Pisica lui Arnold

Figura care arată modul în care o hartă liniară întinde pătratul unității și modul în care piesele sale sunt reordonate atunci când se efectuează operația de formular . Liniile cu săgeți arată direcția contractorilor și a dilatantului spațiului eigens.

În matematică , harta pisicii lui Arnold este o hartă haotică a taurului însuși, numită în cinstea lui Vladimir Arnold care și-a demonstrat efectele în anii 1960 folosind imaginea unei pisici , de unde și numele. ^[1]

Cu referire la taur $\mathbb {T} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {2}}$ ${\ mathbb {T}} ^ {2}$ în ceea ce privește spațiul coeficient $\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} / \ mathbb {Z} ^ {2}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {2} / {\ mathbb {Z}} ^ {2}$ , Harta pisicii lui Arnold este transformare $\Gamma :\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}$ ${\ displaystyle \ Gamma: \ mathbb {T} ^ {2} \ to \ mathbb {T} ^ {2}}$ $\ Gamma: {\ mathbb {T}} ^ {2} \ to {\ mathbb {T}} ^ {2}$ dată de formulă

\Gamma \,:\,(x,y)\to (2x+y,x+y){\bmod {1}}.

{\ displaystyle \ Gamma \ ,: \, (x, y) \ to (2x + y, x + y) {\ bmod {1}}.}

\ Gamma \ ,: \, (x, y) \ to (2x + y, x + y) {\ bmod 1}.

În mod echivalent, în notația matricială , avem:

\Gamma \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}.

{\ displaystyle \ Gamma \ left ({\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} \ right) = {\ begin {bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} {\ bmod {1}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} {\ bmod {1}}.}

\ Gamma \ left ({\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} \ right) = {\ begin {bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix } x \\ y \ end {bmatrix}} {\ bmod 1} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} {\ bmod 1}.

Adică, pentru o imagine cu lățimea unității, imaginea este întinsă o unitate spre cealaltă, apoi o unitate spre dreapta și tot ce cade în afara pătratului unității este tradus înapoi spre interior.

Proprietate

Γ este inversabil, deoarece matricea are determinantul 1 și, prin urmare, inversul său are elemente întregi ,

Γ păstrați zona ,

Γ are un singur punct hiperbolic fix ( vârfurile pătratului). Transformarea liniară care definește harta este hiperbolică: valorile proprii sunt numere iraționale de modul mai mici și mai mari decât unul, dar astfel încât produsul lor este unitar:

\lambda _{1}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}>1

{\ displaystyle \ lambda _ {1} = {\ frac {3 + {\ sqrt {5}}} {2}}> 1}

\ lambda _ {1} = {\ frac {3 + {\ sqrt {5}}} {2}}> 1

\lambda _{2}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}<1

{\ displaystyle \ lambda _ {2} = {\ frac {3 - {\ sqrt {5}}} {2}} <1}

\ lambda _ {2} = {\ frac {3 - {\ sqrt {5}}} {2}} <1

\lambda _{1}\lambda _{2}=1

{\ displaystyle \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} = 1}

\ lambda _ {1} \ lambda _ {2} = 1

În acest fel, își au originea un spațiu contractant și respectiv un spațiu propriu dilatant , care sunt, de asemenea, varietăți stabile și instabile. Spațiile egale sunt ortogonale, deoarece matricea este simetrică . Deoarece vectorii proprii au componente rațional nedependente, ambele spații egene acoperă dens torul. Harta pisicii lui Arnold este un exemplu deosebit de celebru de automorfism hiperbolic pe tor , care este un automorfism al unui tor dat de o matrice pătrată unimodulară fără valori proprii de valoare absolută egală cu 1. ^[2]

Setul de puncte cu orbită periodică este dens pe tor. Un punct este preperiodic dacă și numai dacă coordonatele sale sunt raționale.

Γ este topologic tranzitiv ( de exemplu: există un punct a cărui orbită este densă, acest lucru se întâmplă , de exemplu , pentru orice punct al " eigenspace dilatant.

Numărul de puncte cu perioada n este egal cu | λ ₁ ⁿ + λ ₂ ⁿ −2 | (unde λ ₁ și λ ₂ sunt valorile proprii ale matricei). De exemplu, primii termeni ai secvenței sunt 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205 .... ^[3] (aceeași ecuație este valabilă pentru orice automorfism hiperbolic unimodular de pe tor dacă valorile proprii sunt substituite).

Γ este ergodic și amestecător ,

Γ este un difeomorfism Anosov și este, în special, stabil din punct de vedere structural .

Versiune discretă a hărții pisicii

De la ordine la haos și înapoi. Exemplu de hartă a unei imagini de 150x150 pixeli. Numărul arată pasul de iterație. După 300 de iterații, reveniți la imaginea originală.

Exemplu de hartă pe o imagine care conține două cireșe. Imaginea are o lățime de 74 de pixeli și durează 114 iterații pentru a reveni la aspectul inițial, deși apare cu susul în jos la jumătatea iterației.

O versiune discretă similară poate fi definită pentru harta pisicii. Una dintre proprietățile acestei hărți este că imaginea devine aparent aleatorie la transformare, dar revine la starea inițială după un anumit număr de iterații. După cum se poate vedea în ilustrația din dreapta, imaginea originală a pisicii este tăiată și apoi pliată înapoi la prima iterație a transformării. După câteva iterații, imaginea apare destul de haotică sau dezordonată, deși după o serie de alte iterații apare o copie a fantomei pisicii distribuită peste o structură în multe copii mai mici, până când revine la imaginea inițială.

Harta discretă a pisicii descrie fluxul dinamicii discrete, în spațiul de fază , a unui salt de la punctul q _t (0 ≤ q _t <N) la punctul q _{t + 1} pe o circumferință de rază N , în conformitate cu ecuația de ordinul doi :

q_{t+1}-3q_{t}+q_{t-1}=0\mod N

{\ displaystyle q_ {t + 1} -3q_ {t} + q_ {t-1} = 0 \ mod N}

q _ {{t + 1}} - 3q _ {{t}} + q _ {{t-1}} = 0 \ mod N

Dacă definim variabila de moment ca p _t = q _t - q _t-1 , a doua dinamică de ordin scrisă mai sus poate fi exprimată ca o hartă a pătratului 0 ≤ q , p < N (spațiul de fază al sistemului discret) pe în sine:

q_{t+1}=2q_{t}+p_{t}\mod N

{\ displaystyle q_ {t + 1} = 2q_ {t} + p_ {t} \ mod N}

q _ {{t + 1}} = 2q _ {{t}} + p _ {{t}} \ mod N

p_{t+1}=q_{t}+p_{t}\mod N

{\ displaystyle p_ {t + 1} = q_ {t} + p_ {t} \ mod N}

p _ {{t + 1}} = q _ {{t}} + p _ {{t}} \ mod N

Această hartă a pisicii lui Arnold ne arată efectul de amestecare tipic sistemelor haotice. Cu toate acestea, deoarece transformarea are un determinant egal cu 1, conservă aria și este inversabilă, iar transformarea inversă este:

q_{t-1}=q_{t}-p_{t}\mod N

{\ displaystyle q_ {t-1} = q_ {t} -p_ {t} \ mod N}

q _ {{t-1}} = q _ {{t}} - p _ {{t}} \ mod N

p_{t-1}=-q_{t}+2p_{t}\mod N

{\ displaystyle p_ {t-1} = - q_ {t} + 2p_ {t} \ mod N}

p _ {{t-1}} = - q _ {{t}} + 2p _ {{t}} \ mod N

Pentru valorile reale ale variabilelor q și p este obișnuit să setați N = 1. În acest caz, rezultatul este o hartă a pătratului unitar cu condiții limită periodice.

Când N este un număr întreg, variabilele de poziție și moment pot fi restrânse la numere întregi și harta devine harta unei rețele pătrate toroidale de puncte pe ea însăși. O astfel de hartă de pisică întreagă este de obicei folosită pentru a dovedi comportamentul de amestecare cu „Teorema întoarcerii” lui Poincaré folosind imagini digitale. Numărul de iterații necesare pentru restabilirea imaginii poate fi afișat să nu depășească 3 N. ^[4]

Pentru o imagine, relația dintre iterații poate fi exprimată după cum urmează:

{\begin{array}{rrcl}n=0:\quad &T^{0}(x,y)&=&{\mbox{Input Image}}(x,y)\\n=1:\quad &T^{1}(x,y)&=&T^{0}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=k:\quad &T^{k}(x,y)&=&T^{k-1}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=m:\quad &{\mbox{Output Image}}(x,y)&=&T^{m}(x,y)\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {rrcl} n = 0: \ quad & T ^ {0} (x, y) & = & {\ mbox {Input Image}} (x, y) \\ n = 1 : \ quad & T ^ {1} (x, y) & = & T ^ {0} \ left ({\ bmod {(}} 2x + y, N), {\ bmod {(}} x + y, N) \ right) \\ && \ vdots \\ n = k: \ quad & T ^ {k} (x, y) & = & T ^ {k-1} \ left ({\ bmod {(}} 2x + y, N), {\ bmod {(}} x + y, N) \ right) \\ && \ vdots \\ n = m: \ quad & {\ mbox {Output Image}} (x, y) & = & T ^ {m} (x, y) \ end {array}}}

{\ begin {array} {rrcl} n = 0: \ quad & T ^ {0} (x, y) & = & {\ mbox {Input Image}} (x, y) \\ n = 1: \ quad & T ^ {1} (x, y) & = & T ^ {0} \ left ({\ bmod (} 2x + y, N), {\ bmod (} x + y, N) \ right) \\ && \ vdots \\ n = k: \ quad & T ^ {k} (x, y) & = & T ^ {{k-1}} \ left ({\ bmod (} 2x + y, N), { \ bmod (} x + y, N) \ right) \\ && \ vdots \\ n = m: \ quad & {\ mbox {Output Image}} (x, y) & = & T ^ {m} (x , y) \ end {array}}

Notă

^ Arnold .
^ Franchi .
^ A004146 a lui Sloane . Enciclopedia on-line a secvențelor întregi . Fundația OEIS.
^ DysonFalk .

Bibliografie

( FR ) Vladimir I. Arnold , A. Avez, Problèmes Ergodiques de la Mécanique Classique , Paris, Gauthier-Villars, 1967.
( EN ) VI Arnold, A. Avez,Ergodic Problems in Classical Mechanics , New York, Benjamin, 1968.
John M Franks, Seturi invariante de automorfisme torale hiperbolice , în American Journal of Mathematics , vol. 99, nr. 5, The Johns Hopkins University Press, octombrie 1977, pp. 1089-1095, DOI : 10.2307 / 2374001 , ISSN 0002-9327 ( WC ACNP ) .
Freeman John Dyson și Harold Falk, Period of a Discrete Cat Mapping , în The American Mathematical Monthly , vol. 99, nr. 7, Mathematical Association of America, 1992, pp. 603-614, ISSN 0002-9890 ( WC ACNP ) , JSTOR 2324989 .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre pisica lui Arnold

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[Arnold-1] Arnold .

[Franks-2] Franchi .

[3] A004146 a lui Sloane . Enciclopedia on-line a secvențelor întregi . Fundația OEIS.

[DysonFalk-4] DysonFalk .

[1]

[2]

[3]

[4]