ln z} {x}}}

\Rightarrow x={\frac {\ln z}{W(\ln z)}}

{\ displaystyle \ Rightarrow x = {\ frac {\ ln z} {W (\ ln z)}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow x = {\ frac {\ ln z} {W (\ ln z)}}}

Rețineți că cele două forme sunt echivalente prin aceea că însăși definiția lui W

e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}}.

{\ displaystyle e ^ {W (x)} = {\ frac {x} {W (x)}}.}

{\ displaystyle e ^ {W (x)} = {\ frac {x} {W (x)}}.}

Exemplul 5

Tetrarea infinită

x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}\ \ ,

{\ displaystyle x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} \ \,}

{\ displaystyle x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} \ \,}

după cum a demonstrat Euler în 1783, ^[1] converge pentru e ^{- e} ≤ x ≤ e ^{1 / e} ; după cum a demonstrat Eisenstein în 1844, ^[2] funcția W oferă valoarea limită:

\ell ={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}=e^{-W(-\ln x)}.

{\ displaystyle \ ell = {\ frac {W (- \ ln x)} {- \ ln x}} = e ^ {- W (- \ ln x)}.}

{\ displaystyle \ ell = {\ frac {W (- \ ln x)} {- \ ln x}} = e ^ {- W (- \ ln x)}.}

Demonstrație

De fapt, odată stabilit intervalul de convergență al tetrării infinite, se poate observa că:

x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=x^{{\big (}x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}{\big )}}=e^{{\big (}x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}{\big )}\ln x}

{\ displaystyle x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} = x ^ {{\ big (} x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}} {\ big)}} = e ^ {{\ big (} x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} { \ big)} \ ln x}}

{\ displaystyle x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} = x ^ {{\ big (} x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}} {\ big)}} = e ^ {{\ big (} x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} { \ big)} \ ln x}}

\Rightarrow 1={\frac {x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}{e^{{\big (}x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}{\big )}\ln x}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow 1 = {\ frac {x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} {e ^ {{\ big (} x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} {\ big)} \ ln x}}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow 1 = {\ frac {x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} {e ^ {{\ big (} x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} {\ big)} \ ln x}}}}

\Rightarrow 1={\big (}x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}{\big )}e^{-{\big (}x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}{\big )}\ln x}

{\ displaystyle \ Rightarrow 1 = {\ big (} x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}} {\ big)} e ^ {- {\ big (} x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}} {\ big)} \ ln x}}

{\ displaystyle \ Rightarrow 1 = {\ big (} x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}} {\ big)} e ^ {- {\ big (} x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}} {\ big)} \ ln x}}

\Rightarrow -\ln x=-{\big (}x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}{\big )}\ln x\ \ e^{-{\big (}x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}{\big )}\ln x}

{\ displaystyle \ Rightarrow - \ ln x = - {\ big (} x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} {\ big)} \ ln x \ \ e ^ {- {\ big (} x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} {\ big)} \ ln x}}

{\ displaystyle \ Rightarrow - \ ln x = - {\ big (} x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} {\ big)} \ ln x \ \ e ^ {- {\ big (} x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} {\ big)} \ ln x}}

\Rightarrow -{\big (}x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}{\big )}\ln x=W(-\ln x)

{\ displaystyle \ Rightarrow - {\ big (} x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}} {\ big)} \ ln x = W (- \ ln x )}}

{\ displaystyle \ Rightarrow - {\ big (} x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}} {\ big)} \ ln x = W (- \ ln x )}}

\Rightarrow x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}

{\ displaystyle \ Rightarrow x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} = {\ frac {W (- \ ln x)} {- \ ln x}}}

{\ displaystyle \ Rightarrow x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} = {\ frac {W (- \ ln x)} {- \ ln x}}}

Pe de altă parte, această expresie este echivalentă cu

e^{-W(-\ln x)}

{\ displaystyle e ^ {- W (- \ ln x)}}

{\ displaystyle e ^ {- W (- \ ln x)}}

De fapt, prin însăși definiția lui W:

W(z)e^{W(z)}=z

{\ displaystyle W (z) e ^ {W (z)} = z}

{\ displaystyle W (z) e ^ {W (z)} = z}

\Rightarrow {\frac {W(z)}{z}}={\frac {1}{e^{W(z)}}}=e^{-W(z)}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {W (z)} {z}} = {\ frac {1} {e ^ {W (z)}}} = e ^ {- W (z)}}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {W (z)} {z}} = {\ frac {1} {e ^ {W (z)}}} = e ^ {- W (z)}}

deci, locul $z=-\ln x$ ${\ displaystyle z = - \ ln x}$ ${\ displaystyle z = - \ ln x}$ , avem:

