Teorema lui Schur-Horn

În matematică , în special în algebra liniară , teorema Schur-Horn caracterizează diagonala unei matrice hermitiene cu valori proprii date.

Premisă

O precomandă este definită pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Lasa-i sa fie $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) ^ {T}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) ^ {T}}$ Și $\mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{n})^{T}\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} = (y_ {1}, \ dots, y_ {n}) ^ {T} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} = (y_ {1}, \ dots, y_ {n}) ^ {T} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ , Eu spun asta $\mathbf {x} \succeq \mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ succeq \ mathbf {y}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ succeq \ mathbf {y}}$ dacă, presupunând că:

x_{i_{1}}\leq \dots \leq x_{i_{n}}

{\ displaystyle x_ {i_ {1}} \ leq \ dots \ leq x_ {i_ {n}}}

{\ displaystyle x_ {i_ {1}} \ leq \ dots \ leq x_ {i_ {n}}}

Și

y_{j_{1}}\leq \dots \leq y_{j_{n}}

{\ displaystyle y_ {j_ {1}} \ leq \ dots \ leq y_ {j_ {n}}}

{\ displaystyle y_ {j_ {1}} \ leq \ dots \ leq y_ {j_ {n}}}

Avem:

x_{i_{1}}\geq y_{j_{1}}

{\ displaystyle x_ {i_ {1}} \ geq y_ {j_ {1}}}

{\ displaystyle x_ {i_ {1}} \ geq y_ {j_ {1}}}

x_{i_{1}}+x_{i_{2}}\geq y_{j_{1}}+y_{j_{2}}

{\ displaystyle x_ {i_ {1}} + x_ {i_ {2}} \ geq y_ {j_ {1}} + y_ {j_ {2}}}

{\ displaystyle x_ {i_ {1}} + x_ {i_ {2}} \ geq y_ {j_ {1}} + y_ {j_ {2}}}

\dots

{\ displaystyle \ dots}

\ dots

\sum _{k=1}^{n}x_{i_{k}}\geq \sum _{k=1}^{n}y_{j_{k}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {i_ {k}} \ geq \ sum _ {k = 1} ^ {n} y_ {j_ {k}}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {i_ {k}} \ geq \ sum _ {k = 1} ^ {n} y_ {j_ {k}}}

.

Afirmație

Lasa-i sa fie $\mathbf {d} =(d_{1},\dots ,d_{n})^{T}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d} = (d_ {1}, \ dots, d_ {n}) ^ {T}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d} = (d_ {1}, \ dots, d_ {n}) ^ {T}}$ Și $\mathbf {v} =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = (\ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n}) ^ {T} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = (\ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n}) ^ {T} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ astfel încât $\mathbf {d} \succeq \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d} \ succeq \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d} \ succeq \ mathbf {v}}$ . Apoi, următoarele două fapte echivalente sunt valabile:

Există o matrice simetrică reală $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu diagonala $\mathbf {d}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$ ${\ mathbf {d}}$ și valori proprii $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ ;
Există o matrice ortogonală reală $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ astfel încât, a spus $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ matricea diagonală a valorilor proprii $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ , $Q\Lambda Q^{T}$ ${\ displaystyle Q \ Lambda Q ^ {T}}$ ${\ displaystyle Q \ Lambda Q ^ {T}}$ are ca diagonală $\mathbf {d}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$ ${\ mathbf {d}}$ .

Bibliografie

(EN) Horn, A. „Matrici dublu stochastice și diagonala unei matrici de rotație”. Amer. J. Math. 76 , 620-630, 1954.
( EN ) Lieb, EH „Principiul variațional pentru sistemele cu multe fermiuni”. Fizic. Rev. Lett. 46 , 457-459, 1981.

Elemente conexe

Algoritmul Chan-Li , o dovadă constructivă a teoremei.
Descompunerea unei matrice
Teoria matricei

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Teorema lui Horn , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica