Teorema gradientului

În matematică și fizică , teorema gradientului , cunoscută și sub numele de teorema fundamentală a calculului pentru integrale de linie , afirmă că integrala de linie a unui câmp vector conservator (care poate fi, adică, exprimată ca gradientul unui câmp scalar ) poate fi să fie calculată prin evaluarea câmpului scalar considerat (cunoscut dacă nu este o constantă) la capetele curbei pe care se realizează integrarea. Acesta este un caz special al teoremei Stokes mai generale.

O consecință a teoremei este că integralele de linie ale unui câmp conservator sunt independente de cale. În fizica câmpului, această teoremă este una dintre modalitățile utilizate în mod obișnuit pentru a defini potențialele scalare . Înțelesul fundamental, în cazul câmpurilor de forță, este că munca depusă de forțele conservatoare nu depinde de calea urmată, ci doar de extreme, așa cum arată ecuația de mai sus.

Afirmație

Amintind că orice câmp vector conservator poate fi exprimat ca gradientul unui câmp scalar , teorema gradientului are forma:

\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma }\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r}

{\ displaystyle \ varphi \ left (\ mathbf {q} \ right) - \ varphi \ left (\ mathbf {p} \ right) = \ int _ {\ gamma} \ nabla \ varphi \ cdot d \ mathbf {r} }

{\ displaystyle \ varphi \ left (\ mathbf {q} \ right) - \ varphi \ left (\ mathbf {p} \ right) = \ int _ {\ gamma} \ nabla \ varphi \ cdot d \ mathbf {r} }

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este orice curbă orientată de $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ la $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ .

Teorema este o generalizare a teoremei fundamentale a calculului la orice curbă, mai degrabă decât la un segment al liniei reale. Pentru a arăta că acesta este un caz special al teoremei lui Stokes, considerăm un câmp scalar $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ și o curbă $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ din $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ la $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ . Avem:

\int _{\partial \gamma }\varphi =\int _{\gamma }d\varphi

{\ displaystyle \ int _ {\ partial \ gamma} \ varphi = \ int _ {\ gamma} d \ varphi}

{\ displaystyle \ int _ {\ partial \ gamma} \ varphi = \ int _ {\ gamma} d \ varphi}

dar de atunci $\partial \gamma$ ${\ displaystyle \ partial \ gamma}$ ${\ displaystyle \ partial \ gamma}$ se reduce la cuplul constituit de cele două capete ale curbei:

\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma }d\varphi =\int _{\gamma }\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r}

{\ displaystyle \ varphi \ left (\ mathbf {q} \ right) - \ varphi \ left (\ mathbf {p} \ right) = \ int _ {\ gamma} d \ varphi = \ int _ {\ gamma} \ nabla \ varphi \ cdot d \ mathbf {r}}

{\ displaystyle \ varphi \ left (\ mathbf {q} \ right) - \ varphi \ left (\ mathbf {p} \ right) = \ int _ {\ gamma} d \ varphi = \ int _ {\ gamma} \ nabla \ varphi \ cdot d \ mathbf {r}}

Demonstrație

Este $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ o funcție diferențiată de una deschisă $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $U \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ la valori în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , și așa să fie $\mathbf {r} :[a,b]\to U$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}: [a, b] \ to U}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}: [a, b] \ to U}$ o funcție diferențiată $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $U \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ . Apoi după regula lanțului compoziția $\varphi \circ \mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ varphi \ circ \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle \ varphi \ circ \ mathbf {r}}$ este diferențiat pe $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ , Și:

{\frac {d}{dt}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\qquad \forall t\in (a,b)

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} (\ varphi \ circ \ mathbf {r}) (t) = \ nabla \ varphi (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} ' (t) \ qquad \ forall t \ in (a, b)}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} (\ varphi \ circ \ mathbf {r}) (t) = \ nabla \ varphi (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} ' (t) \ qquad \ forall t \ in (a, b)}

Să presupunem domeniul $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ conține curba diferențiată $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ din $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ la $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ . De sine $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ parametrizează $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ cu variabilă $t\in [a,b]$ ${\ displaystyle t \ in [a, b]}$ ${\ displaystyle t \ in [a, b]}$ apoi pentru cele de mai sus:

{\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)dt\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))dt=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ gamma} \ nabla \ varphi (\ mathbf {u}) \ cdot d \ mathbf {u} & = \ int _ {a} ^ {b} \ nabla \ varphi (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) dt \\ & = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {d} {dt}} \ varphi ( \ mathbf {r} (t)) dt = \ varphi (\ mathbf {r} (b)) - \ varphi (\ mathbf {r} (a)) = \ varphi \ left (\ mathbf {q} \ right) - \ varphi \ left (\ mathbf {p} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ gamma} \ nabla \ varphi (\ mathbf {u}) \ cdot d \ mathbf {u} & = \ int _ {a} ^ {b} \ nabla \ varphi (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) dt \\ & = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {d} {dt}} \ varphi ( \ mathbf {r} (t)) dt = \ varphi (\ mathbf {r} (b)) - \ varphi (\ mathbf {r} (a)) = \ varphi \ left (\ mathbf {q} \ right) - \ varphi \ left (\ mathbf {p} \ right) \ end {align}}}

unde în prima egalitate s-a folosit definiția integralei de linie și în a doua teorema fundamentală a calculului .

Generalizare

Același subiect în detaliu: teorema lui Stokes .

Multe teoreme de calcul vectorial pot fi generalizate, într-un mod elegant, prin utilizarea integrării formelor diferențiale pe varietăți diferențiate . În acest context, teorema gradientului afirmă că:

\int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi

{\ displaystyle \ int _ {\ partial \ gamma} \ phi = \ int _ {\ gamma} \ mathrm {d} \ phi}

\ int _ {{\ partial \ gamma}} \ phi = \ int _ {{\ gamma}} {\ mathrm {d}} \ phi

pentru fiecare formă 0 $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ definit pe o curbă diferențiată $\gamma \subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ gamma \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ gamma \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ . Teorema lui Stokes afirmă mai general că integralul oricărei forme diferențiale acceptate compact $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ la frontiera unui soi orientat $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este egal cu integralul derivatului său extern $d\omega$ ${\ displaystyle d \ omega}$ $d \ omega$ evaluat peste toate $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ :

\int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega

{\ displaystyle \ int _ {\ partial \ Omega} \ omega = \ int _ {\ Omega} \ mathrm {d} \ omega}

{\ displaystyle \ int _ {\ partial \ Omega} \ omega = \ int _ {\ Omega} \ mathrm {d} \ omega}

Teorema gradientului este versiunea teoremei lui Stokes cu forme diferențiale 1 definite pe o varietate de dimensiuni 1.

Afirmația opusă afirmă că dată o formă diferențială $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ definit pe un domeniu contractabil , dacă este integrantul $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ pe fiecare colector închis este nul atunci există o formă $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ astfel încât $\omega =d\psi$ ${\ displaystyle \ omega = d \ psi}$ $\ omega = d \ psi$ . Pe un domeniu contractabil, fiecare formă închisă este exactă, iar acest rezultat este rezumat de lema lui Poincaré .

Bibliografie

(EN) Williamson, Richard și Trotter, Hale. (2004). Multivariable Mathematics, Ediția a patra, p. 374. Pearson Education, Inc.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică