Distanța unui punct față de un set

În geometrie , distanța unui punct este măsura distanței unui punct față de o altă entitate geometrică din plan sau din spațiu . În general, această distanță este definită ca distanța minimă dintre punct și diferitele puncte ale entității geometrice:

d(p,S)=\inf _{q\in S}d(p,q)

{\ displaystyle d (p, S) = \ inf _ {q \ in S} d (p, q)}

{\ displaystyle d (p, S) = \ inf _ {q \ in S} d (p, q)}

.

Distanța poate fi simplă pentru a calcula ce se întâmplă între două puncte definite sau mai complicată atunci când celălalt element este un set de puncte; în acest caz este mai întâi necesar să se identifice pe ce traiectorie liniară trebuie măsurată.

Calculul unor distanțe în geometria euclidiană

Distanța dintre două puncte

Același subiect în detaliu: distanța euclidiană .

Distanța dintre două puncte este cea mai simplă de calculat, se măsoară de-a lungul liniei care trece prin cele două puncte; dacă vă aflați pe un plan cartezian cu coordonatele celor două puncte $P_{0}(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle P_ {0} (x_ {0}, y_ {0})}$ $P_ {0} (x_ {0}, y_ {0})$ Și $P_{1}(x_{1},y_{1})$ ${\ displaystyle P_ {1} (x_ {1}, y_ {1})}$ ${\ displaystyle P_ {1} (x_ {1}, y_ {1})}$ aplică doar teorema lui Pitagora

d={\sqrt {(x_{0}-x_{1})^{2}+(y_{0}-y_{1})^{2}}}

{\ displaystyle d = {\ sqrt {(x_ {0} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {0} -y_ {1}) ^ {2}}}}

{\ displaystyle d = {\ sqrt {(x_ {0} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {0} -y_ {1}) ^ {2}}}}

în spațiu, în schimb, cu coordonatele P ₀ (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) și P ₁ (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

d={\sqrt {(x_{0}-x_{1})^{2}+(y_{0}-y_{1})^{2}+(z_{0}-z_{1})^{2}}}.

{\ displaystyle d = {\ sqrt {(x_ {0} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {0} -y_ {1}) ^ {2} + (z_ {0} -z_ {1 }) ^ {2}}}.}

{\ displaystyle d = {\ sqrt {(x_ {0} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {0} -y_ {1}) ^ {2} + (z_ {0} -z_ {1 }) ^ {2}}}.}

Distanța unui punct de la o linie

Distanța unui punct față de o linie este măsurată de-a lungul distanței minime care poate fi identificată, adică de-a lungul segmentului care începe de la punct și intersectează linia ortogonal .

În plan cartezian , coordonatele punctelor $P=(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle P = (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle P = (x_ {0}, y_ {0})}$

Ecuația implicită a liniei $r:ax+by+c=0$ ${\ displaystyle r: ax + by + c = 0}$ ${\ displaystyle r: ax + by + c = 0}$ ,

d(P,r)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

{\ displaystyle d (P, r) = {\ frac {| ax_ {0} + by_ {0} + c |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}

{\ displaystyle d (P, r) = {\ frac {| ax_ {0} + by_ {0} + c |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}

Ecuația explicită a liniei $r:y=mx+q$ ${\ displaystyle r: y = mx + q}$ ${\ displaystyle r: y = mx + q}$

d(P,r)={\frac {|y_{0}-mx_{0}-q|}{\sqrt {1+m^{2}}}}.

