Câmp fermionic

În teoria câmpului cuantic , un câmp fermionic este un câmp cuantic ale cărui cuante sunt fermioni , adică particulele care urmează statisticile Fermi-Dirac . Câmpurile Fermion satisfac regulile canonice de anticomutare în loc de relațiile de comutare canonică ale câmpurilor bosonice .

Exemplul predominant al unui câmp fermionic este câmpul Dirac, care descrie fermioni spin 1/2: electroni, protoni, quarcuri etc. Câmpul Dirac poate fi descris ca un spinor cu patru componente sau ca o pereche de spinori Weyl cu două componente. Spionul 1/2 fermioni Majorana , cum ar fi ipoteticul neutralino , poate fi descris ca un spinor Majorana dependent cu 4 componente sau ca un singur spinor Weyl cu 2 componente. Nu se știe încă dacă neutrino este un fermion Dirac sau Majorana; observarea unei dezintegrări beta duble fără neutrini ar stabili că neutrino este un fermion Majorana.

Proprietăți de bază

Câmpurile fermionice libere (care nu interacționează) satisfac regulile canonice de anticomutare, cele care implică anticomutatori { a , b } = ab + ba și nu comutatori, cum este cazul câmpurilor bosonice și mecanicii cuantice obișnuite. Aceste relații sunt valabile și pentru interacțiunea câmpurilor fermionice în reprezentarea interacțiunii, unde câmpurile evoluează în timp ca și cum ar fi libere și efectele interacțiunii sunt ascunse în evoluția stărilor.

Aceste relații anticomutare impun statisticile Fermi-Dirac pentru cuantele câmpului. Ele conduc, de asemenea, la principiul excluderii Pauli : doi fermioni nu pot ocupa aceeași stare în același timp.

Câmpuri Dirac

Exemplul principal al unui câmp de fermion spin 1/2 este câmpul Dirac (numit după Paul Dirac ) notat cu $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ . Ecuația mișcării unei particule de rotire liberă 1/2 este ecuația Dirac ,

\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0.\,

{\ displaystyle \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m \ right) \ psi (x) = 0. \,}

{\ displaystyle \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m \ right) \ psi (x) = 0. \,}

unde $\gamma ^{\mu }$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}$ sunt gama Dirac și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este masa. Cele mai simple soluții posibile ale acestei ecuații sunt undele plane, $\psi _{1}(x)=u(p)e^{-ip.x}\,$ ${\ displaystyle \ psi _ {1} (x) = u (p) e ^ {- ip.x} \,}$ ${\ displaystyle \ psi _ {1} (x) = u (p) e ^ {- ip.x} \,}$ Și $\psi _{2}(x)=v(p)e^{ip.x}\,$ ${\ displaystyle \ psi _ {2} (x) = v (p) e ^ {ip.x} \,}$ ${\ displaystyle \ psi _ {2} (x) = v (p) e ^ {ip.x} \,}$ . Aceste unde plane formează o bază, care permite dezvoltarea $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ în felul următor,

\psi (x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\mathbf {p} }^{s}u^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }v^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,

{\ displaystyle \ psi (x) = \ int {\ frac {d ^ {3} p} {(2 \ pi) ^ {3}}} {\ frac {1} {\ sqrt {2E_ {p}}} } \ sum _ {s} \ left (a _ {\ mathbf {p}} ^ {s} u ^ {s} (p) e ^ {- ip \ cdot x} + b _ {\ mathbf {p}} ^ {s \ dagger} v ^ {s} (p) e ^ {ip \ cdot x} \ right). \,}

{\ displaystyle \ psi (x) = \ int {\ frac {d ^ {3} p} {(2 \ pi) ^ {3}}} {\ frac {1} {\ sqrt {2E_ {p}}} } \ sum _ {s} \ left (a _ {\ mathbf {p}} ^ {s} u ^ {s} (p) e ^ {- ip \ cdot x} + b _ {\ mathbf {p}} ^ {s \ dagger} v ^ {s} (p) e ^ {ip \ cdot x} \ right). \,}

u și v sunt spinori etichetați prin spin, s . Pentru electron (spin 1/2) s = +1/2 sau s = −1 / 2. Factorul de energie este o consecință a unei măsuri invariante a lui Lorentz. În a doua cuantificare , $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ este promovat la operator, deci coeficienții modurilor sale Fourier trebuie să fie operatori. Prin urmare, $a_{\mathbf {p} }^{s}$ ${\ displaystyle a _ {\ mathbf {p}} ^ {s}}$ ${\ displaystyle a _ {\ mathbf {p}} ^ {s}}$ Și $b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }$ ${\ displaystyle b _ {\ mathbf {p}} ^ {s \ dagger}}$ ${\ displaystyle b _ {\ mathbf {p}} ^ {s \ dagger}}$ sunt operatori. Proprietățile acestor operatori pot fi derivate din proprietățile câmpului. $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ Și $\psi (y)^{\dagger }$ ${\ displaystyle \ psi (y) ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle \ psi (y) ^ {\ dagger}}$ satisfac relațiile anti-comutare:

\left\{\psi _{a}(\mathbf {x} ),\psi _{b}^{\dagger }(\mathbf {y} )\right\}=\delta ^{(3)}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta _{ab},

{\ displaystyle \ left \ {\ psi _ {a} (\ mathbf {x}), \ psi _ {b} ^ {\ dagger} (\ mathbf {y}) \ right \} = \ delta ^ {(3 )} (\ mathbf {x} - \ mathbf {y}) \ delta _ {ab},}

{\ displaystyle \ left \ {\ psi _ {a} (\ mathbf {x}), \ psi _ {b} ^ {\ dagger} (\ mathbf {y}) \ right \} = \ delta ^ {(3 )} (\ mathbf {x} - \ mathbf {y}) \ delta _ {ab},}

unde a și b sunt indici spinori. Este necesară o relație anti-comutație pentru a face acești operatori compatibili cu statisticile Fermi-Dirac. Din anticomutarea $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ Și $\psi (y)$ ${\ displaystyle \ psi (y)}$ ${\ displaystyle \ psi (y)}$ , se calculează coeficienții:

\left\{a_{\mathbf {p} }^{r},a_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=\left\{b_{\mathbf {p} }^{r},b_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\delta ^{rs}.

{\ displaystyle \ left \ {a _ {\ mathbf {p}} ^ {r}, a _ {\ mathbf {q}} ^ {s \ dagger} \ right \} = \ left \ {b _ {\ mathbf {p}} ^ {r}, b _ {\ mathbf {q}} ^ {s \ dagger} \ right \} = (2 \ pi) ^ {3} \ delta ^ {3} (\ mathbf {p} - \ mathbf {q}) \ delta ^ {rs}.}

{\ displaystyle \ left \ {a _ {\ mathbf {p}} ^ {r}, a _ {\ mathbf {q}} ^ {s \ dagger} \ right \} = \ left \ {b _ {\ mathbf {p}} ^ {r}, b _ {\ mathbf {q}} ^ {s \ dagger} \ right \} = (2 \ pi) ^ {3} \ delta ^ {3} (\ mathbf {p} - \ mathbf {q}) \ delta ^ {rs}.}

În mod similar cu operatorii de creație și distrugere non-relativistă și comutatorii lor, aceste algebre conduc la interpretarea fizică care $a_{\mathbf {p} }^{s\dagger }$ ${\ displaystyle a _ {\ mathbf {p}} ^ {s \ dagger}}$ ${\ displaystyle a _ {\ mathbf {p}} ^ {s \ dagger}}$ creează un fermion al momentului p și spin s, e $b_{\mathbf {q} }^{r\dagger }$ ${\ displaystyle b _ {\ mathbf {q}} ^ {r \ dagger}}$ ${\ displaystyle b _ {\ mathbf {q}} ^ {r \ dagger}}$ creează un antifermion al momentului q și spinului r . Domeniul general $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ acum este văzut ca o sumă ponderată (de factorul energetic) pe toate rotirile și momentele posibile pentru a crea fermioni și antifermioni. Câmpul său conjugat, ${\overline {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}$ , este opusul, o sumă ponderată pe toate rotirile și momentele posibile pentru a distruge fermionii și antifermionii.

După ce am înțeles modurile de câmp și am definit câmpul conjugat, este posibil să construim cantități invariante Lorentz pentru câmpurile fermionice. Cel mai simplu este ${\overline {\psi }}\psi$ ${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} \ psi}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} \ psi}$ . Acest lucru clarifică motivul alegerii ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}$ . Acest lucru se datorează faptului că transformarea generală Lorentz a $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ deci cantitatea nu este unitară $\psi ^{\dagger }\psi$ ${\ displaystyle \ psi ^ {\ dagger} \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi ^ {\ dagger} \ psi}$ nu ar fi invariant, de unde includerea $\gamma ^{0}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {0}}$ servește pentru a corecta acest lucru. Cealaltă cantitate invariantă de Lorentz posibilă, până la o conjugare generală, construibilă din câmpuri fermionice este ${\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi$ ${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi}$ .

Deoarece combinațiile liniare ale acestor cantități sunt, de asemenea, invarianți Lorentz, acest lucru duce în mod natural la densitatea lagrangiană a câmpului Dirac datorită cerinței ca ecuațiile Euler-Lagrange ale sistemului să dea ecuația Dirac.

{\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {D} = {\ overline {\ psi}} \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m \ right) \ psi}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {D} = {\ overline {\ psi}} \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m \ right) \ psi}

Această expresie are indicii săi eliminați. Când este reintrodus, expresia completă este

{\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}_{a}\left(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab}\right)\psi _{b}\,

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {D} = {\ overline {\ psi}} _ {a} \ left (i \ gamma _ {ab} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} - m \ mathbb {I} _ {ab} \ right) \ psi _ {b} \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {D} = {\ overline {\ psi}} _ {a} \ left (i \ gamma _ {ab} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} - m \ mathbb {I} _ {ab} \ right) \ psi _ {b} \,}

Densitatea hamiltoniană ( energia ) poate fi construită chiar înainte ca momentul a conjugat canonic să fie definit $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ , numit $\Pi (x):$ ${\ displaystyle \ Pi (x):}$ ${\ displaystyle \ Pi (x):}$

\Pi \ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}_{D}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}=i\psi ^{\dagger }\,.

{\ displaystyle \ Pi \ {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} _ {D}} {\ partial (\ partial _ {0} \ psi)}} = i \ psi ^ {\ dagger} \,.}

{\ displaystyle \ Pi \ {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} _ {D}} {\ partial (\ partial _ {0} \ psi)}} = i \ psi ^ {\ dagger} \,.}

Cu acea definiție a $\Pi$ ${\ displaystyle \ Pi}$ $\ Pi$ , densitatea hamiltoniană este:

{\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {D} = {\ overline {\ psi}} \ left [-i {\ vec {\ gamma}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} + m \ right ] \ psi \ ,,}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {D} = {\ overline {\ psi}} \ left [-i {\ vec {\ gamma}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} + m \ right ] \ psi \ ,,}

unde este ${\vec {\nabla }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}$ este gradientul obișnuit în ceea ce privește coordonatele spațiale și ${\vec {\gamma }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ gamma}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ gamma}}}$ este un vector de matrice $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ spaţiu. Este surprinzător faptul că densitatea hamiltoniană nu depinde de derivata în timp a $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ , direct, dar expresia este corectă.

Având în vedere expresia $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ putem construi propagatorul Feynman pentru câmpul fermion:

D_{F}(x-y)=\left\langle 0\left|T(\psi (x){\overline {\psi }}(y))\right|0\right\rangle

{\ displaystyle D_ {F} (xy) = \ left \ langle 0 \ left | T (\ psi (x) {\ overline {\ psi}} (y)) \ right | 0 \ right \ rangle}

{\ displaystyle D_ {F} (x-y) = \ left \ langle 0 \ left | T (\ psi (x) {\ overline {\ psi}} (y)) \ right | 0 \ right \ rangle}

produsul comandat temporal pentru fermioni este definit cu semnul minus datorită naturii lor anti-navetă

T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).

{\ displaystyle T \ left [\ psi (x) {\ overline {\ psi}} (y) \ right] \ {\ overset {\ text {def}} {=}} \ \ theta \ left (x ^ { 0} -y ^ {0} \ right) \ psi (x) {\ overline {\ psi}} (y) - \ theta \ left (y ^ {0} -x ^ {0} \ right) {\ overline {\ psi}} (y) \ psi (x).}

{\ displaystyle T \ left [\ psi (x) {\ overline {\ psi}} (y) \ right] \ {\ overset {\ text {def}} {=}} \ \ theta \ left (x ^ { 0} -y ^ {0} \ right) \ psi (x) {\ overline {\ psi}} (y) - \ theta \ left (y ^ {0} -x ^ {0} \ right) {\ overline {\ psi}} (y) \ psi (x).}

Prin inserarea dezvoltării în unde plane pentru câmpul fermionului în ecuația de mai sus, avem:

D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}

{\ displaystyle D_ {F} (xy) = \ int {\ frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} {\ frac {i ({p \! \! \! /} + m)} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ epsilon}} e ^ {- ip \ cdot (xy)}}

{\ displaystyle D_ {F} (xy) = \ int {\ frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} {\ frac {i ({p \! \! \! /} + m)} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ epsilon}} e ^ {- ip \ cdot (xy)}}

unde s-a folosit notația slash a lui Feynman . Acest rezultat are sens din moment ce factorul

{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {i ({p \! \! \! /} + m)} {p ^ {2} -m ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {i ({p \! \! \! /} + m)} {p ^ {2} -m ^ {2}}}}

este doar inversul operatorului care acționează $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ în ecuația Dirac. Rețineți că propagatorul Feynman pentru câmpul Klein - Gordon are aceeași proprietate. Deoarece toate observabilele rezonabile (cum ar fi energia, sarcina, numărul de particule etc.) sunt construite dintr-un număr par de câmpuri fermionice, relația de comutare dispare pentru oricare două observabile în puncte din spațiu-timp în afara conului de lumină. După cum știm din mecanica cuantică obișnuită, două observabile care comută între ele pot fi măsurate simultan. Invarianța Lorentz pentru câmpul Dirac a fost apoi implementată corect și cauzalitatea a fost păstrată.

Câmpurile Dirac sunt un ingredient important al modelului standard .

Bibliografie

D. Edwards, Fundamentele matematice ale teoriei câmpului cuantic: fermiuni, câmpuri ecartamentale și super-simetrie, Partea I: Teoriile câmpului rețelei , în Teoria int. J. Fizic. , vol. 20, nr. 7, 1981, pp. 503-517, Bibcode : 1981IJTP ... 20..503E , DOI : 10.1007 / BF00669437 .
( EN ) Michael Peskin și Daniel Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory , Westview Press, 1995, pp. 35–63.
( EN ) Mark Srednicki, Quantum Field Theory , Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-86449-7 .
(EN) Steven Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Cambridge University Press, 1995. (3 volume)

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica