Teoria matricei
Teoria matricelor este o ramură a matematicii care își concentrează studiile pe matrice . Născut inițial ca o ramură secundară a algebrei liniare , a crescut pentru a-și dobândi propria demnitate și pe subiecte precum teoria graficelor , algebra , combinatorica și chiar statisticile .
Istorie și prezentare generală
Termenul matrice a fost folosit pentru prima dată de Sylvester pentru a indica o serie de numere. În 1855, Arthur Cayley a folosit termenul de matrice pentru a reprezenta o transformare liniară . Această perioadă a fost considerată ca începutul teoriei algebrelor liniare și a matricii. Studiile spațiilor vectoriale pe câmpuri cu dimensiuni finite , o ramură a algebrei liniare care este utilă în teoria codurilor , a condus în mod natural la studiul și utilizarea matricilor pe câmpuri cu dimensiuni infinite în teoria codurilor.
Modulul este introdus ca o generalizare semnificativă a spațiului vectorial : de fapt poate fi considerat ca atare pe inele . Aceasta conduce la studiul matricilor pe inele. Teoria matricilor din această zonă nu este întotdeauna privită ca o ramură a algebrei liniare. Printre rezultatele raportate în secțiunea teoremelor utile , teorema Hamilton-Cayley este valabilă dacă inelul subiacent este comutativ, dar alte teoreme sunt valabile numai în numere complexe sau numere reale .
Pătratele magice și pătratele latine , două ramuri antice ale matematicii recreative, au fost recent formalizate folosind teoria matricelor. Legătura dintre pătratul latin și teoria codurilor ne arată că formalizarea efectuată în ultimii timpuri nu poate fi rezultatul unei simple coincidențe. Dacă aceste două ramuri ale matematicii pot fi cumva unite, atunci putem urmări originea teoriei matricei până în 650 î.Hr.
Matricea Payoff în teoria jocurilor, un alt domeniu al cărui John von Neumann a fost unul dintre primii cercetători, ar putea fi considerată prima utilizare a matricilor în economie .
Algoritmul simplex , o tehnică care implică operații între matrici mari, este utilizat pentru a rezolva probleme de cercetare operațională , un domeniu puternic legat de economie. Există alte aplicații ale matricilor în teoria graficelor. De exemplu, matricea de adiacență constituie o anumită structură de date utilizată în mod obișnuit în reprezentarea graficului.
Un alt instrument important utilizat în statistici este matricea de corelație .
Grafica computerizată implică și calcule matriciale complexe. De exemplu, căutarea unui mod de a minimiza memoria necesară pentru o calitate grafică mai bună.
Pentru optimizarea problemelor care implică funcții ale mai multor variabile reale, se folosesc matrici definitive pozitive pentru a căuta maxime și minime .
Există, de asemenea, utilizări practice ale matricilor în inele arbitrare. În special, matricile din inelele polinomiale sunt utilizate în teoria controlului .
Pe partea matematicii pure, matricea inelului este capabilă să ofere un câmp deschis bogat pentru supoziții matematice, printre alte utilizări. Matricile pătrate joacă un rol special, prin faptul că n × n matricile cu n fix au mai multe proprietăți de închidere .
Mai mult decât atât, din punct de vedere matematic pur, în n × n matrici, există în mod natural rânduri și coloane care fac matricea de fapt , de dimensiune n × n. Dacă o matrice poate fi redusă la forma sa cea mai simplă atunci când numărul inițial de coloane nu era egal cu n și numărul inițial de rânduri nu era egal cu n, atunci matricea nu este pătrată sau n × n ca dimensiune.
Teoreme utile
- Teorema Hamilton-Cayley
- Descompunerea Iordaniei
- Descompunerea Schur
- Descompunerea la valori singulare
Bibliografie
- (EN) Robert A. Beezer, Un prim curs de algebră liniară , 2004. Accesat la 10 decembrie 2011.
- ( EN ) Jim Hefferon, Algebra liniară ( PDF ). Adus la 10 decembrie 2011 .
Elemente conexe
- Glosar matricial . Această listă este o sursă bogată de informații și linkuri despre o mare varietate de matrice utilizate în matematică și inginerie.
linkuri externe
- A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory , la darkwing.uoregon.edu . Adus la 28 martie 2008 (arhivat din original la 10 septembrie 2012) .