{\ displaystyle d (P, r) = {\ frac {| y_ {0} -mx_ {0} -q |} {\ sqrt {1 + m ^ {2}}}}.}

{\ displaystyle d (P, r) = {\ frac {| y_ {0} -mx_ {0} -q |} {\ sqrt {1 + m ^ {2}}}}.}

Demonstrație

Distanța dintre $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ și $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este lungimea segmentului ${\overline {PH}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PH}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PH}}}$ , unde este $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este punctul de intersecție al $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ cu linia perpendiculară pe $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ trecând prin $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

Să presupunem inițial că $P=(0,0)=O$ ${\ displaystyle P = (0,0) = O}$ ${\ displaystyle P = (0,0) = O}$ fie originea. Luând în considerare condiția perpendicularității, se obțin coordonatele punctului $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ rezolvarea sistemului:

\left\{{\begin{matrix}ax+by+c=0\\bx-ay=0\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} ax + by + c = 0 \\ bx-ay = 0 \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} ax + by + c = 0 \\ bx-ay = 0 \ end {matrix}} \ right.}

Prin urmare

H=\left(-{\frac {ac}{a^{2}+b^{2}}},-{\frac {bc}{a^{2}+b^{2}}}\right)

{\ displaystyle H = \ left (- {\ frac {ac} {a ^ {2} + b ^ {2}}}, - {\ frac {bc} {a ^ {2} + b ^ {2}} } \ dreapta)}

{\ displaystyle H = \ left (- {\ frac {ac} {a ^ {2} + b ^ {2}}}, - {\ frac {bc} {a ^ {2} + b ^ {2}} } \ dreapta)}

și lungimea segmentului ${\overline {OH}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OH}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OH}}}$ este dat de:

|\,{\overline {OH}}\,|={\sqrt {\frac {a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}}={\frac {|c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

{\ displaystyle | \, {\ overline {OH}} \, | = {\ sqrt {\ frac {a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}} {(a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {2}}}} = {\ frac {| c |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}

{\ displaystyle | \, {\ overline {OH}} \, | = {\ sqrt {\ frac {a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}} {(a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {2}}}} = {\ frac {| c |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}

De sine $P\neq O$ ${\ displaystyle P \ neq O}$ ${\ displaystyle P \ neq O}$ ne întoarcem la cazul precedent prin traducerea axelor.

\left\{{\begin{matrix}x=X+x_{0}\\y=Y+y_{0}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x = X + x_ {0} \\ y = Y + y_ {0} \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x = X + x_ {0} \\ y = Y + y_ {0} \ end {matrix}} \ right.}

În referință $(P,X,Y)$ ${\ displaystyle (P, X, Y)}$ ${\ displaystyle (P, X, Y)}$ linia $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este reprezentat de ecuația: $aX+bY+(ax_{0}+by_{0}+c)=0$ ${\ displaystyle aX + bY + (ax_ {0} + by_ {0} + c) = 0}$ ${\ displaystyle aX + bY + (ax_ {0} + by_ {0} + c) = 0}$ . Trecând peste dovada anterioară, este ușor să ajungem la formula pe care am vrut să o dovedim.

Distanța unui punct față de un plan

În spațiu, distanța unui punct față de un plan se măsoară de-a lungul liniei care trece prin punctul care intersectează planul perpendicular

Într-un sistem tridimensional de coordonate considerăm coordonatele punctului $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

Ecuația planului $p:ax+by+cz+d=0$ ${\ displaystyle p: ax + by + cz + d = 0}$ ${\ displaystyle p: ax + by + cz + d = 0}$

d(P_{0},p)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.

{\ displaystyle d (P_ {0}, p) = {\ frac {| ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0} + d |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2 } + c ^ {2}}}}.}

{\ displaystyle d (P_ {0}, p) = {\ frac {| ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0} + d |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2 } + c ^ {2}}}}.}

Printre aplicațiile acestei relații, trebuie remarcat faptul că, de exemplu, distanța dintre centrul unei sfere și un plan tangent la aceasta este egală cu lungimea razei sferei în sine.

Distanța unui punct de la o suprafață

Distanța dintre un punct și o suprafață generică este mai complicată de calculat. De asemenea, poate exista o altă distanță notabilă, distanța maximă , definită ca distanța maximă dintre punctele de suprafață și punctul dat. De exemplu, distanța minimă a unui punct față de o sferă este diferența dintre distanța punctului de la centrul sferei și raza sferei, în timp ce distanța lor maximă este suma acestor două lungimi (distanța punctului din centrul sferei și raza sferei).

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică