Constanta Omega

Constanta Omega
Simbol	Ω
Valoare	0,5671432904097838729999686622 ... (secvența A030178 din OEIS )
Fracție continuă	[0; 1, 1, 3, 4, 2, 10, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 7, ...] (secvența A019474 a OEIS)
Împreună	numere transcendente
Constantele corelate	Și

Constanta Omega este o constantă matematică definită de

\Omega \cdot e^{\Omega }=1

{\ displaystyle \ Omega \ cdot e ^ {\ Omega} = 1}

\ Omega \ cdot și ^ {\ Omega} = 1

și a cărei expansiune zecimală începe cu

\Omega =0,5671432904097838729999686622...

{\ displaystyle \ Omega = 0.5671432904097838729999686622 ...}

\ Omega = 0.5671432904097838729999686622 ...

Este valoarea lui W (1), unde W este funcția Lambert W sau funcția omega (de unde și numele constantei).

Evident, Ω poate fi definit și ca soluția lui

e^{-\Omega }=\Omega

{\ displaystyle e ^ {- \ Omega} = \ Omega}

și ^ {{- \ Omega}} = \ Omega

sau chiar de

\ln(1/\Omega )=\Omega .

{\ displaystyle \ ln (1 / \ Omega) = \ Omega.}

\ ln (1 / \ Omega) = \ Omega.

Constanta $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ poate fi calculat printr-o metodă iterativă : pornind de la o estimare inițială $\Omega _{0}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0}}$ $\ Omega _ {0}$ și luând în considerare succesiunea

\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.

{\ displaystyle \ Omega _ {n + 1} = e ^ {- \ Omega _ {n}}.}

\ Omega _ {{n + 1}} = e ^ {{- \ Omega _ {n}}}.

care va avea limită $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ cand $n\to \infty$ ${\ displaystyle n \ to \ infty}$ $n \ to \ infty$ . Convergența acestei iterații are loc de atunci $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este un punct fix atractiv al funcției $e^{-x}$ ${\ displaystyle e ^ {- x}}$ $și ^ {{- x}}$ .

Cu toate acestea, este mult mai eficient să utilizați iterația

\Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}},

{\ displaystyle \ Omega _ {n + 1} = {\ frac {1+ \ Omega _ {n}} {1 + e ^ {\ Omega _ {n}}}},}

\ Omega _ {{n + 1}} = {\ frac {1+ \ Omega _ {n}} {1 + e ^ {{\ Omega _ {n}}}}},

din moment ce funcția

f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}},

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1 + x} {1 + e ^ {x}}},}

f (x) = {\ frac {1 + x} {1 + e ^ {x}}},

are același punct fix, dar are zero derivată în acel punct și, prin urmare, convergența este pătratică (numărul de cifre corecte se dublează aproximativ la fiecare iterație).

O identitate prin integrală necorespunzătoare datorată lui Victor Adamchik este după cum urmează:

\Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\,dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1.

{\ displaystyle \ Omega = {\ frac {1} {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\, dt} {(e ^ {t} -t) ^ {2 } + \ pi ^ {2}}}}} - 1.}

\ Omega = {\ frac {1} {\ displaystyle \ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {\, dt} {(e ^ {t} -t) ^ { 2} + \ pi ^ {2}}}}} - 1.

Irationalitatea si transcendenta

Constanta $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este un număr transcendent .

Pentru a demonstra iraționalitatea sa , este posibil să se utilizeze faptul că e este transcendent: dacă $\Omega ={\frac {p}{q}}$ ${\ displaystyle \ Omega = {\ frac {p} {q}}}$ $\ Omega = {\ frac {p} {q}}$ (cu numere întregi p și q ), apoi

1={\frac {p}{q}}e^{p/q}

{\ displaystyle 1 = {\ frac {p} {q}} e ^ {p / q}}

1 = {\ frac {p} {q}} și ^ {{p / q}}

acesta este

e={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}

{\ displaystyle e = {\ sqrt [{p}] {\ frac {q ^ {q}} {p ^ {q}}}}

e = {\ sqrt [{p}] {{\ frac {q ^ {q}} {p ^ {q}}}}

și, prin urmare, e ar fi algebric , ceea ce este absurd.

Transcendența $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este o consecință a teoremei Lindemann-Weierstrass : dacă ar fi algebrică, numărul $e^{\Omega }$ ${\ displaystyle e ^ {\ Omega}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ Omega}}$ ar fi transcendent, precum și ${\Omega \cdot e^{\Omega }}$ ${\ displaystyle {\ Omega \ cdot e ^ {\ Omega}}}$ ${\ Omega \ cdot e ^ {\ Omega}}$ , ceea ce este absurd deoarece această cantitate este egală cu 1 prin definiție. Prin urmare $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este transcendent.

Elemente conexe

Funcția W a lui Lambert

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, Constanta Omega , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică