Feynman notare slash

În studiul câmpurilor Dirac în teoria câmpului cuantic , notația slash Feynman este o notație care vă permite să scrieți expresii scurte care implică patru-vector și setul celor patru matrice Dirac .

De sine $a_{\mu }$ ${\ displaystyle a _ {\ mu}}$ $a _ {\ mu}$ este un covariant cu patru vectori, apoi notația slash a lui Feynman este definită ca

a\!\!\!/\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a_{\mu }\gamma ^{\mu }

{\ displaystyle a \! \! \! /! {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ a _ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu}}

{\ displaystyle a \! \! \! /! {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ a _ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu}}

unde s-a folosit convenția lui Einstein privind indicii repetați și $\gamma ^{\mu }$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}$ $\ gamma ^ {\ mu}$ cele patru matrice Dirac.

Prin urmare, un simbol tăiat trebuie considerat o matrice 4x4, un operator care acționează asupra spinorilor Dirac . În funcție de semnificația celor patru vectori de la bază, acesta poate avea alte valori și poate fi operator într-un alt spațiu liniar . S-ar putea critica faptul că notația slash a lui Feynman reduce foarte mult imediatitatea în intuiția obiectului pe care îl reprezintă, sporind complicația în scopul furnizării de fapt a unei compactări foarte modeste a notației. În ciuda acestui fapt, astăzi este utilizat pe scară largă în textele mecanicii cuantice relativiste sau în teoria cuantică a câmpului .

Este important să rețineți că un vector cu patru tăieturi nu este un invariant Lorentz, deoarece:

\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\prime }=\gamma ^{\mu }

{\ displaystyle \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ right) ^ {\ prime} = \ gamma ^ {\ mu}}

\ left (\ gamma ^ {\ mu} \ right) ^ {\ prime} = \ gamma ^ {\ mu}

\left(\gamma ^{\mu }p_{\mu }\right)^{\prime }=\gamma ^{\mu }\left(\Lambda ^{-1}\right)_{\mu }^{\nu }p_{\nu }=S\left(\gamma ^{\mu }p_{\mu }\right)S^{-1}

{\ displaystyle \ left (\ gamma ^ {\ mu} p _ {\ mu} \ right) ^ {\ prime} = \ gamma ^ {\ mu} \ left (\ Lambda ^ {- 1} \ right) _ { \ mu} ^ {\ nu} p _ {\ nu} = S \ left (\ gamma ^ {\ mu} p _ {\ mu} \ right) S ^ {- 1}}

\ left (\ gamma ^ {\ mu} p _ {\ mu} \ right) ^ {\ prime} = \ gamma ^ {\ mu} \ left (\ Lambda ^ {{- 1}} \ right) _ {\ mu} ^ {\ nu} p _ {\ nu} = S \ left (\ gamma ^ {\ mu} p _ {\ mu} \ right) S ^ {{- 1}}

unde matricile S sunt reprezentarea spinor a elementelor grupului Poincaré. În plus:

p\!\!\!\,/\equiv \gamma ^{\mu }p_{\mu }=\gamma _{\mu }p^{\mu }

{\ displaystyle p \! \! \! \, / \ equiv \ gamma ^ {\ mu} p _ {\ mu} = \ gamma _ {\ mu} p ^ {\ mu}}

p \! \! \! \, / \ equiv \ gamma ^ {\ mu} p _ {\ mu} = \ gamma _ {\ mu} p ^ {\ mu}

\left(\Lambda ^{-1}\right)_{\mu }^{\nu }\gamma ^{\mu }p_{\nu }=S\left(\gamma ^{\mu }p_{\mu }\right)S^{-1}=\left(p\!\!\!\,/\right)^{\prime }=\left(\gamma ^{\mu }p_{\mu }\right)^{\prime }\neq \left(\gamma _{\mu }p^{\mu }\right)^{\prime }=\Lambda _{\nu }^{\mu }\gamma _{\mu }p^{\nu }

{\ displaystyle \ left (\ Lambda ^ {- 1} \ right) _ {\ mu} ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ mu} p _ {\ nu} = S \ left (\ gamma ^ {\ mu } p _ {\ mu} \ right) S ^ {- 1} = \ left (p \! \! \! \, / \ right) ^ {\ prime} = \ left (\ gamma ^ {\ mu} p _ {\ mu} \ right) ^ {\ prime} \ neq \ left (\ gamma _ {\ mu} p ^ {\ mu} \ right) ^ {\ prime} = \ Lambda _ {\ nu} ^ {\ mu} \ gamma _ {\ mu} p ^ {\ nu}}

\ left (\ Lambda ^ {{- 1}} \ right) _ {\ mu} ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ mu} p _ {\ nu} = S \ left (\ gamma ^ {\ mu} p_ {\ mu} \ right) S ^ {{- 1}} = \ left (p \! \! \! \, / \ right) ^ {\ prime} = \ left (\ gamma ^ {\ mu} p_ {\ mu} \ right) ^ {{\ prime}} \ neq \ left (\ gamma _ {\ mu} p ^ {\ mu} \ right) ^ {{\ prime}} = \ Lambda _ {\ nu} ^ {\ mu} \ gamma _ {\ mu} p ^ {\ nu}

Identitate

Folosind proprietățile anticomutatorului se poate arăta că, pentru oricare $a_{\mu }$ ${\ displaystyle a _ {\ mu}}$ $a _ {\ mu}$ Și $b_{\mu }$ ${\ displaystyle b _ {\ mu}}$ $b _ {\ mu}$ ,

a\!\!\!/a\!\!\!/=a^{\mu }a_{\mu }=a^{2}

{\ displaystyle a \! \! \! / a \! \! \! / = a ^ {\ mu} a _ {\ mu} = a ^ {2}}

a \! \! \! / a \! \! \! / = a ^ {\ mu} a _ {\ mu} = a ^ {2}

a\!\!\!/b\!\!\!/+b\!\!\!/a\!\!\!/=2a\cdot b

{\ displaystyle a \! \! \! / b \! \! \! / + b \! \! \! / a \! \! \! / = 2a \ cdot b}

a \! \! \! / b \! \! \! / + b \! \! \! / a \! \! \! / = 2a \ cdot b

.

În special,

\partial \!\!\!/^{2}=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }.

{\ displaystyle \ partial \! \! \! / ^ {2} = \ partial ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu}.}

\ partial \! \! \! / ^ {2} = \ partial ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu}.

Identități suplimentare pot fi obținute prin identitățile matricilor gamma prin înlocuirea tensorului metric cu produse interne . De exemplu:

\operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/)=4a\cdot b

{\ displaystyle \ operatorname {tr} (a \! \! \! / b \! \! \! /) = 4a \ cdot b}

\ operatorname {tr} (a \! \! \! / b \! \! \! /) = 4a \ cdot b

\operatorname {tr} (a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]

{\ displaystyle \ operatorname {tr} (a \! \! \! / b \! \! \! / c \! \! \! / d \! \! \! /) = 4 \ left [(a \ cdot b) (c \ cdot d) - (a \ cdot c) (b \ cdot d) + (a \ cdot d) (b \ cdot c) \ right]}

\ operatorname {tr} (a \! \! \! / b \! \! \! / c \! \! \! / d \! \! \! /) = 4 \ left [(a \ cdot b) (c \ cdot d) - (a \ cdot c) (b \ cdot d) + (a \ cdot d) (b \ cdot c) \ right]

\operatorname {tr} (\gamma _{5}a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/)=4i\varepsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\lambda }d^{\sigma }

{\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ gamma _ {5} a \! \! \! / b \! \! \! / c \! \! \! / d \! \! \! /) = 4i \ varepsilon _ {\ mu \ nu \ lambda \ sigma} a ^ {\ mu} b ^ {\ nu} c ^ {\ lambda} d ^ {\ sigma}}

\ operatorname {tr} (\ gamma _ {5} a \! \! \! / b \! \! \! / c \! \! /! \ d \! \! \! /) = 4i \ varepsilon _ {{\ mu \ nu \ lambda \ sigma}} a ^ {\ mu} b ^ {\ nu} c ^ {\ lambda} d ^ {\ sigma}

\gamma _{\mu }a\!\!\!/\gamma ^{\mu }=-2a\!\!\!/

{\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} a \! \! \! / \ gamma ^ {\ mu} = - 2a \! \! \! /!

\ gamma _ {\ mu} a \! \! \! / \ gamma ^ {\ mu} = - 2a \! \! \! /

.

\gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/\gamma ^{\mu }=4a\cdot b

{\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} a \! \! \! / b \! \! \! / \ gamma ^ {\ mu} = 4a \ cdot b}

\ gamma _ {\ mu} a \! \! \! / b \! \! \! / \ gamma ^ {\ mu} = 4a \ cdot b

\gamma _{\mu }a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/\gamma ^{\mu }=-2c\!\!\!/b\!\!\!/a\!\!\!/

{\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} a \! \! \! / b \! \! \! / c \! \! \! / \ gamma ^ {\ mu} = - 2c \! \! \! / b \! \! \! / a \! \! \! /}

\ gamma _ {\ mu} a \! \! \! / b \! \! \! / c \! \! \! / \ gamma ^ {\ mu} = - 2c \! \! \! / b \ !\!\!/la\!\!\!/

unde este $\varepsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ mu \ nu \ lambda \ sigma}}$ $\ varepsilon _ {{\ mu \ nu \ lambda \ sigma}}$ este simbolul Levi-Civita .

Bibliografie

Halzen, Francis; Martin, Alan, Quarks & Leptons: Un curs introductiv în fizica modernă a particulelor , John Wiley & Sons, 1984, ISBN 0-471-88741-2 .

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica