Măsură gaussiană

În matematică , o măsură gaussiană este o măsură Borel pe un spațiu euclidian finit- dimensional R ⁿ , strâns legat de distribuția normală în statistici . Există, de asemenea, o generalizare a spațiilor cu dimensiuni infinite. Măsurile gaussiene poartă numele matematicianului german Carl Friedrich Gauss . Unul dintre motivele pentru care măsurile gaussiene sunt atât de răspândite în teoria probabilității este teorema limitei centrale . Pune pur și simplu, se stabilește că , dacă o variabilă aleatoare X este obținută prin adăugarea unui număr mare de N variabile aleatoare independente de ordinul 1, atunci X este de ordine ${\sqrt {N}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {N}}}$ $\ sqrt {N}$ iar legea sa este aproximativ gaussiană.

Definiții

Fie n ∈ N și notăm cu B ₀ ( R ⁿ ) finalizarea lui Borel 's ' -algebra pe R ⁿ . Notăm cu λ ⁿ : B ₀ ( R ⁿ ) → [0, + ∞] măsura obișnuită n -dimensională Lebesgue . Atunci măsura gaussiană standard γ ⁿ : B ₀ ( R ⁿ ) → [0, 1] este definită de

\gamma ^{n}(A)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\int _{A}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|x\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x)

{\ displaystyle \ gamma ^ {n} (A) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} ^ {n}}} \ int _ {A} \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} \ | x \ | _ {\ mathbb {R} ^ {n}} ^ {2} \ right) \, \ mathrm {d} \ lambda ^ {n} (x)}

{\ displaystyle \ gamma ^ {n} (A) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} ^ {n}}} \ int _ {A} \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} \ | x \ | _ {\ mathbb {R} ^ {n}} ^ {2} \ right) \, \ mathrm {d} \ lambda ^ {n} (x)}

pentru fiecare set măsurabil A ∈ B ₀ ( R ⁿ ). În ceea ce privește derivatul Radon-Nikodym ,

{\frac {\mathrm {d} \gamma ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|x\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right).

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma ^ {n}} {\ mathrm {d} \ lambda ^ {n}}} (x) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} ^ {n}}} \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} \ | x \ | _ {\ mathbb {R} ^ {n}} ^ {2} \ right). }

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma ^ {n}} {\ mathrm {d} \ lambda ^ {n}}} (x) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} ^ {n}}} \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} \ | x \ | _ {\ mathbb {R} ^ {n}} ^ {2} \ right). }

Mai general, măsura Gaussiană cu media μ ∈ R ⁿ și varianța σ ² > 0 este dată de

\gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}(A):={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}^{n}}}\int _{A}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\|x-\mu \|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x).

{\ displaystyle \ gamma _ {\ mu, \ sigma ^ {2}} ^ {n} (A): = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}} ^ { n}}} \ int _ {A} \ exp \ left (- {\ frac {1} {2 \ sigma ^ {2}}} \ | x- \ mu \ | _ {\ mathbb {R} ^ {n }} ^ {2} \ right) \, \ mathrm {d} \ lambda ^ {n} (x).}

{\ displaystyle \ gamma _ {\ mu, \ sigma ^ {2}} ^ {n} (A): = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}} ^ { n}}} \ int _ {A} \ exp \ left (- {\ frac {1} {2 \ sigma ^ {2}}} \ | x- \ mu \ | _ {\ mathbb {R} ^ {n }} ^ {2} \ right) \, \ mathrm {d} \ lambda ^ {n} (x).}

Măsurile gaussiene cu media μ = 0 sunt cunoscute ca măsuri gaussiene centrate .

Măsura Dirac δ _μ este limita slabă a $\gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {\ mu, \ sigma ^ {2}} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {\ mu, \ sigma ^ {2}} ^ {n}}$ pentru σ → 0 și este considerată o măsură gaussiană degenerată ; dimpotrivă, măsurile gaussiene cu varianță finită non-zero sunt numite măsuri gaussiene non-degenerate .

Proprietate

Măsura gaussiană standard γ ⁿ pe R ⁿ

este o măsură Borel (de fapt, așa cum s-a menționat mai sus, este definită la finalizarea lui 'σ -algebra lui Borel, care este o structură mai rafinată);
este echivalent cu măsura Lebesgue: $\lambda ^{n}\ll \gamma ^{n}\ll \lambda ^{n}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {n} \ ll \ gamma ^ {n} \ ll \ lambda ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {n} \ ll \ gamma ^ {n} \ ll \ lambda ^ {n}}$ , unde este $\ll$ ${\ displaystyle \ ll}$ ${\ displaystyle \ ll}$ reprezintă continuitatea absolută a măsurilor;
este susținut în tot spațiul euclidian: supp ( γ ⁿ ) = R ⁿ ;
este o măsură de probabilitate ( γ ⁿ ( R ⁿ ) = 1), astfel încât este local finită ;
este strict pozitiv : fiecare set deschis ne-gol are o măsură pozitivă;
este regulat intern : pentru fiecare set de Borel A ,

\gamma ^{n}(A)=\sup\{\gamma ^{n}(K)|K\subseteq A,K{\mbox{ is compact}}\},

{\ displaystyle \ gamma ^ {n} (A) = \ sup \ {\ gamma ^ {n} (K) | K \ subseteq A, K {\ mbox {este compact}} \},}

{\ displaystyle \ gamma ^ {n} (A) = \ sup \ {\ gamma ^ {n} (K) | K \ subseteq A, K {\ mbox {este compact}} \},}

astfel încât măsura Gaussiană este o măsură Radon ;

nu este translațional invariant , dar satisface relația

{\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}{\mathrm {d} \gamma ^{n}}}(x)=\exp \left(\langle h,x\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}-{\frac {1}{2}}\|h\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right),

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} (T_ {h}) _ {*} (\ gamma ^ {n})} {\ mathrm {d} \ gamma ^ {n}}} (x) = \ exp \ left (\ langle h, x \ rangle _ {\ mathbb {R} ^ {n}} - {\ frac {1} {2}} \ | h \ | _ {\ mathbb {R} ^ {n} } ^ {2} \ dreapta),}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} (T_ {h}) _ {*} (\ gamma ^ {n})} {\ mathrm {d} \ gamma ^ {n}}} (x) = \ exp \ left (\ langle h, x \ rangle _ {\ mathbb {R} ^ {n}} - {\ frac {1} {2}} \ | h \ | _ {\ mathbb {R} ^ {n} } ^ {2} \ dreapta),}

unde derivata elementului stâng este derivata lui Radon-Nikodym și (T _h) _* (γ ⁿ⁾ este dimensiunea imaginii (măsură pushforward) a măsurii gaussiene standard dată de transformarea translațională T _h: R ⁿ → R ^n, T _h ( x ) = x + h ;

este măsura probabilității asociată cu o distribuție normală a probabilității :

Z\sim \mathrm {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})\implies \mathbb {P} (Z\in A)=\gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}(A).

{\ displaystyle Z \ sim \ mathrm {Normal} (\ mu, \ sigma ^ {2}) \ implic \ mathbb {P} (Z \ in A) = \ gamma _ {\ mu, \ sigma ^ {2}} ^ {n} (A).}

{\ displaystyle Z \ sim \ mathrm {Normal} (\ mu, \ sigma ^ {2}) \ implic \ mathbb {P} (Z \ in A) = \ gamma _ {\ mu, \ sigma ^ {2}} ^ {n} (A).}

Măsurători gaussiene pe spații cu dimensiuni infinite

Se poate arăta că nu există un analog al măsurii Lebesgue într-un spațiu vectorial cu dimensiuni infinite. Cu toate acestea, este posibil să se definească măsuri gaussiene în spații cu dimensiuni infinite; cel mai important exemplu este construirea spațiului abstract Wiener . O măsură Borel γ într-un spațiu Banach separabil E se numește o măsură gaussiană nedegenerată (centrată) dacă, pentru fiecare funcțional liniar L ∈ E ^∗ cu excepția L = 0, măsura imaginii L _∗ ( γ ) este o măsură gaussiană (centrată) ) nu degenerează pe R în sensul definit mai sus.

De exemplu, măsura clasică Wiener pe spațiul arcurilor continue este o măsură gaussiană.

Elemente conexe

Măsura Besov , o generalizare a măsurii gaussiene
Teorema Cameron-Martin

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică