Ecuația de gradul al patrulea

Grafic al ecuației quartice

y=x^{4}-10x^{3}+35x^{2}-50x+24

{\ displaystyle y = x ^ {4} -10x ^ {3} + 35x ^ {2} -50x + 24}

{\ displaystyle y = x ^ {4} -10x ^ {3} + 35x ^ {2} -50x + 24}

În matematică , al patrulea grad sau ecuația quartică este definită ca acea ecuație algebrică în care cel mai înalt grad al necunoscutului este al patrulea. În forma canonică, ia forma:

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad {\mbox{(con }}a\neq 0).

{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0 \ qquad {\ mbox {(cu}} a \ neq 0).}

ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0 \ qquad {\ mbox {(cu}} a \ neq 0).

Prima soluție generală a ecuației gradul al patrulea se datorează italian matematicianul Ferrari , publicat însă în 1545 în Cardano lui Artis Magnae sive de regulis algebraicis, care conținea , de asemenea , metoda soluție a ecuației de gradul III . S-a făcut apoi un efort mare pentru a găsi soluțiile generale ale ecuațiilor de gradul al cincilea și superior, dar în zadar: doar două secole și jumătate mai târziu, lucrările lui Ruffini din 1799 , într-un mod incomplet, și ale lui Abel în 1824 , într-o manieră exhaustivă, constituie colectiv ceea ce este acum cunoscut sub numele de teorema Abel-Ruffini . În special, Lagrange a descoperit că ecuația de rezolvare a unei ecuații de gradul cinci este a șasea ecuație, referitoare la rezultatele lui Galois în teoria grupurilor.

Metoda de rezolvare (etapa pentru solvent)

Metoda de rezolvare este centrată pe rezolvarea unei ecuații de gradul al treilea , numită solvent . Deoarece formula este într-adevăr lungă și complexă, este de obicei preferată raportarea metodei soluției sub forma unui algoritm , în maniera metodei babiloniene pentru rezolvarea ecuației de gradul doi .

Pentru a găsi soluția utilizând metoda solventului, ecuația trebuie să aibă forma

1)\,\,\,\,\,x^{4}+px^{2}+q=rx

{\ displaystyle 1) \, \, \, \, \, x ^ {4} + px ^ {2} + q = rx}

1) \, \, \, \, \, x ^ {4} + px ^ {2} + q = rx

Lucrul este întotdeauna posibil, ca orice ecuație din formă

z^{4}+az^{3}+bz^{2}+cz+d=0\;

{\ displaystyle z ^ {4} + az ^ {3} + bz ^ {2} + cz + d = 0 \;}

z ^ {4} + az ^ {3} + bz ^ {2} + cz + d = 0 \;

