Matricea exponențială

În algebra liniară , exponențialul matricei este funcția matricială corespunzătoare funcției exponențiale a unei matrice pătrate .

Matricea exponențială apare de exemplu în rezolvarea sistemelor liniare de ecuații diferențiale . Prin urmare, are o aplicație importantă în teoria sistemelor și teoria controlului automat .

Definiție

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o matrice pătrată $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ cu coeficienți reali sau complecși . Matricea exponențială a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , indicat cu $e^{A}$ ${\ displaystyle e ^ {A}}$ $și ^ {{A}}$ , este o matrice pătrată $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ obținut prin dezvoltarea de serii de putere :

e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}

{\ displaystyle e ^ {A} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {k}} {k!}}}

e ^ {{A}} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {k}} {k!}}

Este o serie care este întotdeauna convergentă , deci matricea exponențială este bine definită. Se observă că dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice $1\times 1$ ${\ displaystyle 1 \ times 1}$ $1 \ ori 1$ (asa de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un număr real sau complex), seria matricei exponențiale corespunde definiției formale a funcției exponențiale .

Proprietate

Matricea exponențială definește o hartă:

\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )

{\ displaystyle \ exp \ colon M_ {n} (\ mathbb {C}) \ to \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {C})}

\ exp \ colon M_ {n} ({\ mathbb C}) \ to {\ mathrm {GL}} (n, {\ mathbb C})

din spațiul matricial $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ la grupul liniar general de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , acesta este grupul de matrice inversabile . Este o hartă surjectivă, de fapt fiecare matrice inversabilă poate fi scrisă ca exponențială a altei matrice (având în vedere câmpul complex).

Dați două matrice $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , avem:

\|e^{X+Y}-e^{X}\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|}

{\ displaystyle \ | e ^ {X + Y} -e ^ {X} \ | \ leq \ | Y \ | e ^ {\ | X \ |} e ^ {\ | Y \ |}}

\ | e ^ {{X + Y}} - e ^ {X} \ | \ leq \ | Y \ | e ^ {{\ | X \ |}} e ^ {{\ | Y \ |}}

cu $\|\|$ ${\ displaystyle \ | \ |}$ $\ | \ |$ norma matricei . Rezultă că matricea exponențială este continuă și Lipschitz pe subseturi compacte de $M_{n}(\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {C})}$ .

Lasa-i sa fie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ două matrice complexe de dimensiune $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ și sunt $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ două numere complexe. Indicăm matricea de identitate cu $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ iar matricea nulă cu 0. Matricea exponențială îndeplinește următoarele proprietăți:

$e^{0}=I$ ${\ displaystyle e ^ {0} = I}$ $și ^ {0} = I$
$e^{aX}e^{bX}=e^{(a+b)X}$ ${\ displaystyle e ^ {aX} e ^ {bX} = e ^ {(a + b) X}}$ $e ^ {{aX}} e ^ {{bX}} = e ^ {{(a + b) X}}$
$e^{X}e^{-X}=I$ ${\ displaystyle e ^ {X} e ^ {- X} = I}$ $și ^ {{X}} e ^ {{- X}} = I$
De sine $AB=BA$ ${\ displaystyle AB = BA}$ $AB = BA$ , asa de $e^{A}e^{B}=e^{A+B}$ ${\ displaystyle e ^ {A} e ^ {B} = e ^ {A + B}}$ $e ^ {{A}} e ^ {{B}} = e ^ {{A + B}}$ .
De sine $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este inversabil atunci $e^{YXY^{-1}}=Ye^{X}Y^{-1}$ ${\ displaystyle e ^ {YXY ^ {- 1}} = Ye ^ {X} Y ^ {- 1}}$ $e ^ {{YXY ^ {{- 1}}}} = Ye ^ {X} Y ^ {{- 1}}$ .
$\det(e^{X})=e^{{\mbox{tr}}(X)}$ ${\ displaystyle \ det (e ^ {X}) = e ^ {{\ mbox {tr}} (X)}}$ $\ det (e ^ {X}) = e ^ {{{\ mbox {tr}} (X)}}$
$e^{X^{T}}=(e^{X})^{T}$ ${\ displaystyle e ^ {X ^ {T}} = (e ^ {X}) ^ {T}}$ $e ^ {{X ^ {T}}} = (e ^ {X}) ^ {T}$ , unde este $X^{T}$ ${\ displaystyle X ^ {T}}$ $X ^ {T}$ indică matricea transpusă a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Rezultă că dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ atunci este o matrice simetrică $e^{X}$ ${\ displaystyle e ^ {X}}$ $și ^ {X}$ este simetric; mai mult dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este atunci o matrice antisimetrică $e^{X}$ ${\ displaystyle e ^ {X}}$ $și ^ {X}$ este o matrice ortogonală .
$e^{X^{*}}=(e^{X})^{*}$ ${\ displaystyle e ^ {X ^ {*}} = (e ^ {X}) ^ {*}}$ $e ^ {{X ^ {*}}} = (e ^ {X}) ^ {*}$ , unde este $X^{*}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {*}$ denotă matricea de transpunere conjugată a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Rezultă că dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ atunci este o matrice hermitiană $e^{X}$ ${\ displaystyle e ^ {X}}$ $și ^ {X}$ este o matrice hermitiană; mai mult dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ atunci este o matrice anti-hermitiană $e^{X}$ ${\ displaystyle e ^ {X}}$ $și ^ {X}$ este o matrice unitară .
Exponențialul unei matrice este întotdeauna o matrice inversabilă , în analogie cu faptul că exponențiala unui număr complex nu este niciodată nulă.

Derivat

Harta:

t\mapsto e^{tX}\qquad t\in \mathbb {R}

{\ displaystyle t \ mapsto e ^ {tX} \ qquad t \ in \ mathbb {R}}

t \ mapsto e ^ {{tX}} \ qquad t \ in {\ mathbb R}

definește o curbă lină în grupul liniar general care trece prin identitate dacă $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ . Derivatul în $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ este dat de:

{\frac {d}{dt}}e^{tX}=Xe^{tX}=e^{tX}X

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {tX} = Xe ^ {tX} = e ^ {tX} X}

{\ frac {d} {dt}} e ^ {{tX}} = Xe ^ {{tX}} = e ^ {{tX}} X

Mai general, pentru un exponent dependent de $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ :

{\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}e^{\alpha X(t)}{\frac {dX(t)}{dt}}e^{(1-\alpha )X(t)}\,d\alpha

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {X (t)} = \ int _ {0} ^ {1} e ^ {\ alpha X (t)} {\ frac {dX (t) } {dt}} e ^ {(1- \ alpha) X (t)} \, d \ alpha}

{\ frac {d} {dt}} e ^ {{X (t)}} = \ int _ {0} ^ {1} e ^ {{\ alpha X (t)}} {\ frac {dX (t )} {dt}} e ^ {{(1- \ alpha) X (t)}} \, d \ alpha

Purtând $e^{X(t)}$ ${\ displaystyle e ^ {X (t)}}$ $și ^ {{X (t)}}$ din integrală și extinzând aceasta din urmă prin formula Baker-Campbell-Hausdorff , obținem expresia:

\left({\frac {d}{dt}}e^{X(t)}\right)e^{-X(t)}={\frac {d}{dt}}X(t)+{\frac {1}{2!}}[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)]+{\frac {1}{3!}}[X(t),[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)]]+\cdots

{\ displaystyle \ left ({\ frac {d} {dt}} e ^ {X (t)} \ right) e ^ {- X (t)} = {\ frac {d} {dt}} X (t ) + {\ frac {1} {2!}} [X (t), {\ frac {d} {dt}} X (t)] + {\ frac {1} {3!}} [X (t ), [X (t), {\ frac {d} {dt}} X (t)]] + \ cdots}

\ left ({\ frac {d} {dt}} e ^ {{X (t)}} \ right) e ^ {{- X (t)}} = {\ frac {d} {dt}} X ( t) + {\ frac {1} {2!}} [X (t), {\ frac {d} {dt}} X (t)] + {\ frac {1} {3!}} [X ( t), [X (t), {\ frac {d} {dt}} X (t)]] + \ cdots

Determinant

Pentru fiecare matrice pătrată pe câmpul numerelor complexe avem, datorită formulei Jacobi :

\det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}

{\ displaystyle \ det (e ^ {A}) = e ^ {\ operatorname {tr} (A)}}

\ det (e ^ {A}) = e ^ {{\ operatorname {tr} (A)}}

Această formulă arată că o matrice exponențială este întotdeauna inversabilă , deoarece termenul din dreapta nu este niciodată nul și, prin urmare, determinantul nu este niciodată nul.

În câmpul numerelor reale, harta:

\exp \colon M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )

{\ displaystyle \ exp \ colon M_ {n} (\ mathbb {R}) \ to \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {R})}

\ exp \ colon M_ {n} ({\ mathbb R}) \ to {\ mathrm {GL}} (n, {\ mathbb R})

nu este surjectiv.

Calculul matricei exponențiale

Pentru calculul matricei exponențiale $e^{A}$ ${\ displaystyle e ^ {A}}$ $și ^ {A}$ seria de putere nu este utilizată, deoarece constă dintr-o sumă de adaosuri infinite. Folosind vectorii proprii obținem o serie cu un număr finit de termeni.

Având în vedere diagonalizabilitatea matricei $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ există două cazuri distincte.

Caz de matrice diagonalizabilă

Dacă matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este diagonalizabil înseamnă că are n vectori proprii liniar independenți $\mathbf {t} _{1},\mathbf {t} _{2},\dots ,\mathbf {t} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {t} _ {1}, \ mathbf {t} _ {2}, \ dots, \ mathbf {t} _ {n}}$ ${\ mathbf {t}} _ {1}, {\ mathbf {t}} _ {2}, \ dots, {\ mathbf {t}} _ {n}$ . Prin urmare, putem scrie:

{\begin{matrix}A\mathbf {t} _{1}=\mathbf {t} _{1}\lambda _{1}\\A\mathbf {t} _{2}=\mathbf {t} _{2}\lambda _{2}\\\vdots \\A\mathbf {t} _{n}=\mathbf {t} _{n}\lambda _{n}\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} A \ mathbf {t} _ {1} = \ mathbf {t} _ {1} \ lambda _ {1} \\ A \ mathbf {t} _ {2} = \ mathbf {t} _ {2} \ lambda _ {2} \\\ vdots \\ A \ mathbf {t} _ {n} = \ mathbf {t} _ {n} \ lambda _ {n} \ end {matrix} }}

{\ begin {matrix} A {\ mathbf {t}} _ {1} = {\ mathbf {t}} _ {1} \ lambda _ {1} \\ A {\ mathbf {t}} _ {2} = {\ mathbf {t}} _ {2} \ lambda _ {2} \\\ vdots \\ A {\ mathbf {t}} _ {n} = {\ mathbf {t}} _ {n} \ lambda _ {n} \ end {matrix}}

Cu $\mathbf {t} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {t} _ {i}}$ ${\ mathbf {t}} _ {i}$ vector propriu asociat cu valoarea proprie $\lambda _{i}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ $\ lambda _ {i}$ . Toți vectorii proprii sunt grupați într-o singură matrice:

[{\begin{matrix}A\mathbf {t} _{1}&\dots &A\mathbf {t} _{n}\end{matrix}}]=[{\begin{matrix}\mathbf {t} _{1}\lambda _{1}&\dots &\mathbf {t} _{n}\lambda _{n}\end{matrix}}]

{\ displaystyle [{\ begin {matrix} A \ mathbf {t} _ {1} & \ dots & A \ mathbf {t} _ {n} \ end {matrix}}] = [{\ begin {matrix} \ mathbf {t} _ {1} \ lambda _ {1} & \ dots & \ mathbf {t} _ {n} \ lambda _ {n} \ end {matrix}}]}

[{\ begin {matrix} A {\ mathbf {t}} _ {1} & \ dots & A {\ mathbf {t}} _ {n} \ end {matrix}}] = [{\ begin {matrix} {\ mathbf {t}} _ {1} \ lambda _ {1} & \ dots & {\ mathbf {t}} _ {n} \ lambda _ {n} \ end {matrix}}]

A[{\begin{matrix}\mathbf {t} _{1}&\dots &\mathbf {t} _{n}\end{matrix}}]=[{\begin{matrix}\mathbf {t} _{1}&\dots &\mathbf {t} _{n}\end{matrix}}]{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0&0&\dots \\0&\lambda _{2}&0&0&\dots \\0&0&\lambda _{3}&0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &\lambda _{n}\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle A [{\ begin {matrix} \ mathbf {t} _ {1} & \ dots & \ mathbf {t} _ {n} \ end {matrix}}] = [{\ begin {matrix} \ mathbf {t} _ {1} & \ dots & \ mathbf {t} _ {n} \ end {matrix}} {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & \ lambda _ {2} & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & 0 & \ lambda _ {3} & 0 & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & \ lambda _ {n} \\\ end {bmatrix}}}

A [{\ begin {matrix} {\ mathbf {t}} _ {1} & \ dots & {\ mathbf {t}} _ {n} \ end {matrix}}] = [{\ begin {matrix} { \ mathbf {t}} _ {1} & \ dots & {\ mathbf {t}} _ {n} \ end {matrix}}] {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & \ lambda _ {2} & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & 0 & \ lambda _ {3} & 0 & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & \ lambda _ {n} \ \\ end {bmatrix}}

Setarea matricei formate din vectorii proprii egală cu $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ iar matricea diagonală a valorilor proprii egale cu $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ primesti:

AT=T\Lambda

{\ displaystyle AT = T \ Lambda}

AT = T \ Lambda

Prezentarea matricei $S=T^{-1}$ ${\ displaystyle S = T ^ {- 1}}$ $S = T ^ {{- 1}}$ , invers de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , se obțin următoarele relații:

SAT=\Lambda \qquad A=T\Lambda S\qquad SA=\Lambda S

{\ displaystyle SAT = \ Lambda \ qquad A = T \ Lambda S \ qquad SA = \ Lambda S}

SAT = \ Lambda \ qquad A = T \ Lambda S \ qquad SA = \ Lambda S

Din a doua relație obținem:

A^{k}=(T\Lambda S)^{k}=T\cdot \Lambda \cdot S\cdot T\cdot \Lambda \cdot S\dots =T\Lambda ^{k}S

{\ displaystyle A ^ {k} = (T \ Lambda S) ^ {k} = T \ cdot \ Lambda \ cdot S \ cdot T \ cdot \ Lambda \ cdot S \ dots = T \ Lambda ^ {k} S}

A ^ {k} = (T \ Lambda S) ^ {k} = T \ cdot \ Lambda \ cdot S \ cdot T \ cdot \ Lambda \ cdot S \ dots = T \ Lambda ^ {k} S

Prin urmare:

e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}=T\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Lambda ^{k}}{k!}}\right]S=Te^{\Lambda }S

{\ displaystyle e ^ {A} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {k}} {k!}} = T \ left [\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda ^ {k}} {k!}} \ right] S = Te ^ {\ Lambda} S}

e ^ {{A}} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {k}} {k!}} = T \ left [\ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda ^ {k}} {k!}} \ Right] S = Te ^ {\ Lambda} S

Se calculează $e^{\Lambda }$ ${\ displaystyle e ^ {\ Lambda}}$ $și ^ {\ Lambda}$ :

e^{\Lambda }=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Lambda ^{k}}{k!}}=I+{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0&\dots \\0&\lambda _{2}&0&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &\lambda _{n}\\\end{bmatrix}}{\frac {1}{1!}}+{\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{2}&0&0&\dots \\0&\lambda _{2}^{2}&0&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &\lambda _{n}^{2}\\\end{bmatrix}}{\frac {1}{2!}}+\dots =

{\ displaystyle e ^ {\ Lambda} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda ^ {k}} {k!}} = I + {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & \ lambda _ {2} & 0 & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & \ lambda _ {n} \\\ end {bmatrix}} {\ frac {1} {1!}} + {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} ^ {2} & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & \ lambda _ {2} ^ {2} & 0 & \ dots \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & \ lambda _ {n} ^ {2} \\ \ end {bmatrix}} {\ frac {1} {2!}} + \ dots =}

e ^ {\ Lambda} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda ^ {k}} {k!}} = I + {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & \ lambda _ {2} & 0 & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & \ lambda _ {n} \\\ end {bmatrix}} {\ frac {1} {1!}} + {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} ^ {2} & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & \ lambda _ {2} ^ {2} & 0 & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & \ lambda _ {n} ^ {2} \\\ end {bmatrix}} {\ frac {1} {2!}} + \ dots =

={\begin{bmatrix}1+{\frac {\lambda _{1}}{1!}}+{\frac {\lambda _{1}^{2}}{2!}}+\dots &0&0&\dots \\0&1+{\frac {\lambda _{2}}{1!}}+{\frac {\lambda _{2}^{2}}{2!}}+\dots &0&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1+{\frac {\lambda _{n}}{1!}}+{\frac {\lambda _{n}^{2}}{2!}}+\dots \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{\lambda _{1}}&0&0&\dots \\0&e^{\lambda _{2}}&0&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &e^{\lambda _{n}}\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle = {\ begin {bmatrix} 1 + {\ frac {\ lambda _ {1}} {1!}} + {\ frac {\ lambda _ {1} ^ {2}} {2!}} + \ dots & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & 1 + {\ frac {\ lambda _ {2}} {1!}} + {\ frac {\ lambda _ {2} ^ {2}} {2! }} + \ dots & 0 & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & 1 + {\ frac {\ lambda _ {n}} {1!}} + {\ frac {\ lambda _ {n} ^ {2}} {2!}} + \ Dots \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} e ^ {\ lambda _ {1}} & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & e ^ {\ lambda _ {2}} & 0 & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & e ^ { \ lambda _ {n}} \\\ end {bmatrix}}}

= {\ begin {bmatrix} 1 + {\ frac {\ lambda _ {1}} {1!}} + {\ frac {\ lambda _ {1} ^ {2}} {2!}} + \ dots & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & 1 + {\ frac {\ lambda _ {2}} {1!}} + {\ Frac {\ lambda _ {2} ^ {2}} {2!}} + \ dots & 0 & \ dots \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & 1 + {\ frac {\ lambda _ {n}} {1!}} + {\ frac {\ lambda _ {n} ^ {2}} {2!}} + \ Dots \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} e ^ {{\ lambda _ {1}}} & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & e ^ {{\ lambda _ {2}}} & 0 & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & e ^ {{\ lambda _ {n}}} \\\ end {bmatrix}}

Acum luăm în considerare ultima relație obținută anterior și aplicăm transpunerea:

SA=\Lambda S\Rightarrow (SA)^{T}=(\Lambda S)^{T}\Rightarrow A^{T}S^{T}=S^{T}\Lambda ^{T}\Rightarrow A^{T}S^{T}=S^{T}\Lambda

{\ displaystyle SA = \ Lambda S \ Rightarrow (SA) ^ {T} = (\ Lambda S) ^ {T} \ Rightarrow A ^ {T} S ^ {T} = S ^ {T} \ Lambda ^ {T } \ Rightarrow A ^ {T} S ^ {T} = S ^ {T} \ Lambda}

SA = \ Lambda S \ Rightarrow (SA) ^ {T} = (\ Lambda S) ^ {T} \ Rightarrow A ^ {T} S ^ {T} = S ^ {T} \ Lambda ^ {T} \ Rightarrow A ^ {T} S ^ {T} = S ^ {T} \ Lambda

Prin urmare, putem scrie:

A^{T}[{\begin{matrix}\mathbf {s} _{1}^{T}&\dots &\mathbf {s} _{n}^{T}\end{matrix}}]=[{\begin{matrix}\mathbf {s} _{1}^{T}&\dots &\mathbf {s} _{n}^{T}\end{matrix}}]{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0&0&\dots \\0&\lambda _{2}&0&0&\dots \\0&0&\lambda _{3}&0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &\lambda _{n}\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle A ^ {T} [{\ begin {matrix} \ mathbf {s} _ {1} ^ {T} & \ dots & \ mathbf {s} _ {n} ^ {T} \ end {matrix} }] = [{\ begin {matrix} \ mathbf {s} _ {1} ^ {T} & \ dots & \ mathbf {s} _ {n} ^ {T} \ end {matrix}}] {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & \ lambda _ {2} & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & 0 & \ lambda _ {3} & 0 & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & \ lambda _ {n} \\\ end {bmatrix}}}

A ^ {T} [{\ begin {matrix} {\ mathbf {s}} _ {1} ^ {T} & \ dots & {\ mathbf {s}} _ {n} ^ {T} \ end {matrix }}] = [{\ begin {matrix} {\ mathbf {s}} _ {1} ^ {T} & \ dots & {\ mathbf {s}} _ {n} ^ {T} \ end {matrix} }] {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & \ lambda _ {2} & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & 0 & \ lambda _ { 3} & 0 & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & \ lambda _ {n} \\\ end {bmatrix}}

Prin urmare, se observă că $\mathbf {s} _{n}^{T}$ ${\ displaystyle \ mathbf {s} _ {n} ^ {T}}$ ${\ mathbf {s}} _ {n} ^ {T}$ sunt vectori proprii lăsați ai $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Apoi puteți partiționa matricea $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ pe linii:

S=\left[{\begin{matrix}\mathbf {s} _{1}^{T}\\\mathbf {s} _{2}^{T}\\\vdots \\\mathbf {s} _{n}^{T}\end{matrix}}\right]

{\ displaystyle S = \ left [{\ begin {matrix} \ mathbf {s} _ {1} ^ {T} \\\ mathbf {s} _ {2} ^ {T} \\\ vdots \\\ mathbf {s} _ {n} ^ {T} \ end {matrix}} \ right]}

S = \ left [{\ begin {matrix} {\ mathbf {s}} _ {1} ^ {T} \\ {\ mathbf {s}} _ {2} ^ {T} \\\ vdots \\ { \ mathbf {s}} _ {n} ^ {T} \ end {matrix}} \ right]

În acest fel obținem:

e^{A}=[{\begin{matrix}\mathbf {t} _{1}&\dots &\mathbf {t} _{n}\end{matrix}}]{\begin{bmatrix}e^{\lambda _{1}}&0&\dots \\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &e^{\lambda _{n}}\\\end{bmatrix}}\left[{\begin{matrix}\mathbf {s} _{1}^{T}\\\vdots \\\mathbf {s} _{n}^{T}\end{matrix}}\right]=\mathbf {t} _{1}e^{\lambda _{1}}\mathbf {s} _{1}^{T}+\mathbf {t} _{2}e^{\lambda _{2}}\mathbf {s} _{2}^{T}+\dots +\mathbf {t} _{n}e^{\lambda _{n}}\mathbf {s} _{n}^{T}

{\ displaystyle e ^ {A} = [{\ begin {matrix} \ mathbf {t} _ {1} & \ dots & \ mathbf {t} _ {n} \ end {matrix}}] {\ begin {bmatrix } e ^ {\ lambda _ {1}} & 0 & \ dots \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & \ dots & e ^ {\ lambda _ {n}} \\\ end {bmatrix} } \ left [{\ begin {matrix} \ mathbf {s} _ {1} ^ {T} \\\ vdots \\\ mathbf {s} _ {n} ^ {T} \ end {matrix}} \ right ] = \ mathbf {t} _ {1} e ^ {\ lambda _ {1}} \ mathbf {s} _ {1} ^ {T} + \ mathbf {t} _ {2} e ^ {\ lambda _ {2}} \ mathbf {s} _ {2} ^ {T} + \ dots + \ mathbf {t} _ {n} e ^ {\ lambda _ {n}} \ mathbf {s} _ {n} ^ {T}}

{\ displaystyle e ^ {A} = [{\ begin {matrix} \ mathbf {t} _ {1} & \ dots & \ mathbf {t} _ {n} \ end {matrix}}] {\ begin {bmatrix } e ^ {\ lambda _ {1}} & 0 & \ dots \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & \ dots & e ^ {\ lambda _ {n}} \\\ end {bmatrix} } \ left [{\ begin {matrix} \ mathbf {s} _ {1} ^ {T} \\\ vdots \\\ mathbf {s} _ {n} ^ {T} \ end {matrix}} \ right ] = \ mathbf {t} _ {1} e ^ {\ lambda _ {1}} \ mathbf {s} _ {1} ^ {T} + \ mathbf {t} _ {2} e ^ {\ lambda _ {2}} \ mathbf {s} _ {2} ^ {T} + \ dots + \ mathbf {t} _ {n} e ^ {\ lambda _ {n}} \ mathbf {s} _ {n} ^ {T}}

În concluzie, în cauză $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ să fie diagonalizabile, avem:

e^{A}=\sum _{k=1}^{n}\mathbf {t} _{k}\cdot \mathbf {s} _{k}^{T}\cdot e^{\lambda _{k}}

{\ displaystyle e ^ {A} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mathbf {t} _ {k} \ cdot \ mathbf {s} _ {k} ^ {T} \ cdot e ^ { \ lambda _ {k}}}

e ^ {A} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} {\ mathbf {t}} _ {k} \ cdot {\ mathbf {s}} _ {k} ^ {T} \ cdot și ^ {{\ lambda _ {k}}}

cu $\mathbf {t} _{k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {t} _ {k}}$ ${\ mathbf {t}} _ {k}$ dreapta vector propriu e $\mathbf {s} _{k}^{T}$ ${\ displaystyle \ mathbf {s} _ {k} ^ {T}}$ ${\ mathbf {s}} _ {k} ^ {T}$ vector propriu stâng, ambele asociate cu valoarea proprie $\lambda _{k}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {k}}$ $\ lambda _ {k}$

Cazul lui A nu este diagonalizabil

Același subiect în detaliu: forma canonică a Iordaniei .

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu este diagonalizabil, se folosește forma Jordan . În acest caz avem $A=TJS$ ${\ displaystyle A = TJS}$ $A = TJS$ , cu $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ matrice diagonală bloc:

J={\begin{bmatrix}J_{1}&0&0&\cdots \\0&J_{2}&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\cdots \\0&0&\cdots &J_{k}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} J_ {1} & 0 & 0 & \ cdots \\ 0 & J_ {2} & 0 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ cdots \\ 0 & 0 & \ cdots & J_ {k} \ end {bmatrix}}}

J = {\ begin {bmatrix} J_ {1} & 0 & 0 & \ cdots \\ 0 & J_ {2} & 0 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ cdots \\ 0 & 0 & \ cdots & J_ {k} \ end {bmatrix}}

unde blocul k-este de forma:

J_{k}={\begin{bmatrix}\lambda _{k}&1&0&\cdots \\0&\lambda _{k}&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &1\\0&0&\cdots &\lambda _{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{k}&0&0&\cdots \\0&\lambda _{k}&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{k}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots \\0&0&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &1\\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}=\Lambda _{k}+J_{k0}

{\ displaystyle J_ {k} = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {k} & 1 & 0 & \ cdots \\ 0 & \ lambda _ {k} & 1 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & 1 \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {k} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {k} & 0 & 0 & \ cdots \\ 0 & \ lambda _ {k} & 0 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & 0 \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {k} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ cdots \\ 0 & 0 & 1 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & 1 \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end {bmatrix}} = \ Lambda _ {k} + J_ {k0}}

J_ {k} = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {k} & 1 & 0 & \ cdots \\ 0 & \ lambda _ {k} & 1 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & 1 \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {k} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {k} & 0 & 0 & \ cdots \\ 0 & \ lambda _ { k} & 0 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & 0 \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {k} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ cdots \\ 0 & 0 & 1 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & 1 \\ 0 & 0 & \ dots & 0 \ end {bmatrix}} = \ Lambda _ {k} + J _ {{k0}}

Matricile $J_{k}$ ${\ displaystyle J_ {k}}$ $J_ {k}$ se numesc blocuri Iordania . Folosind procedura urmată în cazul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ diagonalizabil se obține:

e^{A}=Te^{J}S

{\ displaystyle e ^ {A} = Te ^ {J} S}

și ^ {A} = Te ^ {J} S

unde este:

e^{J}={\begin{bmatrix}e^{J_{1}}&0&0&\cdots \\0&e^{J_{2}}&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\cdots \\0&0&\cdots &e^{J_{k}}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle e ^ {J} = {\ begin {bmatrix} e ^ {J_ {1}} & 0 & 0 & \ cdots \\ 0 & e ^ {J_ {2}} & 0 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ cdots \\ 0 & 0 & \ cdots & e ^ {J_ {k}} \ end {bmatrix}}}

e ^ {J} = {\ begin {bmatrix} e ^ {{J_ {1}}} & 0 & 0 & \ cdots \\ 0 & e ^ {{J_ {2}}} & 0 & \ cdots \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ cdots \\ 0 & 0 & \ cdots & e ^ {{J_ {k}}} \ end {bmatrix}}

Rețineți că produsul matricilor $\Lambda _{k}$ ${\ displaystyle \ Lambda _ {k}}$ $\ Lambda _ {k}$ Și $J_{k0}$ ${\ displaystyle J_ {k0}}$ $J _ {{k0}}$ este comutativ. Prin urmare, putem scrie:

e^{J_{k}}=e^{\lambda _{k}I}e^{J_{k0}}

{\ displaystyle e ^ {J_ {k}} = e ^ {\ lambda _ {k} I} e ^ {J_ {k0}}}

e ^ {{J_ {k}}} = e ^ {{\ lambda _ {k} I}} e ^ {{J _ {{k0}}}}

Se calculează acum $e^{J_{k0}}$ ${\ displaystyle e ^ {J_ {k0}}}$ $și ^ {{J _ {{k0}}}}$ :

e^{J_{k0}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {J_{k0}^{k}}{k!}}

{\ displaystyle e ^ {J_ {k0}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {J_ {k0} ^ {k}} {k!}}}

e ^ {{J _ {{k0}}}} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {J _ {{k0}} ^ {k}} {k!}}

Se întâmplă cu ușurință că $J_{k0}^{k}$ ${\ displaystyle J_ {k0} ^ {k}}$ $J _ {{k0}} ^ {k}$ se calculează mișcând diagonala formată de 1 în sus și spre dreapta:

J_{k0}={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\dots \\0&0&1&0&\dots \\0&0&0&1&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &1\\0&0&0&\dots &0\end{bmatrix}}\qquad J_{k0}^{2}={\begin{bmatrix}0&0&1&\dots &0\\0&0&0&1&\vdots \\0&0&0&\dots &\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle J_ {k0} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \ dots \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \ dots \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \ end {bmatrix}} \ qquad J_ {k0} ^ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 & \ dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & \ vdots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \ end {bmatrix}}}

J _ {{k0}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \ dots \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \ dots \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \ end {bmatrix}} \ qquad J _ {{k0}} ^ {2} = {\ begin {bmatrix } 0 & 0 & 1 & \ dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & \ vdots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \ end {bmatrix}}

J_{k0}^{\nu _{k}-1}={\begin{bmatrix}0&0&0&\dots &1\\0&0&0&\dots &0\\0&0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &0\end{bmatrix}}\qquad J_{k0}^{\nu _{k}}={\begin{bmatrix}0&0&0&\dots &0\\0&0&0&\dots &0\\0&0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &0\end{bmatrix}}

{\ displaystyle J_ {k0} ^ {\ nu _ {k} -1} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & \ dots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \ end {bmatrix}} \ qquad J_ {k0} ^ {\ nu _ {k}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \ \\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \ end {bmatrix}}}

J _ {{k0}} ^ {{\ nu _ {k} -1}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & \ dots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \ end {bmatrix}} \ qquad J _ { {k0}} ^ {{\ nu _ {k}}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 \ end {bmatrix}}

Unde este $\nu _{k}$ ${\ displaystyle \ nu _ {k}}$ $\ nu _ {k}$ este mărimea lui $J_{k0}$ ${\ displaystyle J_ {k0}}$ $J _ {{k0}}$ . Pentru puteri mai mari decât $\nu _{k}$ ${\ displaystyle \ nu _ {k}}$ $\ nu _ {k}$ avem matricea nulă .

Prin urmare:

e^{J_{k0}}=\sum _{k=0}^{\nu _{k}-1}{\frac {J_{k0}^{k}}{k!}}

{\ displaystyle e ^ {J_ {k0}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ nu _ {k} -1} {\ frac {J_ {k0} ^ {k}} {k!}}}

e ^ {{J _ {{k0}}}} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{\ nu _ {k} -1}} {\ frac {J _ {{k0}} ^ { k}} {k!}}

În plus:

e^{\lambda _{k}I}={\begin{bmatrix}e^{\lambda _{k}}&0&0&0&\dots \\0&e^{\lambda _{k}}&0&0&\dots \\0&0&e^{\lambda _{k}}&0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &e^{\lambda _{k}}\end{bmatrix}}=e^{\lambda _{k}}I

{\ displaystyle e ^ {\ lambda _ {k} I} = {\ begin {bmatrix} e ^ {\ lambda _ {k}} & 0 & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & e ^ {\ lambda _ {k}} & 0 & 0 & \ dots \ \ 0 & 0 & e ^ {\ lambda _ {k}} & 0 & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & e ^ {\ lambda _ {k}} \ end {bmatrix}} = e ^ {\ lambda _ {k}} I}

{\ displaystyle e ^ {\ lambda _ {k} I} = {\ begin {bmatrix} e ^ {\ lambda _ {k}} & 0 & 0 & 0 & \ dots \\ 0 & e ^ {\ lambda _ {k}} & 0 & 0 & \ dots \ \ 0 & 0 & e ^ {\ lambda _ {k}} & 0 & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dots & e ^ {\ lambda _ {k}} \ end {bmatrix}} = e ^ {\ lambda _ {k}} I}

De aici și blocul k-al lui $e^{J}$ ${\ displaystyle e ^ {J}}$ $și ^ {{J}}$ are următoarea expresie:

e^{J_{k}}=e^{\lambda _{k}I}e^{J_{k0}}=\sum _{k=0}^{\nu _{k}-1}{\frac {J_{k0}^{k}}{k!}}e^{\lambda _{k}}

{\ displaystyle e ^ {J_ {k}} = e ^ {\ lambda _ {k} I} e ^ {J_ {k0}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ nu _ {k} -1 } {\ frac {J_ {k0} ^ {k}} {k!}} e ^ {\ lambda _ {k}}}

e ^ {{J_ {k}}} = e ^ {{\ lambda _ {k} I}} e ^ {{J _ {{k0}}}} = \ sum _ {{k = 0}} ^ { {\ nu _ {k} -1}} {\ frac {J _ {{k0}} ^ {k}} {k!}} și ^ {{\ lambda _ {k}}}

Matricea exponențială este:

e^{A}=[{\begin{matrix}T_{1}&\dots &T_{s}\end{matrix}}]{\begin{bmatrix}e^{J_{1}}&0&\dots \\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &e^{J_{n}}\\\end{bmatrix}}\left[{\begin{matrix}S_{1}^{T}\\\vdots \\S_{s}^{T}\end{matrix}}\right]=\sum _{k=1}^{s}[T_{k}e^{J_{k}}S_{k}^{T}]=\sum _{k=1}^{s}\sum _{i=1}^{\nu _{k}-1}{\frac {T_{k}J_{k0}^{i}S_{k}^{T}}{i!}}e^{\lambda _{k}}

{\ displaystyle e ^ {A} = [{\ begin {matrix} T_ {1} & \ dots & T_ {s} \ end {matrix}}] {\ begin {bmatrix} e ^ {J_ {1}} & 0 & \ dots \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & \ dots & e ^ {J_ {n}} \\\ end {bmatrix}} \ left [{\ begin {matrix} S_ {1} ^ {T} \ \\ vdots \\ S_ {s} ^ {T} \ end {matrix}} \ right] = \ sum _ {k = 1} ^ {s} [T_ {k} e ^ {J_ { k}} S_ {k} ^ {T}] = \ sum _ {k = 1} ^ {s} \ sum _ {i = 1} ^ {\ nu _ {k} -1} {\ frac {T_ { k} J_ {k0} ^ {i} S_ {k} ^ {T}} {i!}} și ^ {\ lambda _ {k}}}

e ^ {A} = [{\ begin {matrix} T_ {1} & \ dots & T_ {s} \ end {matrix}}] {\ begin {bmatrix} e ^ {{J_ {1}}} & 0 & \ dots \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & \ dots & e ^ {{J_ {n}}} \\\ end {bmatrix}} \ left [{\ begin {matrix} S_ {1 } ^ {T} \\\ vdots \\ S_ {s} ^ {T} \ end {matrix}} \ right] = \ sum _ {{k = 1}} ^ {s} [T_ {k} e ^ {{J_ {k}}} S_ {k} ^ {T}] = \ sum _ {{k = 1}} ^ {s} \ sum _ {{i = 1}} ^ {{\ nu _ {k } -1}} {\ frac {T_ {k} J _ {{k0}} ^ {i} S_ {k} ^ {T}} {i!}} E ^ {{\ lambda _ {k}}}

unde este $T_{k}\in \mathbb {R} ^{n\times \nu _{k}}$ ${\ displaystyle T_ {k} \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times \ nu _ {k}}}$ $T_ {k} \ in {\ mathbb {R}} ^ {{n \ times \ nu _ {k}}}$ Și $S_{k}^{T}\in \mathbb {R} ^{\nu _{k}\times n}$ ${\ displaystyle S_ {k} ^ {T} \ in \ mathbb {R} ^ {\ nu _ {k} \ times n}}$ $S_ {k} ^ {T} \ in {\ mathbb {R}} ^ {{\ nu _ {k} \ times n}}$ . Matricea $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ nu este alcătuit din vectorii proprii ai $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Calculul matricei de transformare $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este mai complexă decât în cazul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ diagonalizabil.

Aplicarea la sisteme de ecuații diferențiale

Funcția exponențială a unei matrice este frecvent utilizată pentru rezolvarea sistemelor de ecuații diferențiale . Soluția problemei valorilor inițiale de ordinul întâi:

y'(t)=Ay(t)\qquad y(0)=y_{0}

{\ displaystyle y '(t) = Ay (t) \ qquad y (0) = y_ {0}}

{\ displaystyle y '(t) = Ay (t) \ qquad y (0) = y_ {0}}

in care $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice constantă (adică a coeficienților constanți), este dată de:

y(t)=e^{At}y_{0}

{\ displaystyle y (t) = e ^ {At} y_ {0}}

y (t) = e ^ {{At}} y_ {0}

Se poate folosi și funcția exponențială a unei matrice pentru a studia ecuația neomogenă:

y'(t)=Ay(t)+z(t)\qquad y(0)=y_{0}

{\ displaystyle y '(t) = Ay (t) + z (t) \ qquad y (0) = y_ {0}}

{\ displaystyle y '(t) = Ay (t) + z (t) \ qquad y (0) = y_ {0}}

Pe de altă parte, nu există nicio soluție în formă închisă pentru ecuații de tipul:

y'(t)=A(t)\,y(t)\qquad y(0)=y_{0}

{\ displaystyle y '(t) = A (t) \, y (t) \ qquad y (0) = y_ {0}}

{\ displaystyle y '(t) = A (t) \, y (t) \ qquad y (0) = y_ {0}}

cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu este constantă, totuși este posibil să se găsească o soluție sub forma unei sume infinite.

Bibliografie

( EN ) Bhatia, R., Matrix Analysis , Graduate Texts in Mathematics, vol. 169, Springer, 1997, ISBN 978-0-387-94846-1 .
( EN ) Hermann Weyl, Space Time Matter , Dover, 1952, p. 142, ISBN 0-486-60267-2 .
( EN ) James D. Bjorken și Sidney D. Drell,Mecanica cuantică relativistă , McGraw-Hill, 1964, p. 22 .
(EN) Roger A. Horn și Charles R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press , 1991, ISBN 978-0-521-46713-1 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Matrix Exponential , în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Modul pentru Matrix Exponential , pe math.fullerton.edu. Adus la 11 ianuarie 2015 (arhivat din original la 9 iunie 2007) .
Exercițiu realizat pe forma canonică a lui Jordan ( PDF ), pe mat.uniroma2.it .
Exerciții pe formularul Jordan și pe exponențialul matricial ( PDF ), pe ce.unipr.it .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema