Normalizare (matematică)

În matematică, normalizarea înseamnă procedura de împărțire a tuturor termenilor unei expresii la același factor, astfel încât expresia rezultată să aibă o anumită normă egală cu 1.

Normalizarea într-un spațiu vectorial

Într-un spațiu vectorial cu un produs intern și în mod normal procedura care, dat fiind un vector, îl determină să aibă o normă unitară se numește normalizare.

O situație obișnuită în care se folosește această procedură este în construirea unei baze ortonormale (sau a unui sistem ortonormal, fiul) a spațiului vectorial. Să presupunem că suntem într-un spațiu vectorial de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și să cunoască deja o bază completă de vectori care sunt ortogonali între ei; adică suntem în cazul în care $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ vectori componenți ai mulțimii

B_{O}\ ={\big \{}b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}{\big \}}

{\ displaystyle B_ {O} \ = {\ big \ {} b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n} {\ big \}}}

{\ displaystyle B_ {O} \ = {\ big \ {} b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n} {\ big \}}}

constituie o bază ortogonală .

Pentru a obține o bază ortonormală, luați fiecare dintre acestea individual $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ vectori și împărțiți fiecare la valoarea normei sale (rețineți că aceasta este o împărțire la un scalar, deoarece norma unui vector este un scalar).

u_{i}={\frac {b_{i}}{\left\|b_{i}\right\|}}\ \ \ i=1,2,\dots n,

{\ displaystyle u_ {i} = {\ frac {b_ {i}} {\ left \ | b_ {i} \ right \ |}} \ \ \ i = 1,2, \ dots n,}

{\ displaystyle u_ {i} = {\ frac {b_ {i}} {\ left \ | b_ {i} \ right \ |}} \ \ \ i = 1,2, \ dots n,}

fiecare dintre vectori $u_{i}$ ${\ displaystyle u_ {i}}$ ${\ displaystyle u_ {i}}$ astfel obținut va avea normă unitară (va fi deci și un versor ). Mai mult, acești vectori vor fi ortogonali între ei. Prin urmare întregul

B_{u}\ ={\big \{}u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}{\big \}}

{\ displaystyle B_ {u} \ = {\ big \ {} u_ {1}, u_ {2}, \ ldots, u_ {n} {\ big \}}}

{\ displaystyle B_ {u} \ = {\ big \ {} u_ {1}, u_ {2}, \ ldots, u_ {n} {\ big \}}}

constituie o bază ortonormală a spațiului vector normat.

Şansă

Spațiul vectorial al funcțiilor integrabile ale unei variabile reale are o seminormă ; procedând ca mai sus, este posibil să se normalizeze oricare dintre aceste funcții care au seminorme non-nule.

Mai exact, o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ de variabilă reală, integrabilă, întotdeauna pozitivă (sau întotdeauna negativă), cu integrală diferită de zero,

\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=a>0

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = a> 0}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) dx = a> 0}

poate fi recalificat pentru $la,$ ${\ displaystyle a,}$ ${\ displaystyle a,}$ dând naștere unei funcții de densitate a probabilității :

g(x)={\frac {1}{a}}f(x)\geq 0

{\ displaystyle g (x) = {\ frac {1} {a}} f (x) \ geq 0}

{\ displaystyle g (x) = {\ frac {1} {a}} f (x) \ geq 0}

\int _{-\infty }^{+\infty }g(x)dx={\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1.

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (x) dx = {\ frac {1} {a}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x ) dx = 1.}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (x) dx = {\ frac {1} {a}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x ) dx = 1.}

Acesta este un caz particular al unei măsuri de probabilitate obținute prin normalizarea măsurii unui spațiu măsurabil , cu condiția ca spațiul în sine să aibă o măsură finită și nu zero.

Un exemplu în calculul probabilităților este probabilitatea condiționată de un eveniment B , de probabilitate diferită de zero (este cu siguranță finită): aceasta se obține prin restrângerea spațiului evenimentelor la B și normalizarea măsurii.

Aplicații

Trigonometrie

În trigonometrie , normalizarea este o metodă pentru rezolvarea ecuațiilor liniare în sinus și cosinus , numită și metoda unghiului adăugat . Pentru a rezolva o ecuație ca:

a\sin x+b\cos x+c=0.

{\ displaystyle a \ sin x + b \ cos x + c = 0.}

{\ displaystyle a \ sin x + b \ cos x + c = 0.}

Ambii membri sunt împărțiți de ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}$

Această cantitate este diferită de zero, cu excepția cazului în care este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ acea $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt nule, caz în care ecuația inițială degenerează în cazul banal $c=0.$ ${\ displaystyle c = 0.}$ ${\ displaystyle c = 0.}$

Primesti:

{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin x+{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos x+{\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0.

{\ displaystyle {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ sin x + {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ { 2}}}} \ cos x + {\ frac {c} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} = 0.}

{\ displaystyle {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ sin x + {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ { 2}}}} \ cos x + {\ frac {c} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} = 0.}

Acum observăm că cei doi coeficienți ${\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}$ Și ${\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}$ ambele sunt, în modulo, mai puțin de 1 și, în plus, suma pătratelor lor este 1; de aceea pot fi considerați ca sinus și cosinus cu același unghi $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ . Prin urmare, avem:

\cos \varphi ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

{\ displaystyle \ cos \ varphi = {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}

{\ displaystyle \ cos \ varphi = {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}

\sin \varphi ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

{\ displaystyle \ sin \ varphi = {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}

{\ displaystyle \ sin \ varphi = {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}

Acum ecuația inițială devine:

\cos \varphi \sin x+\sin \varphi \cos x+{\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0,

{\ displaystyle \ cos \ varphi \ sin x + \ sin \ varphi \ cos x + {\ frac {c} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} = 0,}

{\ displaystyle \ cos \ varphi \ sin x + \ sin \ varphi \ cos x + {\ frac {c} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} = 0,}

din care se obține

\sin(x+\varphi )=-{\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

{\ displaystyle \ sin (x + \ varphi) = - {\ frac {c} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}

{\ displaystyle \ sin (x + \ varphi) = - {\ frac {c} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}

Din această ecuație se poate determina acum cu ușurință valoarea unghiului $x+\varphi$ ${\ displaystyle x + \ varphi}$ ${\ displaystyle x + \ varphi}$ , și din moment ce valoarea unghiului $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ se știe, unghiul necunoscut poate fi obținut cu ușurință $X .$ ${\ displaystyle x.}$ ${\ displaystyle x.}$

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică