Domeniu simplu

Domeniile funcțiilor din mai multe variabile pot prezenta o formă de regularitate pentru care este posibil să delimitați regiunea de intervale și grafice funcționale. Prin urmare, vorbim despre un domeniu simplu sau normal cu privire la variabila care poate fi delimitată de un interval. Normalitatea unui domeniu este foarte importantă în multe definiții ale integralei multiple și rezoluția sa prin formule de reducere . În plus, prezența unui domeniu regulat permite teoreme și formule de integrare suplimentare, cum ar fi formulele Gauss-Green , teorema divergenței și teorema rotorului .

Domenii normale în plan

În $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ 2$ există două cazuri de normalitate, în ceea ce privește axele:

Domeniu normal pe axa x

Domeniu normal pe axa y

Domeniu normal în raport cu axa x

Regiunea este mărginită pentru axa x de două valori numerice și pentru axa y de două funcții ale variabilei x care continuă în intervalul care o delimitează:

D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq x\leq b,\ f(x)\leq y\leq g(x),f,g\in C[a,b]\}

{\ displaystyle D = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | \ a \ leq x \ leq b, \ f (x) \ leq y \ leq g (x), f , g \ în C [a, b] \}}

{\ displaystyle D = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | \ a \ leq x \ leq b, \ f (x) \ leq y \ leq g (x), f , g \ în C [a, b] \}}

Domeniu normal în raport cu axa y

Regiunea este mărginită pentru axa y de două valori numerice și pentru axa x de două funcții continue ale variabilei y în intervalul care o delimitează:

D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq y\leq b,\ f(y)\leq x\leq g(y),f,g\in C[a,b]\}

{\ displaystyle D = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | \ a \ leq y \ leq b, \ f (y) \ leq x \ leq g (y), f , g \ în C [a, b] \}}

{\ displaystyle D = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | \ a \ leq y \ leq b, \ f (y) \ leq x \ leq g (y), f , g \ în C [a, b] \}}

Domenii normale în spațiu

Exemplu de domeniu normal în R3 (planul xy)

În $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ 3$ există șase tipuri diferite de normalitate, în ceea ce privește planurile:

Domeniu normal în raport cu planul (x, y)

$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este normal planul $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$

cu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ normal la ax $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$
cu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ normal la ax $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$

Domeniu normal în raport cu planul (y, z)

$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este normal planul $(y,z)$ ${\ displaystyle (y, z)}$ $(y, z)$

cu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ normal la ax $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$
cu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ normal la ax $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$

Domeniu normal în raport cu planul (z, x)

$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este normal planul $(z,x)$ ${\ displaystyle (z, x)}$ ${\ displaystyle (z, x)}$

cu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ normal la ax $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$
cu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ normal la ax $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$

În exemplul din figură, domeniul simplu este cilindroida cu „bază” $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ și inclus în funcții $a(x,y)$ ${\ displaystyle a (x, y)}$ ${\ displaystyle a (x, y)}$ Și $b(x,y)$ ${\ displaystyle b (x, y)}$ ${\ displaystyle b (x, y)}$ :

$T=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ (x,y)\in D,\ a(x,y)\leq z\leq b(x,y)\}$ ${\ displaystyle T = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ | \ (x, y) \ in D, \ a (x, y) \ leq z \ leq b (X y) \}}$ ${\ displaystyle T = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ | \ (x, y) \ in D, \ a (x, y) \ leq z \ leq b (X y) \}}$ , cu $D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ a\leq y\leq b,\ f(y)\leq x\leq g(y)\}$ ${\ displaystyle D = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | \ a \ leq y \ leq b, \ f (y) \ leq x \ leq g (y) \} }$ ${\ displaystyle D = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ | \ a \ leq y \ leq b, \ f (y) \ leq x \ leq g (y) \} }$

În general în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ numărul domeniilor simple este dat de relație $n!$ ${\ displaystyle n!}$ ${\ displaystyle n!}$ , adică toate combinațiile posibile între unitățile vectoriale .

