Operatorul de traducere spațială în mecanica cuantică este un operator care acționează asupra unei stări a poziției particulei și o transformă într-o altă stare a poziției.
Descriere
Să luăm în considerare o particulă cuantică care se află într-o stare bine localizată în sensul probabilității în jurul poziției {\ displaystyle {\ vec {x}} '} 
și fie {\ displaystyle | {\ vec {x}} '\ rangle} 
vectorul propriu reprezentând statul în cauză. Vrem să realizăm o transformare care să traducă această stare într-un alt stat bine localizat în poziție{\ displaystyle {\ vec {x}} '+ d {\ vec {x}}'} 
. Pentru a face acest lucru, introducem un operator: operatorul de traducere spațială infinitesimal {\ displaystyle T (d {\ vec {x}} ')} 
care acționează în așa fel:
- (1) {\ displaystyle T (d {\ vec {x}} ') | {\ vec {x}}' \ rangle = | {\ vec {x}} '+ d {\ vec {x}}' \ rangle}
Considerăm un stat arbitrar {\ displaystyle | \ alpha \ rangle} 
, acțiunea operatorului de traducere infinitesimală asupra acestei stări este de a o traduce printr-o cantitate {\ displaystyle d {\ vec {x}} '} 
:
- (2) {\ displaystyle T (d {\ vec {x}} ') | \ alpha \ rangle = T (d {\ vec {x}}') \ int d ^ {3} x '\, | {\ vec {x }} '\ rangle \ langle {\ vec {x}}' | \ alpha \ rangle = \ int d ^ {3} x '\, | {\ vec {x}}' + d {\ vec {x}} '\ rangle \ langle {\ vec {x}}' | \ alpha \ rangle = \ int d ^ {3} x '\, | {\ vec {x}}' \ rangle \ langle {\ vec {x}} '-d {\ vec {x}}' | \ alpha \ rangle}
Să vedem ce proprietate trebuie să aibă operatorul de traducere infinitesimal. În primul rând, statul {\ displaystyle | \ alpha \ rangle} trebuie normalizat la 1, deci:
- {\ displaystyle \ langle \ alpha | \ alpha \ rangle = \ langle \ alpha | T ^ {\ dagger} (d {\ vec {x}} ') T (d {\ vec {x}}') | \ alpha \ rangle = 1}
iar acest lucru implică faptul că
- {\ displaystyle T ^ {\ dagger} (d {\ vec {x}} ') T (d {\ vec {x}}') = 1}
adică operatorul de traducere infinitesimal trebuie să fie unitar . De asemenea pentru {\ displaystyle d {\ vec {x}} '\ to 0} 
operatorul nostru trebuie să efectueze o transformare unitară, adică trebuie să se reducă la operatorul de identitate. În cele din urmă, aplicarea ulterioară a operatorului de două ori, adică executarea a două traduceri infinitezimale consecutive, trebuie să ducă la o traducere sumă:
- {\ displaystyle T (d {\ vec {x}} ') T (d {\ vec {x}}' ') = T (d {\ vec {x}}' + d {\ vec {x}} ' ')}
Aceste proprietăți conduc la definirea operatorului de traducere infinitesimal:
- (3) {\ displaystyle T (d {\ vec {x}} ') = Ii {\ vec {K}} \ cdot d {\ vec {x}}'}
unde I este operatorul de identitate și {\ displaystyle {\ vec {K}} = (K_ {x}, K_ {y}, K_ {z})} 
este generatorul de traduceri spațiale, deoarece identitatea trebuie să fie valabilă și:
- {\ displaystyle T ^ {\ dagger} (d {\ vec {x}} ') T (d {\ vec {x}}') = \ left (I + i {\ vec {K}} ^ {\ dagger } \ cdot d {\ vec {x}} '\ right) \ left (Ii {\ vec {K}} \ cdot d {\ vec {x}}' \ right) = Ii ({\ vec {K}} - {\ vec {K}} ^ {\ dagger}) d {\ vec {x}} '+ O (d {\ vec {x}}' ^ {2}) \ simeq I}
Generatorul este Hermitian:
- {\ displaystyle {\ vec {K}} = {\ vec {K}} ^ {\ dagger}}
și asta dovedește, de asemenea, că operatorul {\ displaystyle T (d {\ vec {x}} ')} este un operator unitar. Mai mult, se poate verifica că două traduceri succesive:
- {\ displaystyle T (d {\ vec {x}} '') T (d {\ vec {x}} ') = \ left (Ii {\ vec {K}} \ cdot d {\ vec {x}} '' \ right) \ left (Ii {\ vec {K}} \ cdot d {\ vec {x}} '\ right) = Ii {\ vec {K}} \ cdot (d {\ vec {x}} '' + d {\ vec {x}} ') = T (d {\ vec {x}}' + d {\ vec {x}} '')}
În plus, este evident că:
- {\ displaystyle \ lim _ {d {\ vec {x}} '\ to 0} T (d {\ vec {x}}') = \ lim _ {d {\ vec {x}} '\ to 0} Ii {\ vec {K}} d {\ vec {x}} '= I}
și, de asemenea, că:
- {\ displaystyle T (-d {\ vec {x}} ') = T ^ {- 1} (d {\ vec {x}}')}
Pentru a vedea care este generatorul traducerilor putem folosi o analogie cu mecanica clasică: adică efectuăm o transformare canonică infinitesimală a coordonatelor generalizate , lăsând impulsurile neschimbate:
- {\ displaystyle {\ vec {X}} = {\ vec {x}} + d {\ vec {x}} \ ,, \, \, \, \, \, {\ vec {P}} = {\ vec {p}}}
Funcția care generează această transformare canonică este:
- {\ displaystyle \ Phi = {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {P}} + {\ vec {p}} \ cdot d {\ vec {x}}}
unde este {\ displaystyle {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {P}}} 
generează o transformare identică. Această funcție generatoare este foarte asemănătoare cu (3), deci putem presupune că {\ displaystyle {\ vec {K}}} 
coincide mai puțin decât un factor constant cu impulsul. Factorul constant în cauză este constanta Planck redusă, deoarece permite operatorului să fie adimensional, deci în cele din urmă (3) spune că operatorul de traducere infinitesimal:
- (4) {\ displaystyle T (d {\ vec {x}} ') = I - {\ frac {i} {\ hbar}} {\ vec {p}} \ cdot d {\ vec {x}}'}
De la o traducere finită {\ displaystyle \ Delta x '} 
care presupunem că este pe axa x poate fi considerat ca produsul N traduceri infinitesimale {\ displaystyle \ Delta x '/ N} 
:
- {\ displaystyle T (\ Delta x ') = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left (1 - {\ frac {ip_ {x} \ Delta x'} {\ hbar N}} \ right) ^ { N} = \ lim _ {N \ to \ infty} e ^ {N \ ln \ left (1 - {\ frac {ip_ {x} \ Delta x '} {\ hbar N}} \ right)} = e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} p_ {x} \ Delta x '}}
Traduceri pe diferite axe
O caracteristică a traducerilor este că navetează traduceri succesive pe diferite axe. Să luăm de exemplu o traducere mai întâi pe axa x și apoi pe axa y :
- {\ displaystyle T_ {y} (\ Delta y ') T_ {x} (\ Delta x') = T (\ Delta x '+ \ Delta y')}
este matematic identic să efectuați o traducere mai întâi pe axa y și apoi pe axa x :
- {\ displaystyle T_ {x} (\ Delta x ') T_ {y} (\ Delta y') = T (\ Delta x '+ \ Delta y')}
adică traducerile pe diferite axe navighează, dezvoltându-se la a doua ordine operatorul de traducere trebuie să fie:
- {\ displaystyle \ left [T_ {x} (\ Delta x '), T_ {y} (\ Delta y') \ right] = \ left [\ left (1 - {\ frac {ip_ {x} \ Delta x '} {\ hbar}} - {\ frac {p_ {x} ^ {2} \ Delta {x'} ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}} + \ dots \ right), \ left (1 - {\ frac {ip_ {y} \ Delta y '} {\ hbar}} - {\ frac {p_ {y} ^ {2} \ Delta y' ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2 }}} + \ dots \ right) \ right] = - {\ frac {1} {\ hbar ^ {2}}} [p_ {x}, p_ {y}] \ Delta x '\ Delta y' + \ puncte = 0}
![{\ displaystyle \ left [T_ {x} (\ Delta x '), T_ {y} (\ Delta y') \ right] = \ left [\ left (1 - {\ frac {ip_ {x} \ Delta x '} {\ hbar}} - {\ frac {p_ {x} ^ {2} \ Delta {x'} ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}} + \ dots \ right), \ left (1 - {\ frac {ip_ {y} \ Delta y '} {\ hbar}} - {\ frac {p_ {y} ^ {2} \ Delta y' ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2 }}} + \ dots \ right) \ right] = - {\ frac {1} {\ hbar ^ {2}}} [p_ {x}, p_ {y}] \ Delta x '\ Delta y' + \ puncte = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61195e6eb4720b99ac0dc160f64acb2f59d14c94)
acest lucru se datorează faptului că componentele comutatorului operatorului de impulsuri :
- {\ displaystyle [p_ {i}, p_ {j}] = 0}
![{\ displaystyle [p_ {i}, p_ {j}] = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d93c2733d70483dcacb72a2cdef2194f5ec835)
iar acestea reprezintă alte relații fundamentale de comutare, care stau și la baza principiului incertitudinii lui Heisenberg . De fapt, întrucât comutarea între operatorul de poziție și operatorul de traducere spațială poate fi ușor verificată, luând în considerare componentele:
- {\ displaystyle - {\ frac {i} {\ hbar}} [x_ {i} p_ {j} -p_ {j} x_ {i}] = \ delta _ {ij}}
![{\ displaystyle - {\ frac {i} {\ hbar}} [x_ {i} p_ {j} -p_ {j} x_ {i}] = \ delta _ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f53993e5b17bec1ca79fa6bb9fc8e5faee6f7026)
Aceasta înseamnă că:
- {\ displaystyle [x_ {i}, p_ {j}] = i \ hbar \ delta _ {ij}}
![{\ displaystyle [x_ {i}, p_ {j}] = i \ hbar \ delta _ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/753921a44bc7d6b8a27297b359760a472e6b7596)
iar acest lucru demonstrează că coordonatele și componentele impulsului de-a lungul acelorași axe nu pot fi măsurate simultan. Cele trei relații:
- {\ displaystyle [x_ {i}, x_ {j}] = 0}
![{\ displaystyle [x_ {i}, x_ {j}] = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b45280670c7743ab3ee83da72806e25b116680)
- {\ displaystyle [p_ {i}, p_ {j}] = 0}
- {\ displaystyle [x_ {i}, p_ {j}] = i \ hbar \ delta _ {ij}}
acestea sunt numite reguli fundamentale de comutare canonică cuantică.
Principiul incertitudinii care este scris în general:
- {\ displaystyle \ langle (\ Delta A) ^ {2} \ rangle \ langle (\ Delta B) ^ {2} \ rangle \ geq {\ frac {1} {4}} | \ langle [A, B] \ rangle | ^ {2}}
![{\ displaystyle \ langle (\ Delta A) ^ {2} \ rangle \ langle (\ Delta B) ^ {2} \ rangle \ geq {\ frac {1} {4}} | \ langle [A, B] \ rangle | ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c571288c5d9580a16d6aee8d3999139935cc9cc1)
pentru poziția și impulsul într-o dimensiune devine:
- {\ displaystyle \ Delta x \ cdot \ Delta p_ {x} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}}
Bibliografie
- Jun J. Sakurai și Jim Napolitano, Mecanica cuantică modernă , Bologna, Zanichelli, 2014, ISBN 978-88-08-26656-9 .
- Lev D. Landau și Evgenij M. Lifšic , Mecanica cuantică, teoria non-relativistă , Roma, Editori Riuniti, 2004, ISBN 978-88-35-95606-8 .
Elemente conexe
