Bhaskara

Bhāskara , numit și Bhāskaràcārya („Bhāskara stăpânul”) și Bhāskara II pentru a evita confuzia cu Bhāskara I ( Bijjada Bida , 1114 - 1185 ), a fost un astronom și matematician indian .

Biografie

S-a născut lângă Bijjada Bida în districtul Bijapur , Karnataka , în sudul Indiei , și a devenit șeful observatorului astronomic din Ujjain , continuând tradiția matematică din Varāhamihira și Brahmagupta . Într-un fel, Bhāskara reprezintă culmea cunoașterii matematice și astronomice din secolul al XII-lea în lume. Principalele sale lucrări au fost: Lilavati (care se ocupă de aritmetică ), Bijaganita ( Algebra ) și Siddhanta Shiromani (scrisă în 1150 ) formate din două părți: Goladhyaya ( sfera ) și Grahaganita (matematica planetelor ).

Legendele

Lilavati , cartea sa despre aritmetică, este sursa unor legende interesante conform cărora a fost scrisă pentru fiica sa Lilavati. Într-una dintre aceste povești, găsită într-o traducere în persană a lui Lilavati , Bhāskara a studiat horoscopul lui Lilavati și a prezis că soțul ei va muri la scurt timp după căsătorie, dacă acest lucru nu va avea loc la un moment dat. Pentru a preveni această nenorocire, a așezat o ceașcă cu o mică gaură în fundul unui vas umplut cu apă și a făcut ceașca să se scufunde la începutul orei de bun augur pentru nuntă. A pus aparatul într-o cameră avertizându-l pe Lilavati să nu se apropie. Condusă de curiozitate, însă, a intrat să se uite la dispozitiv, dar o perlă de inel pe care o purta pe nas a căzut accidental în el, distrugându-l. Nunta a avut loc la momentul nepotrivit și a devenit în scurt timp văduvă. Se spune că Bhāskara i-a învățat matematica să o consoleze pentru durerea ei și că el a scris cartea pentru ea.

Matematica

Unele dintre contribuțiile lui Bhāskara la matematică includ următoarele puncte:

O dovadă a teoremei lui Pitagora , făcută calculând aceeași zonă în două moduri diferite și apoi anulând termenii pentru a obține un ² + b ² = c ² .
El a demonstrat că fiecare cantitate împărțită la zero este infinită și a adăugat că infinitul împărțit la cantități rămâne infinit.
În Lilavati , soluțiile ecuațiilor pătratice , cubice , quartice nedeterminate .
Soluțiile ecuațiilor pătratice nedeterminate (de tipul ax ² + b = y ² ).
Soluțiile întregi ale ecuațiilor nedeterminate liniare și pătratice ( Kuttaka ). Regulile pe care le dă sunt (de fapt) identice cu cele date de matematicienii Renașterii europene din secolul al XVII-lea .
Metoda chakravalei , de tip ciclic, pentru rezolvarea ecuațiilor nedeterminate de forma ax ² + bx + c = y. Soluția acestei ecuații a fost atribuită în mod tradițional lui William Brouncker în 1657, deși metoda sa a fost mai dificilă decât metoda chakravala .
Metoda sa pentru găsirea soluțiilor problemei x ² - ny ² = 1 (așa-numita „ ecuație Pell ”) are un interes și o importanță considerabile.
Soluțiile ecuațiilor diofantine de ordinul doi , cum ar fi 61x ² + 1 = y ² . Aceeași ecuație a fost pusă ca o problemă în 1657 de matematicianul francez Pierre de Fermat , dar soluția sa în Europa a rămas necunoscută până la momentul lui Euler în secolul al XVIII-lea .
El a rezolvat ecuațiile pătratice cu mai multe necunoscute și a găsit soluțiile negative și iraționale .
Conceptul preliminar de analiză matematică .
Conceptul preliminar de calcul împreună cu contribuții notabile în direcția calculului integral .
El a conceput calculul diferențial după ce a descoperit derivata și coeficientul diferențial .
El a enunțat teorema lui Rolle , un caz special al uneia dintre cele mai importante teoreme de analiză, teorema valorii medii . În lucrările sale există și urme ale teoremei valorii medii .
El a calculat derivatele funcțiilor trigonometrice și formulele acestora. (Consultați secțiunea Calcul de mai jos.)
În Siddhanta Shiromani, Bhāskara a dezvoltat trigonometrie sferică împreună cu alte rezultate trigonometrice . (vezi secțiunea Trigonometrie de mai jos.)