Orientarea regulată a domeniului normal și a frontierelor

Domeniu normal regulat

Un domeniu normal regulat este prin definiție un domeniu normal a cărui graniță este unirea unui număr finit de curbe de clasă ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}$ ${\ mathcal {C}} ^ {1}$ . Plus un domeniu obișnuit $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ poate fi întotdeauna descrisă ca unirea unui număr finit de domenii normale obișnuite $N_{i}$ ${\ displaystyle N_ {i}}$ $N_ {i}$ , doi câte doi, fără puncte comune în comun:

$N=\bigcup _{i=1}^{n}N_{i}$ ${\ displaystyle N = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} N_ {i}}$ ${\ displaystyle N = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} N_ {i}}$

Orientarea frontierei

Este $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}$ domeniu regulat, în mod convențional se spune că $\partial D$ ${\ displaystyle \ partial D}$ ${\ displaystyle \ partial D}$ este orientată pozitiv dacă este reprezentată de un număr finit de curbe regulate în bucăți $\gamma _{1},\ \dots ,\ \gamma _{k}\in {\mathcal {C}}^{1}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1}, \ \ dots, \ \ gamma _ {k} \ în {\ mathcal {C}} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1}, \ \ dots, \ \ gamma _ {k} \ în {\ mathcal {C}} ^ {1}}$ astfel încât versorii normali $N_{1}(t),\ \dots ,\ N_{k}(t)$ ${\ displaystyle N_ {1} (t), \ \ dots, \ N_ {k} (t)}$ ${\ displaystyle N_ {1} (t), \ \ dots, \ N_ {k} (t)}$ asociat canonic punct spre exterior. Prin urmare, frontiera sa admite versor tangent și versor normal în fiecare punct, cu excepția, cel mult, a unui număr finit. Această orientare este indicată cu $+\partial D$ ${\ displaystyle + \ partial D}$ ${\ displaystyle + \ partial D}$ .

Lemă despre descompunerea normelor

Lasa-i sa fie $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}$ Și $E\subset \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle E \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle E \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ domenii normale avem asta $\forall \delta ,\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ forall \ delta, \ varepsilon> 0}$ ${\ displaystyle \ forall \ delta, \ varepsilon> 0}$ există o descompunere a $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ și de $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ de tipul $D=\bigcup _{i=1}^{n}D_{i}$ ${\ displaystyle D = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} D_ {i}}$ ${\ displaystyle D = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} D_ {i}}$ Și $E=\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}$ ${\ displaystyle E = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}}$ ${\ displaystyle E = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} E_ {i}}$

$D_{i}$ ${\ displaystyle D_ {i}}$ $De}$ și $E_{i}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$ $E_ {i}$ sunt domenii normale
$D_{i}^{^{\!\!\!^{\circ }}}\cap D_{j}^{^{\!\!\!^{\circ }}}=\emptyset$ ${\ displaystyle D_ {i} ^ {^ {\! \! \! ^ {\ circ}}} \ cap D_ {j} ^ {^ {\! \! \! ^ {\ circ}}} = \ emptyset }$ ${\ displaystyle D_ {i} ^ {^ {\! \! \! ^ {\ circ}}} \ cap D_ {j} ^ {^ {\! \! \! ^ {\ circ}}} = \ emptyset }$ Și $E_{i}^{^{\!\!\!^{\circ }}}\cap E_{j}^{^{\!\!\!^{\circ }}}=\emptyset ,\quad \forall i\neq j$ ${\ displaystyle E_ {i} ^ {^ {\! \! \! ^ {\ circ}}} \ cap E_ {j} ^ {^ {\! \! \! ^ {\ circ}}} = \ emptyset , \ quad \ forall i \ neq j}$ ${\ displaystyle E_ {i} ^ {^ {\! \! \! ^ {\ circ}}} \ cap E_ {j} ^ {^ {\! \! \! ^ {\ circ}}} = \ emptyset , \ quad \ forall i \ neq j}$
$\operatorname {diam} (D_{i})<\delta$ ${\ displaystyle \ operatorname {diam} (D_ {i}) <\ delta}$ ${\ displaystyle \ operatorname {diam} (D_ {i}) <\ delta}$ Și $\operatorname {diam} (E_{i})<\varepsilon \quad \forall i=1,\ \dots ,\ n$ ${\ displaystyle \ operatorname {diam} (E_ {i}) <\ varepsilon \ quad \ forall i = 1, \ \ dots, \ n}$ ${\ displaystyle \ operatorname {diam} (E_ {i}) <\ varepsilon \ quad \ forall i = 1, \ \ dots, \ n}$

unde este $\operatorname {diam} (A)=\sup\{\|x-y\|\ |\ x,y\in A\subset {R}^{n}\}$ ${\ displaystyle \ operatorname {diam} (A) = \ sup \ {\ | xy \ | \ | \ x, y \ în A \ subset {R} ^ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {diam} (A) = \ sup \ {\ | x-y \ | \ | \ x, y \ în A \ subset {R} ^ {n} \}}$ este diametrul domeniului.

Bibliografie

Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Nicola Fusco Mathematical Analysis Due , Liguori Editore, Naples, ISBN 88-207-2675-0 , 1996.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy