Reprezentarea interacțiunii

În mecanica cuantică , reprezentarea interacțiunii sau reprezentarea Dirac ( imagine de interacțiune , în engleză ) este o reprezentare a mecanicii cuantice intermediară în raport cu reprezentarea Schrödinger și reprezentarea Heisenberg . În reprezentarea interacțiunii, atât vectorul de stare, cât și operatorii evoluează în timp (deși în moduri diferite).

Definiție

Operatorii și vectorii de stare din reprezentarea interacțiunii sunt conectați printr-o schimbare de bază, dată de o transformare unitară . Pentru a trece la reprezentarea interacțiunii, hamiltonienul (care este același în reprezentările lui Schrödinger și Heisenberg, dacă nu există o dependență explicită de timp) este împărțit în două părți:

H=H_{0}+H_{1}

{\ displaystyle H = H_ {0} + H_ {1}}

{\ displaystyle H = H_ {0} + H_ {1}}

împărțirea în aceste două părți este arbitrară, dar este util să alegeți $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ în așa fel încât să fie exact rezolvabil și să se ia în considerare $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H _ {{1}}$ ca o tulburare.

Dacă Hamiltonianul are o dependență explicită de timp (ca în cazul unui sistem care interacționează cu un câmp electric care variază în timp) este util să introduceți termenii care au dependență de timp în $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H _ {{1}}$ , plecând $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ independent de timp.

Vectorii de stat

Un vector de stare în reprezentarea interacțiunii este definit de ^[1] :

|\psi (t)\rangle _{I}=e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{S}

{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle _ {I} = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} | \ psi (t) \ rangle _ {S}}

{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle _ {I} = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} | \ psi (t) \ rangle _ {S}}

(unde este $|\psi (t)\rangle _{S}$ ${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle _ {S}}$ ${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle _ {S}}$ este vectorul de stat în reprezentarea lui Schrödinger.)

Operatori

Un operator în reprezentarea interacțiunii este definit de:

A_{I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }.

{\ displaystyle A_ {I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} A_ {S} e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar}.}

{\ displaystyle A_ {I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} A_ {S} e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar}.}

Rețineți că $A_{S}$ ${\ displaystyle A_ {S}}$ ${\ displaystyle A_ {S}}$ de obicei nu va depinde de t (așa cum se întâmplă pentru toți operatorii din reprezentarea Schrödinger), cu excepția cazului în care există o dependență explicită de timp.

Operator hamiltonian

Pentru operator $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ Reprezentările lui Schrödinger și cele ale interacțiunii coincid:

H_{0,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{0,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=H_{0,S}

{\ displaystyle H_ {0, I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} H_ {0, S} e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar} = H_ {0, S}}

{\ displaystyle H_ {0, I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} H_ {0, S} e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar} = H_ {0, S}}

(acest lucru poate fi dovedit folosind faptul că operatorii comută între ei). Acest operator poate fi apelat apoi $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ fără ambiguitate.

Pentru tulburatul hamiltonian $H_{1,I}$ ${\ displaystyle H_ {1, I}}$ ${\ displaystyle H_ {1, I}}$ , avem:

H_{1,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{1,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }

{\ displaystyle H_ {1, I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} H_ {1, S} e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar}}

{\ displaystyle H_ {1, I} (t) = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} H_ {1, S} e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar}}

unde Hamiltonianul perturbat în reprezentarea interacțiunii devine dependent de timp (cu excepția cazului în care $[H_{1,s},H_{0,s}]=0$ ${\ displaystyle [H_ {1, s}, H_ {0, s}] = 0}$ ${\ displaystyle [H_ {1, s}, H_ {0, s}] = 0}$ ).

De asemenea, este posibil să se obțină reprezentarea interacțiunii pentru un hamiltonian dependent de timp $H_{0,S}(t)$ ${\ displaystyle H_ {0, S} (t)}$ ${\ displaystyle H_ {0, S} (t)}$ , dar exponențialele trebuie înlocuite cu operatorii de evoluție unitară a timpului corespunzători dați de $H_{0,S}(t)$ ${\ displaystyle H_ {0, S} (t)}$ ${\ displaystyle H_ {0, S} (t)}$ adică, mai explicit, din integrale cu exponențiale ordonate în T.

Matricea densității

Se poate arăta că matricea densității se transformă în reprezentarea interacțiunii ca orice alt operator. În special sunt $\rho _{I}$ ${\ displaystyle \ rho _ {I}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {I}}$ Și $\rho _{S}$ ${\ displaystyle \ rho _ {S}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {S}}$ respectiv în reprezentarea interacțiunii și în cea a lui Schrödinger. Dacă există o șansă $p_{n}$ ${\ displaystyle p_ {n}}$ $p_n$ a fi în stat $|\psi _{n}\rangle$ ${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}$ , asa de

\rho _{I}(t)=\sum _{n}p_{n}(t)|\psi _{n,I}(t)\rangle \langle \psi _{n,I}(t)|=\sum _{n}p_{n}(t)e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{n,S}(t)\rangle \langle \psi _{n,S}(t)|e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=e^{iH_{0,S}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }

{\ displaystyle \ rho _ {I} (t) = \ sum _ {n} p_ {n} (t) | \ psi _ {n, I} (t) \ rangle \ langle \ psi _ {n, I} (t) | = \ sum _ {n} p_ {n} (t) e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} | \ psi _ {n, S} (t) \ rangle \ langle \ psi _ {n, S} (t) | e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar} = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} \ rho _ {S} (t) e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar}}

{\ displaystyle \ rho _ {I} (t) = \ sum _ {n} p_ {n} (t) | \ psi _ {n, I} (t) \ rangle \ langle \ psi _ {n, I} (t) | = \ sum _ {n} p_ {n} (t) e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} | \ psi _ {n, S} (t) \ rangle \ langle \ psi _ {n, S} (t) | e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar} = e ^ {iH_ {0, S} t / \ hbar} \ rho _ {S} (t) e ^ {- iH_ {0, S} t / \ hbar}}

Ecuații de evoluție a timpului în reprezentarea interacțiunii

Evoluția temporală a stărilor

Transformând ecuația Schrödinger în reprezentarea interacțiunii obținem:

i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t)\rangle =H_{1,I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle .

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} | \ psi _ {I} (t) \ rangle = H_ {1, I} (t) | \ psi _ {I} (t) \ rangle .}

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} | \ psi _ {I} (t) \ rangle = H_ {1, I} (t) | \ psi _ {I} (t) \ rangle .}

Această expresie este cunoscută sub numele de ecuația Schwinger-Tomonaga .

Evoluția în timp a operatorilor

Dacă operatorul $A_{S}$ ${\ displaystyle A_ {S}}$ ${\ displaystyle A_ {S}}$ nu are nicio dependență explicită de timp, deci evoluția timpului pentru operatorul corespunzător $A_{I}(t)$ ${\ displaystyle A_ {I} (t)}$ ${\ displaystyle A_ {I} (t)}$ este dat de:

i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{I}(t)=\left[A_{I}(t),H_{0}\right].\;

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} A_ {I} (t) = \ left [A_ {I} (t), H_ {0} \ right]. \;}

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} A_ {I} (t) = \ left [A_ {I} (t), H_ {0} \ right]. \;}

în reprezentarea interacțiunii operatorii evoluează în timp ca în reprezentarea Heisenberg cu Hamiltonianul $H'=H_{0}$ ${\ displaystyle H '= H_ {0}}$ ${\ displaystyle H '= H_ {0}}$ .

Evoluția în timp a matricei de densitate

Transformând ecuația Schwinger-Tomonaga în limbajul matricei densității (sau transformând echivalent ecuația Von Neumann în reprezentarea interacțiunii obținem:

i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{I}(t)=\left[H_{1,I}(t),\rho _{I}(t)\right].

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} \ rho _ {I} (t) = \ left [H_ {1, I} (t), \ rho _ {I} (t) \ right ].}

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} \ rho _ {I} (t) = \ left [H_ {1, I} (t), \ rho _ {I} (t) \ right ].}

Utilizarea reprezentării interacțiunii

Scopul reprezentării interacțiunii este de a descărca toată dependența de timp datorată lui H ₀ de operatori, lăsând doar H _{1, I} pentru a determina evoluția în timp a kets-urilor de stare.

Reprezentarea interacțiunii este convenabilă atunci când luăm în considerare efectele unui termen de interacțiune mic, H _{1, S} , care se adaugă hamiltonienului unui sistem solvabil analitic sau ale cărui soluții, H _{0, S sunt cunoscute} . Trecând la reprezentarea interacțiunii, este posibil să se utilizeze teoria perturbațiilor dependente de timp pentru a găsi efectele lui H _{1, I.}

Notă

^(EN) The Interaction Picture , note ale lecțiilor de la Universitatea din New York

Bibliografie

John S. Townsend, O abordare modernă a mecanicii cuantice, ediția a II-a. , Sausalito, CA, University Science Books, 2000, ISBN 1-891389-13-0 .
Jun John Sakurai, 2.2 , în Mecanica cuantică modernă , Zanichelli, februarie 1990, ISBN 88-08-12706-0 .

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] (EN) The Interaction Picture , note ale lecțiilor de la Universitatea din New York

[1]

V · D · M Mecanica cuantică
Formalismul matematic	Notare Bra-ket · Hilbert Space · postulate ale mecanicii cuantice · utilizator comun · Interferență (fizică)
Fundamente și principii	Principiul incertitudinii Heisenberg · Principiul complementarității · Funcția de undă · prăbușirea funcției de undă · Interpretarea de la Copenhaga · Spin · Vechea teorie cuantică · Interpretarea lui Bohm
Operatori	Pulsul Operator · Poziția operatorului · Operatorul Hamiltoniene · Operator momentului cinetic · densitatea operatorului
Formulări	Mecanica undelor · Mecanica matricilor · Integrală pe căi
Ecuații	Ecuația Dirac · ecuația Klein-Gordon · ecuația Pauli · ecuația Schrödinger
Paradoxuri	Pisica lui Schrödinger · Paradoxul EPR · Cuanticul sinuciderii