Aritmetic

Textul aritmetic al lui Bhāskara, Lilavati , acoperă următoarele subiecte: definiții, termeni aritmetici, calculul interesului, progresii aritmetice și geometrice , geometrie plană , geometrie solidă , umbra gnomonului , metode de rezolvare a ecuațiilor nedeterminate și combinații . Lilavati este împărțit în 13 capitole și acoperă multe ramuri ale matematicii (aritmetică, algebră, geometrie și unele trigonometrie și măsurare). Mai precis, acoperă:

Definiții.
Proprietățile zero (inclusiv divizarea și regulile operațiilor cu zero).
Prelucrare numerică extinsă suplimentară, inclusiv utilizarea numerelor negative și iraționale .
Estimarea π .
Termeni aritmetici, metode de multiplicare și pătrat .
Regula inversă a celui de-al patrulea proporțional și regulile 3, 5, 7, 9 și 11.
Probleme care implică dobândă și calculul dobânzii.
Progresiuni aritmetice și geometrice .
De geometrie plana Plane geometrie .
Geometrie solidă geometrie solidă .
Permutații și combinații .
Ecuațiile nedeterminate ( Kuttaka ), soluțiile întregi (ordinele I și II). Contribuțiile sale la acest subiect sunt deosebit de importante, deoarece regulile pe care le dă sunt (de fapt) identice cu cele date de matematicienii Renașterii europene din secolul al XVII-lea ; totuși opera sa a fost din secolul al XII-lea . Metoda de rezolvare a fost o îmbunătățire a metodelor găsite în lucrarea lui Aryabhata și a matematicienilor mai târziu.
Umbra gnomonului .

Lucrarea sa este relevantă pentru sistematizarea acesteia, pentru îmbunătățirea metodelor și pentru noile argumente pe care le-a introdus. Mai mult, Lilavati a inclus probleme recreative excelente și se crede că, conform intențiilor probabile ale lui Bhāskara, cei care au studiat Lilavati ar trebui să fie interesați de aplicarea practică a metodei.

Algebră

Bijaganita sa („ Algebra ”) a fost o lucrare în douăsprezece capitole. A fost primul text care a recunoscut că un număr pozitiv are două rădăcini pătrate (una pozitivă și una negativă). Lucrarea sa Bijaganita este efectiv un tratat de algebră și include următoarele subiecte:

Numere pozitive și negative.
Zero .
„Necunoscutul” (include determinarea cantităților necunoscute).
Determinarea cantităților necunoscute.
Numere iraționale (include evaluarea numerelor iraționale).
Kuttaka (pentru a rezolva ecuațiile nedeterminate și diofantine ).
Ecuații simple (nedeterminate de gradul II, III și IV).
Ecuații simple cu mai multe necunoscute.
Ecuații pătratice nedeterminate (de tipul ax ² + b = y ² ).
Soluțiile ecuațiilor nedeterminate de gradul II, III și IV.
Ecuații pătratice .
Ecuații pătratice cu mai multe necunoscute.
Operațiuni cu produse de diferite necunoscute.

Bhāskara a derivat metoda chakravala , de tip ciclic, pentru a rezolva ecuațiile pătratice nedeterminate de forma ax ² + bx + c = y. Metoda lui Bhāskara pentru găsirea soluțiilor problemei Nx ² + 1 = y ² (așa-numita „ ecuație Pell ”) are o importanță considerabilă. El a dat soluțiile generale pentru

„ Ecuația Pell ” folosind metoda chakravala .
Ecuația pătratică nedeterminată folosind metoda chakravalei .

El a rezolvat, de asemenea:

Ecuațiile cubice .
Ecuațiile quartice .
Ecuațiile cubice nedeterminate.
Ecuațiile quartice nedeterminate.
Ecuațiile polinomiale nedeterminate de ordin superior.

Trigonometrie

Siddhanta Shiromani (scris în 1150 ) arată că Bhāskara cunoștea trigonometria, inclusiv tabelul sânilor și relațiile dintre diferitele funcții trigonometrice. De asemenea, el a descoperit trigonometria sferică împreună cu alte rezultate trigonometrice interesante. În special, Bhāskara părea mai interesat de trigonometrie în sine decât predecesorii săi, care o vedeau doar ca un instrument de calcul. Printre numeroasele rezultate interesante obținute de Bhāskara, în lucrările sale se regăsesc, descoperite pentru prima dată, rezultatele cunoscute acum pentru $\sin \left(a+b\right)$ ${\ displaystyle \ sin \ left (a + b \ right)}$ ${\ displaystyle \ sin \ left (a + b \ right)}$ Și $\sin \left(a-b\right)$ ${\ displaystyle \ sin \ left (ab \ right)}$ ${\ displaystyle \ sin \ left (a-b \ right)}$ :

$\sin \left(a+b\right)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$ ${\ displaystyle \ sin \ left (a + b \ right) = \ sin (a) \ cos (b) + \ cos (a) \ sin (b)}$ ${\ displaystyle \ sin \ left (a + b \ right) = \ sin (a) \ cos (b) + \ cos (a) \ sin (b)}$
$\sin \left(a-b\right)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$ ${\ displaystyle \ sin \ left (ab \ right) = \ sin (a) \ cos (b) - \ cos (a) \ sin (b)}$ ${\ displaystyle \ sin \ left (a-b \ right) = \ sin (a) \ cos (b) - \ cos (a) \ sin (b)}$

Calcul

Opera sa, Siddhanta Shiromani , este un tratat astronomic și include multe teorii care nu au fost găsite în lucrările anterioare. De un interes deosebit sunt conceptele preliminare de calcul și analiza matematică , împreună cu unele rezultate de trigonometrie , calcul diferențial și calcul integral găsite în lucrare. Dovezile arată că Bhāskara era perfect conștient de principiul calculului diferențial și că cercetarea sa nu a fost în nici un fel inferioară lucrării lui Newton de cinci secole mai târziu, în afară de faptul că aparent nu înțelegea utilitatea cercetărilor sale și, prin urmare, mulți istorici din matematica neglijează în general rezultatele sale relevante. Bhāskara aprofundează, de asemenea, „calculul diferențial” și indică faptul că coeficientul diferențial dispare la o valoare extremă a funcției, arătând că el cunoaște conceptul de „infinitesimal” .

De asemenea, oferă rezultatele acum cunoscute $\sin \left(a+b\right)$ ${\ displaystyle \ sin \ left (a + b \ right)}$ ${\ displaystyle \ sin \ left (a + b \ right)}$ Și $\sin \left(a-b\right)$ ${\ displaystyle \ sin \ left (ab \ right)}$ ${\ displaystyle \ sin \ left (a-b \ right)}$ .
În lucrarea sa există dovada unei forme primitive a teoremei lui Rolle :
- De sine $f\left(a\right)=f\left(b\right)=0$ ${\ displaystyle f \ left (a \ right) = f \ left (b \ right) = 0}$ ${\ displaystyle f \ left (a \ right) = f \ left (b \ right) = 0}$ asa de $f'\left(x\right)=0$ ${\ displaystyle f '\ left (x \ right) = 0}$ ${\ displaystyle f '\ left (x \ right) = 0}$ pentru unii $\ x$ ${\ displaystyle \ x}$ ${\ displaystyle \ x}$ cu $\ a<x<b$ ${\ displaystyle \ a <x <b}$ ${\ displaystyle \ a <x <b}$ .
El a fost primul care a calculat diferențialul $păcat$ $($ $X$ $)$ {\ displaystyle \ \ sin (x)} ${\ displaystyle \ \ sin (x)}$ ca $d$ $($ $păcat$ $($ $X$ $)$ $)$ $=$ $cos$ $($ $X$ $)$ $d$ $X$ {\ displaystyle d \ left (\ sin (x) \ right) = \ cos \ left (x \ right) dx} ${\ displaystyle d \ left (\ sin (x) \ right) = \ cos \ left (x \ right) dx}$ .
- Bhaskara folosește acest rezultat pentru a calcula unghiul de poziție al eclipticii , o valoare necesară pentru a prezice cu precizie momentul unei eclipse .
În calcularea mișcării instantanee a unei planete, intervalul de timp dintre pozițiile succesive ale planetelor nu a fost mai mare de un truti , sau 1/33750 dintr-o secundă, iar măsura vitezei sale a fost exprimată în această unitate de timp „ infinitesimală ” .
El era conștient de faptul că atunci când o variabilă atinge valoarea maximă, diferențialul ei dispare.
El a mai arătat că, atunci când o planetă se află în cel mai îndepărtat punct sau cel mai apropiat de Pământ, ecuația centrală (măsura cât de departe este o planetă de poziția în care se așteaptă să fie, presupunând că se mișcă prin mișcare uniformă) dispare. Prin urmare, el a concluzionat că, pentru o anumită poziție intermediară, diferențialul ecuației centrului este egal cu zero. În acest rezultat, există urme ale teoremei generale a valorii medii , una dintre cele mai importante teoreme ale analizei matematice , care astăzi este de obicei derivată din teorema lui Rolle . Teorema valorii medii a fost găsită mai târziu de Parameshvara în secolul al XV-lea în Lilavati Bhasya , un comentariu la Lilavati din Bhaskara.

Madhava ( 1340 - 1425 ) și matematicienii școlii Kerala (inclusiv Parameshvara), între secolele XIV și XVI , au avansat asupra lucrării lui Bhaskara și au dus dezvoltarea calculului și mai departe în India.

Astronomie

Studiul astronomiei din lucrările lui Bhāskara se bazează pe sistemul solar de gravitație heliocentric , propus anterior de Aryabhata în 499 , în care planetele urmează o orbită eliptică în jurul Soarelui și pe legea gravitației descrisă de Brahmagupta în secolul al VII-lea . Contribuțiile lui Bhāskara la astronomie includ calcule precise ale multor rezultate astronomice bazate pe acest sistem solar gravitațional heliocentric . O astfel de contribuție este calculul său precis al anului sideral , timpul necesar pământului pentru a orbita Soarele, de 365,2588 zile. Valoarea acceptată astăzi este 365,2596, cu diferența de doar un minut. Textul său despre astronomie matematică Siddhanta Shiromani este scris în două părți: prima parte despre astronomie matematică și a doua despre sferă . Cele douăsprezece capitole ale primei părți includ subiecte precum:

Longitudinea medie a planetelor .
Adevăratele longitudini ale planetelor.
Cele trei probleme ale rotației diurne .
Sizigiile .
Eclipsele de Lună .
Eclipsele solare .
Latitudinile planetelor.
Răsăriturile și apusurile de soare .
Al patrulea lună .
Conjuncțiile planetelor între ele.
Conjuncțiile planetelor cu stelele fixe.
Petele Soarelui și Lunii.

A doua parte include treisprezece capitole despre sferă. Acoperă subiecte precum:

Lauda studiului sferei.
Natura sferei.
Cosmografie și geografie .
Mișcarea planetară medie.
Modelul epiciclic excentric al planetelor.
Sfera armilară .
Trigonometrie sferică .
Determinarea elipsei .
Primele observări ale planetelor.
Calculul trimestrului lunar .
Instrumente astronomice.
Anotimpurile .
Problemele calculelor astronomice.

El a mai arătat că, atunci când o planetă se află în cel mai îndepărtat punct sau cel mai apropiat de Pământ, ecuația centrală (măsura cât de departe este o planetă de poziția în care se așteaptă să fie, presupunând că se mișcă prin mișcare uniformă) dispare. Prin urmare, el a concluzionat că, pentru o anumită poziție intermediară, diferențialul ecuației centrului este egal cu zero.

Bibliografie

WW Rouse Ball , O scurtă relatare a istoriei matematicii , ediția a IV-a, publicațiile Dover, 1960.
George Gheveridentale Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics , Ediția a II-a, Penguin Books, 2000.
John J. O'Connor și Edmund F. Robertson, Bhaskara în MacTutor History of Mathematics Archive , Universitatea St Andrews, 2000.
Ian Pearce, Bhaskaracharya II în MacTutor Archive, Universitatea St Andrews, 2002.

Elemente conexe

Bhaskara I

Alte proiecte

Wikisource conține o pagină dedicată Bhaskara

linkuri externe

( EN ) Bhaskara , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Bhaskara , pe MacTutor , Universitatea din St Andrews, Scoția.
Bhaskara , pe 4to40.com (arhivat din original la 1 decembrie 2005) .
Calcul în Kerala , pe canisius.edu . Adus la 9 iulie 2006 (arhivat din original la 6 august 2006) .

Controlul autorității	VIAF (EN) 29.927.659 · ISNI (EN) 0000 0000 8368 4233 · LCCN (EN) n82077055 · GND (DE) 118 510 584 · BNF (FR) cb14498624v (dată) · BNE (ES) XX5500269 (dată) · CERL cnp00394247 · WorldCat Identities ( EN ) lccn-n82077055

Portalul de astronomie

Portal Biografii

Portalul de matematică