Teoria descriptivă a mulțimilor

În matematică , teoria descriptivă a mulțimilor este studiul anumitor clase de subseturi regulate de numere reale , cum ar fi borelieni , mulțimi analitice și mulțimi proiective .

Scopul generic al teoriei descriptive a mulțimilor este de a descrie , prin intermediul construcțiilor explicite sau implicite, toate subseturile interesante (atât în sensul de utilitate în aplicații , cât și în sensul mai strict matematic de nepatologic ) a numerelor reale .

Luată într-un sens mai larg, teoria descriptivă a mulțimilor studiază subseturi regulate de spații mai generale decât numerele reale; în special, s-au obținut rezultate remarcabile în teoria descriptivă a spațiilor poloneze .

Metodele teoriei descriptive a mulțimilor provin în principal dintr-o analiză aprofundată a conceptelor de numere cardinale și ordinale . De exemplu, inducția transfinită este utilizată pe scară largă.

Teoria descriptivă a numerelor reale

Teoria descriptivă a numerelor reale reușește, în general, să dea caracterizări destul de explicite ale obiectelor pe care le-a studiat. Așa cum este firesc în acest context, prezentăm cele mai comune seturi de numere reale într-un mod ierarhic :

Cele mai simple subseturi de reali la care ne putem gândi sunt intervale .
Din acestea, putem construi cele deschise : un set este deschis dacă este o uniune de intervale. În acest fel am construit topologia euclidiană a $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . Familia deschisă conține familia de gamă. Putem considera și seturi închise , ca seturi complementare de seturi deschise.
Având în vedere topologia euclidiană (adică familia deschisă) putem construi familii de mulțimi ${\mathcal {G}}_{\delta }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ delta}}$ și ${\mathcal {F}}_{\sigma }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ sigma}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ sigma}}$ , adică mulțimile care sunt intersecția numărabilă a mulțimilor deschise și, respectiv, uniunea numărabilă a celor închise. Evident, familia seturilor $G_{\delta }$ ${\ displaystyle G _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle G _ {\ delta}}$ conține familia celor deschise și familia celor $F_{\sigma }$ ${\ displaystyle F _ {\ sigma}}$ ${\ displaystyle F _ {\ sigma}}$ cea a închisului.
Din seturi $G_{\delta }$ ${\ displaystyle G _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle G _ {\ delta}}$ , sau dă-i $F_{\sigma }$ ${\ displaystyle F _ {\ sigma}}$ ${\ displaystyle F _ {\ sigma}}$ , Putem genera Borelian σ-algebra , adică cea mai mică σ-algebra care conține toate cele deschise ^[1] .
Din σ-algebra boreliană putem genera:
- Σ-algebra lui Lebesgue .
- Seturile analitice.
- Seturile proiective.

Teoria descriptivă a spațiilor poloneze

Pe spații mai generale decât numerele reale, aceste construcții pot fi realizate în mod similar, chiar dacă vor fi mai complexe. În special, introducerea σ-algebrei lui Baire , adică σ-algebra generată de compacte $G_{\delta }$ ${\ displaystyle G _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle G _ {\ delta}}$ . Aceasta, în general, va fi mai puțin fină decât σ-algebra boreliană (adică va fi compusă din mai puține elemente); totuși, în cazul numerelor reale, aceste σ-algebre coincid și, prin urmare, această distincție se pierde.

Spațiile poloneze au un interes deosebit în teoria descriptivă a mulțimilor, în special pentru următoarele rezultate:

Teorema homeomorfismului spațiilor poloneze

Fiecare spațiu polonez este homeomorf pentru un subgrup al cubului Hilbert echipat cu topologia relativă .

Teorema lui Kuratowski

Este $(X,{\mathcal {\mathrm {T} }})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})}$ $(X, {\ mathcal {\ mathrm {T}}})$ un spațiu polonez , e ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ relativul Borel σ-algebră. Apoi, ca spațiu măsurabil , spațiul borelian $(X,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ $(X, {\ mathfrak {F}})$ este izomorf (în sensul teoriei categoriilor ) la unul dintre următoarele seturi:

Ansamblul numerelor reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , echipat cu algebra Borel obișnuită.
Setul de numere întregi , echipat cu σ-algebră a setului de părți (care este pur și simplu Borel σ-algebră generată de topologia discretă).
Un set finit, echipat cu σ-algebra setului de piese (care este pur și simplu Borel σ-algebra generată de topologia discretă).

Notă

^ În timp ce în câmpul analitic este firesc să considerăm σ-algebra boreliană ca intersecția tuturor σ-algebrelor care conțin mulțimile deschise, din punctul de vedere al teoriei descriptive a mulțimilor este mai natural construită prin inducție transfinită . Pentru a afla mai multe, consultați secțiunea Construcție explicită a algebrei σ a lui Borel a intrării Algebra Borel , care explică această construcție în detaliu. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere faptul că, așa cum este explicat în acest articol, cel puțin în cazul spațiilor metrizabile , noțiunea analitică și construcția descriptivă a σ-algebrei boreliene coincid.

Bibliografie

Kechris, Alexander S., Teoria clasică a seturilor descriptive , Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-94374-9 .

Moschovakis, Yiannis N., Teoria descriptivă a seturilor, Olanda de Nord, 1980, ISBN 0-444-70199-0 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] În timp ce în câmpul analitic este firesc să considerăm σ-algebra boreliană ca intersecția tuturor σ-algebrelor care conțin mulțimile deschise, din punctul de vedere al teoriei descriptive a mulțimilor este mai natural construită prin inducție transfinită . Pentru a afla mai multe, consultați secțiunea Construcție explicită a algebrei σ a lui Borel a intrării Algebra Borel , care explică această construcție în detaliu. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere faptul că, așa cum este explicat în acest articol, cel puțin în cazul spațiilor metrizabile , noțiunea analitică și construcția descriptivă a σ-algebrei boreliene coincid.

[1]