{\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}=e^{-W(-\ln x)}

{\ displaystyle {\ frac {W (- \ ln x)} {- \ ln x}} = e ^ {- W (- \ ln x)}}

{\ displaystyle {\ frac {W (- \ ln x)} {- \ ln x}} = e ^ {- W (- \ ln x)}}

Generalizări

Funcția W a lui Lambert oferă soluții reale pentru ecuațiile algebric-transcendente (în x ) ale formei:

e^{-cx}=a_{o}(x-r)~~\quad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)

{\ displaystyle e ^ {- cx} = a_ {o} (xr) ~~ \ quad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (1)}

{\ displaystyle e ^ {- cx} = a_ {o} (x-r) ~~ \ quad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (1)}

unde a ₀ , c și r sunt constante reale. Soluția este $x=r+W(ce^{-cr}/a_{o})/c$ ${\ displaystyle x = r + W (ce ^ {- cr} / a_ {o}) / c}$ ${\ displaystyle x = r + W (ce ^ {- cr} / a_ {o}) / c}$ . Generalizările funcției Lambert W ^[3] ^[4] ^[5] includ:

O aplicație la relativitatea generală și mecanica cuantică ( gravitația cuantică ) în dimensiuni mici; este o legătură necunoscută anterior (anterior articolului din 2007 de Farrugia, Mann și Scott ^[6] ) între aceste două domenii:

e^{-cx}=a_{o}(x-r_{1})(x-r_{2})~~\qquad \qquad (2)

{\ displaystyle e ^ {- cx} = a_ {o} (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) ~~ \ qquad \ qquad (2)}

{\ displaystyle e ^ {- cx} = a_ {o} (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) ~~ \ qquad \ qquad (2)}

unde partea dreaptă a lui (1) este un polinom pătratic în x , iar r ₁ și r ₂ sunt constante reale distincte, rădăcinile polinomului pătratic. În acest caz, soluția este o singură funcție argument x, iar termenii r _i și _o sunt parametrii acestei funcții. Din acest punct de vedere, generalizarea seamănă cu funcția hipergeometrică și funcția Meijer G, dar aparține unei clase diferite de funcții. Când r ₁ = r ₂ , ambele părți ale lui (2) pot fi luate în considerare și reduse la cazul (1); deci soluția este cea a funcției standard W. Ecuația (2) descrie câmpul dilaton , din care derivă metrica problemei gravitației cu doi corpuri R = T sau liniară în dimensiuni 1 + 1 (o dimensiune spațială și o dimensiune temporală) pentru cazul maselor în repaus diferite, ca precum și energiile din modelul cuantic unidimensional al unui puț dublu potențial, cu potențiale delta Dirac, pentru sarcini diferite.

Soluții analitice ale energiilor unui caz particular al problemei cuantice a celor trei corpuri, mai exact molecula de hidrogen odată ionizată ^[7] . În acest caz, partea dreaptă a lui (1) (sau (2)) este un coeficient de polinoame în x de grad infinit:

e^{-cx}=a_{o}{\frac {\prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}\qquad \qquad \qquad (3)

{\ displaystyle e ^ {- cx} = a_ {o} {\ frac {\ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} (x-r_ {i})} {\ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} (x-s_ {i})}} \ qquad \ qquad \ qquad (3)}

{\ displaystyle e ^ {- cx} = a_ {o} {\ frac {\ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} (x-r_ {i})} {\ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} (x-s_ {i})}} \ qquad \ qquad \ qquad (3)}

unde r _i și s _i sunt constante reale distincte și x este o funcție de energie și R. distanța internuclear Ecuația (3), cu cazurile speciale (1) și (2), joacă un rol într-o clasă mare de ecuații diferențiale întârziate. Datorită noțiunii lui Hardy de „derivată falsă”, s-au găsit mai multe rădăcini exacte pentru cazuri speciale de ecuații (3) ^[8] .

Aplicațiile funcției W a lui Lambert la problemele fundamentale de fizică nu sunt epuizate nici măcar pentru cazul standard (1), așa cum sa văzut recent în fizica atomică, moleculară și optică ^[9] .

Valorile numerice

Funcția W poate fi aproximată folosind metoda tangentă , cu aproximarea succesivă a $w=W(z)$ ${\ displaystyle w = W (z)}$ ${\ displaystyle w = W (z)}$ (astfel încât $z=we^{w}$ ${\ displaystyle z = we ^ {w}}$ ${\ displaystyle z = we ^ {w}}$ ) prin

w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}.

{\ displaystyle w_ {j + 1} = w_ {j} - {\ frac {w_ {j} e ^ {w_ {j}} - z} {e ^ {w_ {j}} + w_ {j} e ^ {w_ {j}}}}.}

{\ displaystyle w_ {j + 1} = w_ {j} - {\ frac {w_ {j} e ^ {w_ {j}} - z} {e ^ {w_ {j}} + w_ {j} e ^ {w_ {j}}}}.}

Funcția W poate fi, de asemenea, aproximată folosind metoda lui Halley,

w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}(w_{j}+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}.

