Teorema lui Lagrange (teoria numerelor)

În teoria numerelor , teorema lui Lagrange este o afirmație numită după Joseph-Louis Lagrange despre cât de frecvent un polinom pe numere întregi poate presupune o valoare egală cu un multiplu al unui număr prim fix. Mai precis, afirmă că dacă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este un număr prim și $f(x)\in \mathbb {Z} [x]$ ${\ displaystyle f (x) \ in \ mathbb {Z} [x]}$ ${\ displaystyle f (x) \ in \ mathbb {Z} [x]}$ este un polinom cu coeficienți întregi, atunci:

fiecare coeficient de $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este divizibil cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , sau
$f(x)\equiv 0{\bmod {p}}$ ${\ displaystyle f (x) \ equiv 0 {\ bmod {p}}}$ ${\ displaystyle f (x) \ equiv 0 {\ bmod {p}}}$ are, cel mult, grad de $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ soluții incongruente.

Soluțiile sunt „incongruente” dacă nu diferă de un multiplu de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Dacă forma nu este primă, atunci este posibil să existe mai mult decât rang de $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ soluții.

O dovadă a teoremei lui Lagrange

Cele două idei cheie sunt următoarele. Este $g(x)\in (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )[x]$ ${\ displaystyle g (x) \ in (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) [x]}$ ${\ displaystyle g (x) \ in (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) [x]}$ polinomul obținut din $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ luând coeficienții $\mod p$ ${\ displaystyle \ mod p}$ ${\ displaystyle \ mod p}$ . Oră $f(k)$ ${\ displaystyle f (k)}$ $f (k)$ este divizibil cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ dacă și numai dacă $g(k)=0$ ${\ displaystyle g (k) = 0}$ ${\ displaystyle g (k) = 0}$ ; (ii) $g(k)$ ${\ displaystyle g (k)}$ $g (k)$ nu are mai multe rădăcini decât gradul său.

Mai strict, începem să observăm acest lucru $g(x)=0$ ${\ displaystyle g (x) = 0}$ ${\ displaystyle g (x) = 0}$ dacă și numai dacă vreun coeficient de $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este divizibil cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . să presupunem că $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ nu este 0; gradul său este deci bine definit. Este ușor de văzut asta $\textstyle {\text{grado di }}g(x)\leq {\text{grado di }}f(x)$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ text {grad de}} g (x) \ leq {\ text {grad de}} f (x)}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ text {grad de}} g (x) \ leq {\ text {grad de}} f (x)}$ . Pentru a demonstra (i), observăm mai întâi că putem calcula $g(k)$ ${\ displaystyle g (k)}$ $g (k)$ sau direct, adică prin inserarea (clasa reziduală a) $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ și efectuarea de operații aritmetice în $\textstyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ , sau reducătoare $f(k)\mod p$ ${\ displaystyle f (k) \ mod p}$ ${\ displaystyle f (k) \ mod p}$ . Prin urmare $g(k)=0$ ${\ displaystyle g (k) = 0}$ ${\ displaystyle g (k) = 0}$ dacă și numai dacă $f(k)\equiv 0{\bmod {p}}$ ${\ displaystyle f (k) \ equiv 0 {\ bmod {p}}}$ ${\ displaystyle f (k) \ equiv 0 {\ bmod {p}}}$ , adică dacă și numai dacă $f(k)$ ${\ displaystyle f (k)}$ ${\ displaystyle f (k)}$ este divizibil cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Pentru a demonstra (ii), observăm că $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}$ este un câmp , ceea ce este normal; o demonstrație rapidă este să observăm că, de vreme ce $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este primul, $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}$ este un domeniu de integritate finită, deci este un câmp. Un alt fapt normal este că un polinom diferit de zero pe un câmp are cel mult la fel de multe rădăcini ca gradul său; acest lucru rezultă din algoritmul de divizare.

În cele din urmă, observăm că două soluții $f(k_{1}),f(k_{2})\equiv 0{\bmod {p}}$ ${\ displaystyle f (k_ {1}), f (k_ {2}) \ equiv 0 {\ bmod {p}}}$ ${\ displaystyle f (k_ {1}), f (k_ {2}) \ equiv 0 {\ bmod {p}}}$ sunt incongruente dacă și numai dacă $k_{1}\not \equiv k_{2}{\bmod {p}}$ ${\ displaystyle k_ {1} \ not \ equiv k_ {2} {\ bmod {p}}}$ ${\ displaystyle k_ {1} \ not \ equiv k_ {2} {\ bmod {p}}}$ . Reunind totul: numărul de soluții incongruente, datorită (i), este același cu numărul de rădăcini ale $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ , care, datorită (ii), este cel mult ${\text{grado di }}g(x)$ ${\ displaystyle {\ text {grad de}} g (x)}$ ${\ displaystyle {\ text {grad de}} g (x)}$ , care este cel mult ${\text{grado di }}f(x)$ ${\ displaystyle {\ text {grad de}} f (x)}$ ${\ displaystyle {\ text {grad de}} f (x)}$ .

Bibliografie

William J. LeVeque ,Topics in Number Theory, Volumes I and II , New York, Dover Publications, 2002 [1956] , p. 42 , ISBN 978-0-486-42539-9 , Zbl 1009.11001 .
James J. Tattersall, The Elementary Number Theory in Nine Chapters , 2nd, Cambridge University Press , 2005, p. 198 , ISBN 0-521-85014-2 , Zbl 1071.11002 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Teoria numerelor
Cele mai utilizate numere	Natural · Întreg · Par și impar
Principii generale	Principiul inducției · Principiul unei bune ordonări · Relația de echivalență
Secvențe de numere întregi	Factorial · Fibonacci · Număr de catalană · Număr Perrin · Număr de Euler · Secvență Mian-Chowla · Succesiunea lui Thue-Morse
Caracteristicile numerelor prime	Primul număr · lema lui Euclid · Teorema infinitate de numere prime · ciurul Eratostene · teste primality · Teorema fundamentală a aritmeticii · Total acoperire mine · Bézout Identitate · MCD · mcm · algoritmul lui Euclid · Teorema de Prime Numbers
Funcții aritmetice	Funcție multiplicativă · funcție aditivă · convoluție Dirichlet · funcția Euler Euler · funcția Möbius · funcția tau pe pozitiv · funcția sigmoidă · funcția Liouville · funcția Mertens
Aritmetica modulară	Teorema a restului chinez · teorema lui Fermat mici · teorema lui Euler · Criterii de divizibilitate · teorema lui Fermat pe sume de două pătrate · Wilson Teorema · reciprocitatea pătratică
Conjecturi	Conjectura lui Goldbach · Conjectura Polignac · Guess abc · conjectura primelor gemene · Conjectura lui Legendre · Noua conjectură Mersenne · Conjectura Collatz · Ipoteza Riemann
Alte	Problema lui Waring
Principalii teoreticieni	Fibonacci · Fermat · Gauss · Euler · Legendre · Riemann · Dirichlet
Disciplinele conexe	Teoria algebrică a numerelor · Teoria analitică a numerelor · Criptografie · Teoria computațională a numerelor