duce înapoi la 1) prin plasare

z=x-{\frac {a}{4}}

{\ displaystyle z = x - {\ frac {a} {4}}}

z = x - {\ frac a4}

Enumerăm pașii care trebuie luați pentru a obține soluția

Membrul din stânga este adus ca pătratul unui binom. Pentru a face acest lucru, cantitatea este adăugată pe ambele părți ale ecuației $\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}$ ${\ displaystyle \ left (2 {\ sqrt {q}} - p \ right) x ^ {2}}$ $\ left (2 {\ sqrt q} -p \ right) x ^ {2}$ , primind
$(x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}=rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}$ ${\ displaystyle (x ^ {2} + {\ sqrt {q}}) ^ {2} = rx + \ left (2 {\ sqrt {q}} - p \ right) x ^ {2}}$ $(x ^ {2} + {\ sqrt q}) ^ {2} = rx + \ left (2 {\ sqrt q} -p \ right) x ^ {2}$
Necunoscutul este adăugat ambilor membri $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , iar membrul stâng este adus ca pătratul unui trinom, adăugând cantitățile corespunzătoare ambilor membri:
$2)\,\,\,\,\,(x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}=(2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}$ ${\ displaystyle 2) \, \, \, \, \, (x ^ {2} + {\ sqrt {q}} + y) ^ {2} = (2 {\ sqrt {q}} - p + 2y ) x ^ {2} + rx + 2y {\ sqrt {q}} + y ^ {2}}$ $2) \, \, \, \, \, (x ^ {2} + {\ sqrt q} + y) ^ {2} = (2 {\ sqrt q} -p + 2y) x ^ {2} + rx + 2y {\ sqrt q} + y ^ {2}$
Membrul din dreapta este acum forțat să fie pătratul unui binom din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , adică discriminantul ecuației de gradul al doilea este setat egal cu zero $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . În acest fel se obține rezolvarea gradului al treilea, din care $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ :
$4(2{\sqrt {q}}-p+2y)(2y{\sqrt {q}}+y^{2})-r^{2}=0$ ${\ displaystyle 4 (2 {\ sqrt {q}} - p + 2y) (2y {\ sqrt {q}} + y ^ {2}) - r ^ {2} = 0}$ $4 (2 {\ sqrt q} -p + 2y) (2y {\ sqrt q} + y ^ {2}) - r ^ {2} = 0$
$8y^{3}+(24{\sqrt {q}}-4p)y^{2}+(16q-8p{\sqrt {q}})y-r^{2}=0$ ${\ displaystyle 8y ^ {3} + (24 {\ sqrt {q}} - 4p) y ^ {2} + (16q-8p {\ sqrt {q}}) yr ^ {2} = 0}$ $8y ^ {3} + (24 {\ sqrt q} -4p) y ^ {2} + (16q-8p {\ sqrt q}) y-r ^ {2} = 0$
The $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ găsit în 2), iar rădăcina pătrată a ambelor părți este extrasă, ceea ce este imediat pentru modul în care $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Din acest pas, se obține o ecuație de gradul doi.
Ecuația de gradul doi este rezolvată, obținându-se două soluții pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$
Ecuația inițială este împărțită la cele două rădăcini găsite, iar celelalte două rădăcini sunt extrase.

Dacă a fost necesar să se elimine termenul de gradul trei, este evident necesar să adăugați un sfert din termenul de gradul trei la toate rădăcinile pentru a obține soluțiile ecuației de pornire.

Coeficienții $p, q, r$ ${\ displaystyle p, q, r}$ $p, q, r$ din 1) sunt date de sistem:

{\begin{cases}p=b-{\frac {3}{8}}a^{2}\\r=-{\frac {1}{8}}a^{3}+{\frac {1}{2}}ab-c\\q=-{\frac {3}{256}}a^{4}+{\frac {1}{16}}a^{2}b-{\frac {1}{4}}ac+d\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} p = b - {\ frac {3} {8}} a ^ {2} \\ r = - {\ frac {1} {8}} a ^ {3} + { \ frac {1} {2}} ab-c \\ q = - {\ frac {3} {256}} a ^ {4} + {\ frac {1} {16}} a ^ {2} b- {\ frac {1} {4}} ac + d \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} p = b - {\ frac {3} {8}} a ^ {2} \\ r = - {\ frac {1} {8}} a ^ {3} + { \ frac {1} {2}} ab-c \\ q = - {\ frac {3} {256}} a ^ {4} + {\ frac {1} {16}} a ^ {2} b- {\ frac {1} {4}} ac + d \ end {cases}}}

Observați soluțiile 1), le găsim pe cele ale ecuației de gradul patru:

z_{i}=x_{i}-{\frac {a}{4}}

{\ displaystyle z_ {i} = x_ {i} - {\ frac {a} {4}}}

z_ {i} = x_ {i} - {\ frac {a} {4}}

, cu

i=1,2,3,4

{\ displaystyle i = 1,2,3,4}

i = 1,2,3,4

.

Metoda alternativă

Pornind de la ecuația redusă este posibil să împărțim cvadricul în produsul a două ecuații de gradul al doilea.

{\begin{array}{lcl}0=x^{4}+cx^{2}+dx+e&=&(x^{2}+px+q)(x^{2}+rx+s)\\&=&x^{4}+(p+r)x^{3}+(q+s+pr)x^{2}+(ps+qr)x+qs\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} 0 = x ^ {4} + cx ^ {2} + dx + e & = & (x ^ {2} + px + q) (x ^ {2} + rx + s) \\ & = & x ^ {4} + (p + r) x ^ {3} + (q + s + pr) x ^ {2} + (ps + qr) x + qs \ end { matrice}}}

{\ begin {array} {lcl} 0 = x ^ {4} + cx ^ {2} + dx + e & = & (x ^ {2} + px + q) (x ^ {2} + rx + s ) \\ & = & x ^ {4} + (p + r) x ^ {3} + (q + s + pr) x ^ {2} + (ps + qr) x + qs \ end {array}}

Echivalând coeficienții termenilor de grad egal:

{\begin{array}{lcl}0&=&p+r\\c&=&q+s+pr\\d&=&ps+qr\\e&=&qs\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} 0 & = & p + r \\ c & = & q + s + pr \\ d & = & ps + qr \\ e & = & qs \ end {array }}}

{\ begin {array} {lcl} 0 & = & p + r \\ c & = & q + s + pr \\ d & = & ps + qr \\ e & = & qs \ end {array}}

Prin eliminarea $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ primesti:

{\begin{array}{lcl}c+p^{2}&=&s+q\\d/p&=&s-q\\e&=&sq\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} c + p ^ {2} & = & s + q \\ d / p & = & s-q \\ e & = & sq \ end {array}}}

{\ begin {array} {lcl} c + p ^ {2} & = & s + q \\ d / p & = & s-q \\ e & = & sq \ end {array}}

Acum este ușor să scapi de $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ si $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ făcând următoarele:

{\begin{array}{lcl}(c+p^{2})^{2}-(d/p)^{2}&=&(s+q)^{2}-(s-q)^{2}\\&=&4sq\\&=&4e\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} (c + p ^ {2}) ^ {2} - (d / p) ^ {2} & = & (s + q) ^ {2} - (sq ) ^ {2} \\ & = & 4sq \\ & = & 4e \ end {array}}}

{\ begin {array} {lcl} (c + p ^ {2}) ^ {2} - (d / p) ^ {2} & = & (s + q) ^ {2} - (sq) ^ { 2} \\ & = & 4sq \\ & = & 4e \ end {array}}

Prin plasare $P=p^{2}$ ${\ displaystyle P = p ^ {2}}$ $P = p ^ {2}$ , această ecuație se transformă în ecuația cubică:

P^{3}+2cP^{2}+(c^{2}-4e)P-d^{2}=0

{\ displaystyle P ^ {3} + 2cP ^ {2} + (c ^ {2} -4e) Pd ^ {2} = 0}

P ^ {3} + 2cP ^ {2} + (c ^ {2} -4e) P-d ^ {2} = 0

Soluție găsită în $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , și apoi în $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , puteți lua:

{\begin{array}{lcl}r&=&-p\\2s&=&c+p^{2}+d/p\\2q&=&c+p^{2}-d/p\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} r & = & - p \\ 2s & = & c + p ^ {2} + d / p \\ 2q & = & c + p ^ {2} -d / p \ end {array}}}

{\ begin {array} {lcl} r & = & - p \\ 2s & = & c + p ^ {2} + d / p \\ 2q & = & c + p ^ {2} -d / p \ end {array}}

Metoda soluției (formă explicită)

Din metodele anterioare este posibil să reveniți (cu multe conturi) la o formulă generală pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul patru în formă generică.

Rezultatul prezentat mai jos se dovedește util mai presus de toate în dovezi de natură abstractă, unde, prin substituirea și luarea în calcul a răbdării, pot fi obținute expresii generale pentru valoarea cantităților de interes.

Cele patru rădăcini ( $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}}$ $x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}$ ) a unui quartic generic