În matematică , o normă matricială este extinderea naturală la matrice a conceptului de normă definit pentru vectori .
Definiție
O normă spațială vectorială{\ displaystyle K ^ {m \ times n}} matrici de elemente în câmp {\ displaystyle K} este o funcție {\ displaystyle \ | \ cdot \ |: K ^ {m \ times n} \ to \ mathbb {R} ^ {+}} astfel încât pentru fiecare pereche de matrici {\ displaystyle A} Și {\ displaystyle B} iar pentru fiecare urcare{\ displaystyle \ lambda \ în K} apare:
- {\ displaystyle \ | A \ | = 0} dacă și numai dacă {\ displaystyle A = 0} ( matrice nulă )
- {\ displaystyle \ | \ lambda A \ | = | \ lambda | \ | A \ |}
- {\ displaystyle \ | A + B \ | \ leq \ | A \ | + \ | B \ |}
Prin urmare, recunoaștem exact aceleași proprietăți ale normelor vectoriale; aceasta reflectă faptul că spațiul matricial este izomorf pentru spațiul vector {\ displaystyle K ^ {mn}} (de exemplu prin intermediul aplicației care trimite o matrice în vectorul care conține rândurile sale unul după altul) și, prin urmare, o normă matricială trebuie să aibă cel puțin aceleași proprietăți ca o normă vectorială.
În plus, dacă {\ displaystyle m = n} , adică matricile sunt pătrate , se cere în general ca și proprietatea de sub-multiplicativitate să fie satisfăcută:
- {\ displaystyle \ | AB \ | \ leq \ | A \ | \ | B \ |}
Dacă submultiplicarea este adevărată, este imediat clar că pentru matricea de identitate este adevărată {\ displaystyle \ | I \ | = \ | I \ cdot I \ | \ leq \ | I \ | \ | I \ | \ Rightarrow \ | I \ | \ geq 1} .
Spaţiu{\ displaystyle K ^ {n \ times n}} echipat cu o normă sub-multiplicativă, este un exemplu de algebră Banach .
Normă indusă
Dacă se dă o regulă pe {\ displaystyle K ^ {n}} ( {\ displaystyle K} vor fi numere reale sau numere complexe ), care să se distingă cu {\ displaystyle | \ cdot |} , atunci o normă este definită pe{\ displaystyle K ^ {m \ times n}} , numită normă indusă , în acest fel:
- {\ displaystyle \ | A \ | = \ sup _ {| x | = 1} | Ax | = \ sup _ {x \ neq 0} {\ frac {| Ax |} {| x |}}}
Coincide cu norma de transformare liniară{\ displaystyle A: x \ mapsto Ax} asociat matricei, văzut ca un operator liniar continu între spațiile Banach , care este dat în analiza funcțională .
În cazul pătratului, această regulă este sub-multiplicativă dacă este utilizată același tip de regulă este în domeniul atât în codomain . De exemplu, dacă pentru vectori folosim una dintre normele p obținem norme, care vor fi numite întotdeauna norme p , definite după cum urmează:
- {\ displaystyle \ | A \ | _ {p} = \ sup _ {| x | _ {p} = 1} | Ax | _ {p}}
In caz {\ displaystyle p = 1} , norma se mai numește și norma de funcționare .
Proprietate
Pentru o normă indusă este întotdeauna adevărat că {\ displaystyle \ | I \ | = 1} este asta {\ displaystyle | Ax | \ leq \ | A \ || x |} . Pentru orice normă, dacă se întâmplă acest lucru, atunci se spune că norma este compatibilă cu norma {\ displaystyle | \ cdot |} .
Pentru unele valori particulare ale {\ displaystyle p} se arată că unele identități care facilitează calculul sunt valabile:
- {\ displaystyle \ | A \ | _ {1} = \ max _ {j = 1, \ ldots, n} \ sum _ {i = 1} ^ {m} | a_ {ij} |}
- {\ displaystyle \ | A \ | _ {\ infty} = \ max _ {i = 1, \ ldots, m} \ sum _ {j = 1} ^ {n} | a_ {ij} |}
Urmează imediat că {\ displaystyle \ | A \ | _ {1} = \ | A ^ {t} \ | _ {\ infty}} ; astfel, dacă {\ displaystyle A} este simetric {\ displaystyle \ | A \ | _ {1} = \ | A \ | _ {\ infty}} . În plus, dacă {\ displaystyle m = n} este valabil:
- {\ displaystyle \ | A \ | _ {2} = {\ sqrt {\ rho (A ^ {*} A)}}}
unde este {\ displaystyle A ^ {*}} este transpunerea conjugată a {\ displaystyle A} ( transpunerea în cazul real) e{\ displaystyle \ rho (A ^ {*} A)} este raza spectrală a {\ displaystyle A ^ {*} A} , care este maximul dintre valorile sale proprii în valoare absolută . Cazul {\ displaystyle p = 2} se mai numește și norma spectrală . De sine {\ displaystyle A} este simetric, atunci egalitatea se reduce la:
- {\ displaystyle \ | A \ | _ {2} = \ rho (A)}
De asemenea, este întotdeauna valabil că:
- {\ displaystyle \ | A \ | _ {2} \ leq {\ sqrt {\ | A \ | _ {1} \ | A \ | _ {\ infty}}}}
Orice normă indusă satisface inegalitatea:
- {\ displaystyle \ | A \ | \ geq \ rho (A)}
și este, de asemenea, valabil că:
- {\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ | A ^ {r} \ | ^ {1 / r} = \ rho (A)}
Standard compatibil
O normă matricială {\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {ab}} pe{\ displaystyle K ^ {m \ times n}} se spune că este compatibil cu o normă vectorială {\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {a}} pe {\ displaystyle K ^ {n}} și o normă vectorială {\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {b}} pe {\ displaystyle K ^ {m}} de sine:
- {\ displaystyle \ | Ax \ | _ {b} \ leq \ | A \ | _ {ab} \ | x \ | _ {a}}
pentru fiecare {\ displaystyle A \ în K ^ {m \ times n}} și pentru fiecare {\ displaystyle x \ în K ^ {n}} . Toate normele induse sunt compatibile prin definiție.
Alte standarde
De asemenea, sunt răspândite regulile care evaluează matricea „componentă cu componentă”, adică echivalând-o cu vectorul având intrările matricei ca componente. De exemplu, normele p vectoriale pentru matrici, care vor fi numite întotdeauna norme p (dar care sunt distincte de normele p induse), sunt:
- {\ displaystyle \ | A \ | _ {p} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {n} | a_ {ij} | ^ {p} \ dreapta) ^ {1 / p}}
Deoarece sunt în esență norme vectoriale, aceste norme p sunt sub-multiplicative.
Ca și înainte, cazul {\ displaystyle p = 2} își asumă o anumită importanță: se mai numește norma Frobenius și poate fi definită și ca:
- {\ displaystyle \ | A \ | _ {2} = \ | A \ | _ {F} = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {n } | a_ {ij} | ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ mbox {tr}} (A * A ^ {T})}} = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {\ min \ {m, n \}} \ sigma _ {i} ^ {2}}}}
unde este {\ displaystyle {\ mbox {tr}} (A * A ^ {T})} este urma lui {\ displaystyle A * A ^ {T}} Și {\ displaystyle \ sigma _ {i}} sunt valorile singulare ale {\ displaystyle A} .
O proprietate singulară a normei Frobenius este că dacă cu {\ displaystyle A_ {i}} denotăm coloanele din {\ displaystyle A} , atunci se menține următoarea egalitate:
- {\ displaystyle \ | A \ | _ {F} ^ {2} = \ | A_ {1} \ | _ {2} ^ {2} + \ | A_ {2} \ | _ {2} ^ {2} + \ ldots + \ | A_ {n} \ | _ {2} ^ {2}}
Standarde echivalente
Pentru fiecare pereche de norme matriciale {\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {p}} Și {\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {q}} inegalitățile sunt:
- {\ displaystyle c_ {1} \ | A \ | _ {p} \ leq \ | A \ | _ {q} \ leq c_ {2} \ | A \ | _ {p} \ qquad c_ {1}, c_ {2}> 0}
adică cele două norme sunt echivalente. Prin urmare, ele induc aceeași topologie pe{\ displaystyle K ^ {m \ times n}} .
Iată câteva exemple de astfel de constante {\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}} pentru o matrice reală:
- {\ displaystyle \ | A \ | _ {2} \ leq \ | A \ | _ {F} \ leq {\ sqrt {n}} \ | A \ | _ {2}}
- {\ displaystyle \ | A \ | _ {max} \ leq \ | A \ | _ {2} \ leq {\ sqrt {mn}} \ | A \ | _ {max}}
- {\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} \ | A \ | _ {\ infty} \ leq \ | A \ | _ {2} \ leq {\ sqrt {m}} \ | A \ | _ {\ infty}}
- {\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {m}}} \ | A \ | _ {1} \ leq \ | A \ | _ {2} \ leq {\ sqrt {n}} \ | A \ | _ {1}}
unde este {\ displaystyle \ | A \ | _ {\ infty}} reprezintă norma infinită indusă e {\ displaystyle \ | A \ | _ {max}} norma sa uniformă , adică maximul modulelor elementelor sale.
Bibliografie
- (EN) James W. Demmel, Algebra liniară numerică aplicată, secțiunea 1.7, SIAM, 1997.
- ( EN ) Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra , SIAM, 2000. [1]
- ( EN ) John Watrous, Theory of Quantum Information , 2.3 Norms of operators , notes notes, University of Waterloo, 2011.
- ( EN ) Kendall Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis , John Wiley & Sons, Inc 1989
- ( EN ) Higham, NJ "Matrix Norms". §6.2 în Precizia și stabilitatea algoritmilor numerici . Philadelphia: Soc. Industrial și Appl. Matematică, 1996.
- (EN) Horn, RA și Johnson, CR "Norme pentru vectori și matrice." Cap. 5 în Analiza matricială . Cambridge, Anglia: Cambridge University Press, 1990.
Elemente conexe
Alte proiecte
linkuri externe