Legile lui De Morgan

Legile lui De Morgan , sau teoremele lui De Morgan , sunt legate de logica booleană și stabilesc relații de echivalență între conjuncția logică și operatorii de disjuncție .

Acestea sunt utilizate pentru analiza circuitelor logice (electrice, electronice, pneumatice, oricum binare, adică ON-OFF) și pentru demonstrarea teoremelor bazate pe reguli logice.

Teoreme

Cele două teoreme sunt duale :

{\overline {A\cdot B}}={\overline {A}}+{\overline {B}}

{\ displaystyle {\ overline {A \ cdot B}} = {\ overline {A}} + {\ overline {B}}}

\ overline {A \ cdot B} = \ overline A + \ overline B

{\overline {A+B}}={\overline {A}}\cdot {\overline {B}}

{\ displaystyle {\ overline {A + B}} = {\ overline {A}} \ cdot {\ overline {B}}}

\ overline {A + B} = \ overline {A} \ cdot \ overline {B}

Referindu-ne la termenii stabiliți, primul este declarat prin faptul că dacă un element nu aparține $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pentru $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , atunci sau nu aparține $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sau nu aparține $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sau nu le aparține amândurora. A doua teoremă este afirmată afirmând că dacă un element nu aparține $A+B$ ${\ displaystyle A + B}$ $A + B$ , atunci nu aparține $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și nu aparține $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

Generalizarea la un număr este imediată $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ de variabile:

{\overline {A\cdot B\cdot C\cdots }}={\overline {A}}+{\overline {B}}+{\overline {C}}+\dots

{\ displaystyle {\ overline {A \ cdot B \ cdot C \ cdots}} = {\ overline {A}} + {\ overline {B}} + {\ overline {C}} + \ dots}

\ overline {A \ cdot B \ cdot C \ cdots} = \ overline A + \ overline B + \ overline C + \ dots

{\overline {A+B+C+\dots }}={\overline {A}}\cdot {\overline {B}}\cdot {\overline {C}}\dots

{\ displaystyle {\ overline {A + B + C + \ dots}} = {\ overline {A}} \ cdot {\ overline {B}} \ cdot {\ overline {C}} \ dots}

\ overline {A + B + C + \ dots} = \ overline A \ cdot \ overline B \ cdot \ overline C \ dots

În logica propozițională, ele pot fi formulate în diferite moduri:

{\begin{matrix}\neg {(a\wedge b)}=\neg {a}\vee \neg {b}\\\neg {(a\vee b)}=\neg {a}\wedge \neg {b}\end{matrix}}\quad

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ neg {(a \ wedge b)} = \ neg {a} \ vee \ neg {b} \\\ neg {(a \ vee b)} = \ neg {a} \ wedge \ neg {b} \ end {matrix}} \ quad}

{\ begin {matrix} \ neg {(a \ wedge b)} = \ neg {a} \ vee \ neg {b} \\\ neg {(a \ vee b)} = \ neg {a} \ wedge \ neg {b} \ end {matrix}} \ quad

sau

\quad {\begin{matrix}{\overline {(a\wedge b)}}={\overline {a}}\vee {\overline {b}}\\{\overline {(a\vee b)}}={\overline {a}}\wedge {\overline {b}}\end{matrix}}

{\ displaystyle \ quad {\ begin {matrix} {\ overline {(a \ wedge b)}} = {\ overline {a}} \ vee {\ overline {b}} \\ {\ overline {(a \ vee b)}} = {\ overline {a}} \ wedge {\ overline {b}} \ end {matrix}}}

\ quad {\ begin {matrix} \ overline {(a \ wedge b)} = \ overline {a} \ vee \ overline {b} \\\ overline {(a \ vee b)} = \ overline {a} \ wedge \ overline {b} \ end {matrix}}

sau

{\begin{matrix}\neg (P\wedge Q)=(\neg P)\vee (\neg Q)\\\neg (P\vee Q)=(\neg P)\wedge (\neg Q)\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ neg (P \ wedge Q) = (\ neg P) \ vee (\ neg Q) \\\ neg (P \ vee Q) = (\ neg P) \ wedge (\ neg Q) \ end {matrix}}}

{\ begin {matrix} \ neg (P \ wedge Q) = (\ neg P) \ vee (\ neg Q) \\\ neg (P \ vee Q) = (\ neg P) \ wedge (\ neg Q) \ end {matrix}}

și în teoria mulțimilor:

(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}

{\ displaystyle (A \ cap B) ^ {C} = A ^ {C} \ cup B ^ {C}}

(A \ cap B) ^ {C} = A ^ {C} \ cup B ^ {C}

sau

{\overline {(A\cap B)}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}

{\ displaystyle {\ overline {(A \ cap B)}} = {\ overline {A}} \ cup {\ overline {B}}}

\ overline {(A \ cap B)} = \ overline {A} \ cup \ overline {B}

Și

(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}

{\ displaystyle (A \ cup B) ^ {C} = A ^ {C} \ cap B ^ {C}}

(A \ cup B) ^ {C} = A ^ {C} \ cap B ^ {C}

sau

{\overline {(A\cup B)}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}

{\ displaystyle {\ overline {(A \ cup B)}} = {\ overline {A}} \ cap {\ overline {B}}}

\ overline {(A \ cup B)} = \ overline {A} \ cap \ overline {B}

În practică, aceștia descriu comportamentul conectivelor logice (ȘI ȘI SAU) atunci când o negație este eliminată sau inserată într-o formulă între paranteze. Dacă colectați negația în afara parantezelor sau o distribuiți între termenii din paranteze, conectivul se transformă în opusul său.

Exprimat sub formă de tabel:

¬ (W + Y) = (¬W) * (¬Y)

¬ (W * Y) = (¬W) + (¬Y)

1 + W = 1

0 * W = 0

0 + W = W

1 * W = W

Demonstrație

Același subiect în detaliu: Tabelul adevărului .

Teoremele pot fi dovedite atât algebric, cât și cu ajutorul tabelului adevărului, deoarece cazurile de dovedit sunt finite:

Prima teoremă

Dovadă tabelară

$p$ ${\ displaystyle p}$ $p$	$q$ ${\ displaystyle q}$ $q$	${\overline {p}}$ ${\ displaystyle {\ overline {p}}}$ $\ overline {p}$	${\overline {q}}$ ${\ displaystyle {\ overline {q}}}$ $\ overline {q}$	$p\vee q$ ${\ displaystyle p \ vee q}$ $p \ vee q$	${\overline {p\vee q}}$ ${\ displaystyle {\ overline {p \ vee q}}}$ $\ overline {p \ vee q}$	${\overline {p}}\wedge {\overline {q}}$ ${\ displaystyle {\ overline {p}} \ wedge {\ overline {q}}}$ $\ overline {p} \ wedge \ overline {q}$
V.	V.	F.	F.	V.	F.	F.
V.	F.	F.	V.	V.	F.	F.
F.	V.	V.	F.	V.	F.	F.
F.	F.	V.	V.	F.	V.	V.

Dovadă algebrică

Înainte de a trece la dovadă este util să notăm câteva proprietăți și definiții ale algebrei booleene; se consideră $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ Și $\mathbf {c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$ $\ mathbf {c}$ trei variabile booleene:

${\overline {0}}=1$ ${\ displaystyle {\ overline {0}} = 1}$ ${\ displaystyle {\ overline {0}} = 1}$ si invers, ${\overline {1}}=0$ ${\ displaystyle {\ overline {1}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ overline {1}} = 0}$
$\mathbf {\overline {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ overline {a}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ overline {a}}}$ este negatia logica a $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf {a}$
$\mathbf {a} ={\overline {\overline {\mathbf {a} }}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ overline {\ overline {\ mathbf {a}}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ overline {\ overline {\ mathbf {a}}}}}$ (două negații logice se anulează reciproc, astfel încât o variabilă dublă negată este echivalentă cu variabila non negată în sine)
$\mathbf {a} +1=1$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} + 1 = 1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} + 1 = 1}$
$\mathbf {a} \cdot 0=0$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot 0 = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot 0 = 0}$
$\mathbf {a} +\mathbf {\overline {a}} =1$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} + \ mathbf {\ overline {a}} = 1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} + \ mathbf {\ overline {a}} = 1}$
$\mathbf {a} \cdot \mathbf {\overline {a}} =0$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {\ overline {a}} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {\ overline {a}} = 0}$
$\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)+\mathbf {c} =\mathbf {a} +\left(\mathbf {b} +\mathbf {c} \right)$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) + \ mathbf {c} = \ mathbf {a} + \ left (\ mathbf {b} + \ mathbf {c} \ right) }$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) + \ mathbf {c} = \ mathbf {a} + \ left (\ mathbf {b} + \ mathbf {c} \ right) }$
$\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} \ right) \ cdot \ mathbf {c} = \ mathbf {a} \ cdot \ left (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c } \ dreapta)}$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} \ right) \ cdot \ mathbf {c} = \ mathbf {a} \ cdot \ left (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c } \ dreapta)}$
$\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} =\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)+\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) \ cdot \ mathbf {c} = \ left (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c} \ right) + \ left ( \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) \ cdot \ mathbf {c} = \ left (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c} \ right) + \ left ( \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c} \ right)}$
$\mathbf {a} +\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)=\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)\cdot \left(\mathbf {a} +\mathbf {c} \right)$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} + \ left (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c} \ right) = \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) \ cdot \ left ( \ mathbf {a} + \ mathbf {c} \ right)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} + \ left (\ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c} \ right) = \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) \ cdot \ left ( \ mathbf {a} + \ mathbf {c} \ right)}$ (rețineți cum această proprietate este valabilă numai în algebra booleană și nu în algebra comună)

D IMOSTRARE :

THE) $\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)+{\overline {\mathbf {a} }}\cdot {\overline {\mathbf {b} }}=$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) + {\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}} =}$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) + {\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}} =}$

(Se aplică proprietatea 11 )

$=\left[\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)+{\overline {\mathbf {a} }}\right]\cdot \left[\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)+\mathbf {\overline {b}} \right]=$ ${\ displaystyle = \ left [\ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) + {\ overline {\ mathbf {a}}} \ right] \ cdot \ left [\ left (\ mathbf { a} + \ mathbf {b} \ right) + \ mathbf {\ overline {b}} \ right] =}$ ${\ displaystyle = \ left [\ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) + {\ overline {\ mathbf {a}}} \ right] \ cdot \ left [\ left (\ mathbf { a} + \ mathbf {b} \ right) + \ mathbf {\ overline {b}} \ right] =}$

(Se aplică proprietatea 8 )

$=\left[\left(\mathbf {a} +{\overline {\mathbf {a} }}\right)+\mathbf {b} \right]\cdot \left[\left(\mathbf {b} +{\overline {\mathbf {b} }}\right)+\mathbf {a} \right]=$ ${\ displaystyle = \ left [\ left (\ mathbf {a} + {\ overline {\ mathbf {a}}} \ right) + \ mathbf {b} \ right] \ cdot \ left [\ left (\ mathbf { b} + {\ overline {\ mathbf {b}}} \ right) + \ mathbf {a} \ right] =}$ ${\ displaystyle = \ left [\ left (\ mathbf {a} + {\ overline {\ mathbf {a}}} \ right) + \ mathbf {b} \ right] \ cdot \ left [\ left (\ mathbf { b} + {\ overline {\ mathbf {b}}} \ right) + \ mathbf {a} \ right] =}$

(Se aplică proprietatea 6 )

$=\left[\left(1\right)+\mathbf {b} \right]\cdot \left[\left(1\right)+\mathbf {a} \right]=$ ${\ displaystyle = \ left [\ left (1 \ right) + \ mathbf {b} \ right] \ cdot \ left [\ left (1 \ right) + \ mathbf {a} \ right] =}$ ${\ displaystyle = \ left [\ left (1 \ right) + \ mathbf {b} \ right] \ cdot \ left [\ left (1 \ right) + \ mathbf {a} \ right] =}$

(Se aplică proprietatea 4 )

$=1+1=1$ ${\ displaystyle = 1 + 1 = 1}$ ${\ displaystyle = 1 + 1 = 1}$

II) $\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)\cdot \left({\overline {\mathbf {a} }}\cdot {\overline {\mathbf {b} }}\right)=$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) \ cdot \ left ({\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}} \ dreapta) =}$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) \ cdot \ left ({\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}} \ dreapta) =}$

(Se aplică proprietatea 10 )

$=\mathbf {a} \cdot \left({\overline {\mathbf {a} }}\cdot {\overline {\mathbf {b} }}\right)+\mathbf {b} \cdot \left({\overline {\mathbf {a} }}\cdot {\overline {\mathbf {b} }}\right)=$ ${\ displaystyle = \ mathbf {a} \ cdot \ left ({\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}} \ right) + \ mathbf {b} \ cdot \ left ({\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}} \ right) =}$ ${\ displaystyle = \ mathbf {a} \ cdot \ left ({\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}} \ right) + \ mathbf {b} \ cdot \ left ({\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}} \ right) =}$

(Se aplică proprietatea 9 )

$={\overline {\mathbf {b} }}\cdot \left(\mathbf {a} \cdot {\overline {\mathbf {a} }}\right)+{\overline {\mathbf {a} }}\cdot \left(\mathbf {b} \cdot {\overline {\mathbf {b} }}\right)=$ ${\ displaystyle = {\ overline {\ mathbf {b}}} \ cdot \ left (\ mathbf {a} \ cdot {\ overline {\ mathbf {a}}} \ right) + {\ overline {\ mathbf {a }}} \ cdot \ left (\ mathbf {b} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}} \ right) =}$ ${\ displaystyle = {\ overline {\ mathbf {b}}} \ cdot \ left (\ mathbf {a} \ cdot {\ overline {\ mathbf {a}}} \ right) + {\ overline {\ mathbf {a }}} \ cdot \ left (\ mathbf {b} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}} \ right) =}$

(Se aplică proprietatea 7 )

$={\overline {\mathbf {b} }}\cdot \left(0\right)+{\overline {\mathbf {a} }}\cdot \left(0\right)=$ ${\ displaystyle = {\ overline {\ mathbf {b}}} \ cdot \ left (0 \ right) + {\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot \ left (0 \ right) =}$ ${\ displaystyle = {\ overline {\ mathbf {b}}} \ cdot \ left (0 \ right) + {\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot \ left (0 \ right) =}$

(Se aplică proprietatea 5 )

$=0+0=0$ ${\ displaystyle = 0 + 0 = 0}$ ${\ displaystyle = 0 + 0 = 0}$

Să fie acum $\mathbf {c} ={\overline {\mathbf {a} }}\cdot {\overline {\mathbf {b} }}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c} = {\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c} = {\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}}}$ ; obținem de la I) și respectiv II) ecuațiile:

Ibis) $\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)+\mathbf {c} =1$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) + \ mathbf {c} = 1}$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) + \ mathbf {c} = 1}$

II-bis) $\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} =0$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) \ cdot \ mathbf {c} = 0}$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) \ cdot \ mathbf {c} = 0}$

Combinând proprietățile 6) și respectiv 7) cu ecuațiile I-bis) și II-bis) , se pot seta cele două sisteme echivalente:

s1) ${\begin{cases}\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)+{\overline {\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)}}=1\\\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)+\mathbf {c} =1\end{cases}}\implies \mathbf {c} ={\overline {\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)}}\implies {\overline {\mathbf {c} }}=\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) + {\ overline {\ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right)}} = 1 \\\ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) + \ mathbf {c} = 1 \ end {cases}} \ implica \ mathbf {c} = {\ overline {\ left ( \ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right)}} \ implică {\ overline {\ mathbf {c}}} = \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) + {\ overline {\ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right)}} = 1 \\\ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) + \ mathbf {c} = 1 \ end {cases}} \ implica \ mathbf {c} = {\ overline {\ left ( \ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right)}} \ implică {\ overline {\ mathbf {c}}} = \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right)}$

s2) ${\begin{cases}\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)\cdot {\overline {\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)}}=0\\\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} =0\end{cases}}\implies \mathbf {c} ={\overline {\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)}}\implies {\overline {\mathbf {c} }}=\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) \ cdot {\ overline {\ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right)} } = 0 \\\ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) \ cdot \ mathbf {c} = 0 \ end {cases}} \ implica \ mathbf {c} = {\ overline {\ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right)}} \ implică {\ overline {\ mathbf {c}}} = \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) \ cdot {\ overline {\ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right)} } = 0 \\\ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) \ cdot \ mathbf {c} = 0 \ end {cases}} \ implica \ mathbf {c} = {\ overline {\ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right)}} \ implică {\ overline {\ mathbf {c}}} = \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right)}$

Folosind din nou înlocuitorul $\mathbf {c} ={\overline {\mathbf {a} }}\cdot {\overline {\mathbf {b} }}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c} = {\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c} = {\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}}}$ și, ulterior, proprietatea 3), obținem în cele din urmă:

${\overline {\mathbf {c} }}=\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)\implies {\overline {{\overline {\mathbf {a} }}\cdot {\overline {\mathbf {b} }}}}=\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)\implies {\overline {\mathbf {a} }}\cdot {\overline {\mathbf {b} }}={\overline {\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right)}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {c}}} = \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) \ implică {\ overline {{\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}}}} = \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) \ implică {\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}} = {\ overline {\ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right)}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {c}}} = \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) \ implică {\ overline {{\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}}}} = \ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right) \ implică {\ overline {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {b}}} = {\ overline {\ left (\ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ right)}}}$