Teorema Stolz-Cesaro

În matematică , teorema lui Stolz-Cesaro, al cărei nume se datorează lui Otto Stolz și Ernesto Cesaro , este un criteriu pentru a demonstra convergența unei secvențe .

Lasa-i sa fie $(a_{n})_{n\geq 1}$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ Și $(b_{n})_{n\geq 1}$ ${\ displaystyle (b_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle (b_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ două secvențe de numere reale . De sine $b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ $b_ {n}$ este o secvență pozitivă, strict în creștere , nelimitată și există următoarea limită :

\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} = l}

\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} {\ frac {a _ {{n + 1}} - a_ {n}} {b _ {{n + 1}} - b_ {n}}} = l

atunci există și limita:

\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = l}

\ lim _ {{n \ rightarrow \ infty}} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = l

Forma generală a teoremei este următoarea ^[1] . De sine $(a_{n})_{n\geq 1}$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ Și $(b_{n})_{n\geq 1}$ ${\ displaystyle (b_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle (b_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ sunt două secvențe astfel încât $b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ $b_ {n}$ este monoton și nelimitat, atunci:

\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}

{\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}}}

{\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}}}

Teorema Stolz - Cesaro poate fi considerată ca o generalizare a sumei Cesaro , dar și ca un fel de regulă de l'Hôpital pentru secvențe, văzând diferențele ca aproximări ale derivatelor de ordinul întâi.

Prin plasare $a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mbox{ e }}b_{n}=n$ ${\ displaystyle a_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mbox {e}} b_ {n} = n}$ ${\ displaystyle a_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mbox {e}} b_ {n} = n}$ obținem suma lui Cesaro

Notă

^ imomath.com - Teorema L'Hopital

Bibliografie

( EN ) Marian Mureșan, O abordare concretă a analizei clasice , Springer, 2008, ISBN 9780387789323 , p. 85.
( EN ) Stolz, O., Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den neueren Ansichten , Teubner, Leipzig, 1885, pp. 173–175. ( copie online la Internet Archive )
( EN ) Cesaro, E., Sur la convergence des séries, Nouvelles annales de mathématiques Series 3, 7 (1888), pp. 49—59.
( EN ) Pólya, G. și Szegö, G., Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis , vol. 1, Berlin, J. Springer 1925.

Elemente conexe

linkuri externe

Dovada teoremei Stolz-Cesaro (în engleză) , pe planetmath.org .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] th.com - Teorema L'Hopital

[1]