{\ displaystyle w_ {j + 1} = w_ {j} - {\ frac {w_ {j} e ^ {w_ {j}} - z} {e ^ {w_ {j}} (w_ {j} +1 ) - {\ frac {(w_ {j} +2) (w_ {j} e ^ {w_ {j}} - z)} {2w_ {j} +2}}}}.}

{\ displaystyle w_ {j + 1} = w_ {j} - {\ frac {w_ {j} e ^ {w_ {j}} - z} {e ^ {w_ {j}} (w_ {j} +1 ) - {\ frac {(w_ {j} +2) (w_ {j} e ^ {w_ {j}} - z)} {2w_ {j} +2}}}}.}

Grafice

Grafice ale funcției Lambert W în planul complex
z = Re (W ₀ ( x + i y ))
z = Im (W ₀ ( x + i y ))
W ₀ ( x + i y )

Notă

^ Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2 , 29–51, 1783. Reeditat în Euler, L. Opera Omnia, Seria Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae . Leipzig, Germania: Teubner, pp. 350–369, 1921. ( facsimil )
^ Funcția W (x) , pe bitman.name . Adus la 20 iulie 2020 .
^ TC Scott și RB Mann, General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function , AAECC (Aplicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, nr. 1, (aprilie 2006), pp. 41-47, [1] ; articol Arxiv [2]
^ TC Scott, G. Fee și J. Grotendorst, „Seria asimptotică a funcției Lambert W generalizate” , SIGSAM, vol. 47, nr. 3, (septembrie 2013), pp. 75-83
^ TC Scott, G. Fee, J. Grotendorst și WZ Zhang, "Numerica funcției generalizate Lambert W" , SIGSAM, vol. 48, nr. 2, (iunie 2014), pp. 42-56
^ PS Farrugia, RB Mann și TC Scott, N-body Gravity și ecuația Schrˆdinger , clasa. Quantum Grav. vol. 24, (2007), pp. 4647-4659, [3] ; articol Arxiv [4]
^ TC Scott, M. Aubert-Frécon și J. Grotendorst, Noua abordare pentru energiile electronice ale ionului molecular de hidrogen , Chem. Fizic. vol. 324, (2006), pp. 323-338, [5] Arhivat la 31 martie 2009 la Internet Archive ; articol Arxiv [6]
^ Aude Maignan și TC Scott, "Fleshing out the Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 50, nr. 2, (iunie 2016), pp. 45-60
^ TC Scott, A. Lüchow, D. Bressanini și JD Morgan III, Suprafețele nodale ale funcțiilor proprii ale atomului de heliu , Phys. Rev. A 75, (2007), p. 060101, [7]

Elemente conexe

Ecuația x ^y = y ^x

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Funcția W a lui Lambert

linkuri externe

MathWorld - Lambert W -Function , su mathworld.wolfram.com .

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2 , 29–51, 1783. Reeditat în Euler, L. Opera Omnia, Seria Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae . Leipzig, Germania: Teubner, pp. 350–369, 1921. ( facsimil )

[2] Funcția W (x) , pe bitman.name . Adus la 20 iulie 2020 .

[3] TC Scott și RB Mann, General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function , AAECC (Aplicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, nr. 1, (aprilie 2006), pp. 41-47, [1] ; articol Arxiv [2]

[4] TC Scott, G. Fee și J. Grotendorst, „Seria asimptotică a funcției Lambert W generalizate” , SIGSAM, vol. 47, nr. 3, (septembrie 2013), pp. 75-83

[5] TC Scott, G. Fee, J. Grotendorst și WZ Zhang, "Numerica funcției generalizate Lambert W" , SIGSAM, vol. 48, nr. 2, (iunie 2014), pp. 42-56

[6] PS Farrugia, RB Mann și TC Scott, N-body Gravity și ecuația Schrˆdinger , clasa. Quantum Grav. vol. 24, (2007), pp. 4647-4659, [3] ; articol Arxiv [4]

[7] TC Scott, M. Aubert-Frécon și J. Grotendorst, Noua abordare pentru energiile electronice ale ionului molecular de hidrogen , Chem. Fizic. vol. 324, (2006), pp. 323-338, [5] Arhivat la 31 martie 2009 la Internet Archive ; articol Arxiv [6]

[8] Aude Maignan și TC Scott, "Fleshing out the Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 50, nr. 2, (iunie 2016), pp. 45-60

[9] TC Scott, A. Lüchow, D. Bressanini și JD Morgan III, Suprafețele nodale ale funcțiilor proprii ale atomului de heliu , Phys. Rev. A 75, (2007), p. 060101, [7]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]