Formula Baker-Campbell-Hausdorff

În matematică , formula lui Baker-Campbell-Hausdorff este soluția:

e^{Z}=e^{X}e^{Y},

{\ displaystyle e ^ {Z} = e ^ {X} e ^ {Y},}

{\ displaystyle e ^ {Z} = e ^ {X} e ^ {Y},}

pentru două dimensiuni $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ fără comutare (de exemplu, matrice pătrate). Această formulă conectează grupurile Lie cu algebre Lie care exprimă logaritmul produsului a două elemente ale grupului Lie ca element algebră Lie în coordonate canonice.

Soluția implică paranteze Lie a elementelor $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ ; scrierea sa, întreruptă în ordinea a treia, este:

Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}([X,[X,Y]]-[Y,[X,Y]])+\ldots

{\ displaystyle Z = X + Y + {\ frac {1} {2}} [X, Y] + {\ frac {1} {12}} ([X, [X, Y]] - [Y, [ X, Y]]) + \ ldots}

Z = X + Y + {\ frac {1} {2}} [X, Y] + {\ frac {1} {12}} ([X, [X, Y]] - [Y, [X, Y ]]) + \ ldots

După cum puteți vedea, în cazul parantezei Lie nimic (grupul Lie abelian ) formula poate fi urmărită înapoi la formula obișnuită pentru exponențiala dintre numere; termenii ulteriori implică comutatoare din ce în ce mai imbricate.

Această formulă poartă numele lui Henry Frederick Baker ^[1] , John Edward Campbell ^[2] și Felix Hausdorff ^[3] .

Notă

^ H. Baker, Proc Soc Lond Math (1) 34 (1902) 347-360; ibid (1) 35 (1903) 333–374; ibid (Ser 2) 3 (1905) 24–47.
^ H. Poincare , Compt Rend Acad Sci Paris 128 (1899) 1065-1069; Camb Philos Trans 18 (1899) 220-255.
^ F. Hausdorff, "Die in der symbolische Exponentialformel Gruppentheorie", Ber Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19-48.

Bibliografie

H. Baker, Proc Soc Lond Math (1) 34 (1902) 347-360; ibid (1) 35 (1903) 333–374; ibid (Ser 2) 3 (1905) 24–47.
(EN) Yu.A. Bakhturin, formula Campbell-Hausdorff , în Encyclopedia of Mathematics , Springer and the European Mathematical Society, 2002.
J. Campbell, Proc Soc Lond Math 28 (1897) 381-390; ibid 29 (1898) 14–32.
L. Corwin și FP Greenleaf, Reprezentarea grupurilor nilpotente de minciuni și aplicațiile lor, Partea 1: Teorie de bază și exemple, Cambridge University Press , New York, 1990, ISBN 0-521-36034-X .
Eugene Borisovich Dynkin , Calculul coeficienților în formula Campbell-Hausdorff, în Doklady Akademii Nauk SSSR , vol. 57, 1947, pp. 323-326.
Brian C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras și Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9
F. Hausdorff, "Die in der symbolische Exponentialformel Gruppentheorie" Ber Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19-48.
H. Kleinert , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, World Scientific (Singapore, 2006) (disponibil și online )
W. Magnus , Comm While Appl Math VII (1954) 649-673.
W. Miller, Symmetry Groups and their Applications, Academic Press , New York, 1972, pp 159-161. ISBN 0-12-497460-0
H. Poincare , Compt Rend Acad Sci Paris 128 (1899) 1065-1069; Camb Philos Trans 18 (1899) 220-255.
MW Reinsch, „ O expresie simplă pentru termenii din seria Baker-Campbell-Hausdorff ”. Jou Math Phys, 41 (4): 2434-2442, (2000). DOI : 10.1063 / 1.533250
W. Rossmann, Grupuri de minciuni: o introducere prin grupuri liniare. Oxford University Press, 2002.
Sagle AA RE & Walde, „Introduction to Lie Groups and Lie Algebras”, Academic Press, New York, 1973. ISBN 0-12-614550-4 .
J.-P. Serre , algebre Lie și grupuri Lie, Benjamin, 1965.

Elemente conexe

linkuri externe

CK Zachos , Note pentru pătuț despre expansiunile CBH
Pagina MathWorld de pe mathworld.wolfram.com.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] H. Baker, Proc Soc Lond Math (1) 34 (1902) 347-360; ibid (1) 35 (1903) 333–374; ibid (Ser 2) 3 (1905) 24–47.

[2] H. Poincare , Compt Rend Acad Sci Paris 128 (1899) 1065-1069; Camb Philos Trans 18 (1899) 220-255.

[hausdorff-3] F. Hausdorff, "Die in der symbolische Exponentialformel Gruppentheorie", Ber Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19-48.

[1]

[2]

[3]