Jacques Philippe Marie Binet

Jacques Philippe Marie Binet ( Rennes , cu 2 luna februarie, 1786 - Paris , luna mai de 12, 1856 , ) a fost un francez matematician și astronom .

Binet a intrat în Polytechnique École ca student în 1804 ; tocmai a absolvit, în 1806, a lucrat pentru Ponts et Chaussées departament , dar în anul următor a revenit la Polytechnique École ca repetor al geometriei descriptive . Mai târziu, el a fost profesor de mecanica, apoi inspector de studii.

În 1823, el a reușit Jean-Baptiste Delambre în scaunul de astronomie la Collège de France . Ca și Cauchy , cu care a fost un prieten, Binet a fost un fervent catolic și un susținător al Bourbon pretendent familiei la tronul Franței. Guvernul, în iulie l-au scos din funcție la Polytechnique École, dar a păstrat posturile sale de la Collège de France.

Lucrările sale privind pură matematică , mecanică și astronomie sunt publicate in revista Polytechnique École si in Journal of Liouville. El a fost responsabil pentru lucrări importante pe funcția phi Euler , pe studiul expresiilor care depind de legea numerelor mari , pe proprietățile fundamentale ale suprafețelor Parfocal gradul II, care a descoperit în primul rând, cu privire la mișcările planetelor, pe finitul ecuații diferență. liniară pentru care a formulat o teorie interesantă.

Lucrările sale pe matricea de calcul l -au condus la exprimarea termenului al n - lea șirul lui Fibonacci .

In domeniul astronomiei , formulele lui cinematice dau expresia în coordonate polare ale vitezei și accelerației corpurilor supuse unei accelerare centrale , cum ar fi planetele sistemului solar .

Formula Binet pentru secvența lui Fibonacci

Același subiect în detaliu: șirul lui Fibonacci .

Această formulă oferă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ termenul -lea $u_{n}$ ${\ displaystyle u_ {n}}$ $A}$ a succesiunii. Aceasta este definită prin următoarea formulă de recurență:

$u_{0}=0$ ${\ Displaystyle u_ {0} = 0}$ ${\ Displaystyle u_ {0} = 0}$
$u_{1}=1$ ${\ Displaystyle u_ {1} = 1}$ ${\ Displaystyle u_ {1} = 1}$
$u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}$ ${\ Displaystyle u_ {n} = {u_ n-1} + u_ {n-2}}$ ${\ Displaystyle u_ {n} = {u_ n-1} + u_ {n-2}}$ , pentru $n>1$ ${\ displaystyle n> 1}$ $n> 1$

u_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]

{\ Sqrt {\ displaystyle u_ {n} = {\ frac {1} {5}}} \ stânga [\ stânga ({\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ dreapta) ^ {n} - \ stânga ({\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} \ dreapta) ^ {n} \ right]}

u_ {n} = {\ frac {1} {{\ sqrt {5}}}} \ stânga [\ stânga ({\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ dreapta) ^ { n} - \ stânga ({\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} \ dreapta) ^ {n} \ right]

Demonstrație

Luați în considerare fracțiunea următoare:

A_{n}={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}},\quad a\neq b\quad \quad \quad

{\ A_ displaystyle {n} = {\ frac {a ^ {n} -b ^ {n}} {ab}} \ quad a \ neq b \ quad \ quad \ quad}

{\ A_ displaystyle {n} = {\ frac {a ^ {n} -b ^ {n}} {a-b}} \ quad a \ neq b \ quad \ quad \ quad}

(1)

din care ei urmează imediat

{\begin{cases}A_{0}=0\\A_{1}=1\end{cases}}\quad \quad \quad

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} A_ {0} = 0 \\ A_ {1} = 1 \ end {cazuri}} \ quad \ quad \ quad}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} A_ {0} = 0 \\ A_ {1} = 1 \ end {cazuri}} \ quad \ quad \ quad}

(2)

Multiplicarea prin $a+b$ ${\ displaystyle a + b}$ $a + b$ primesti:

(a+b){\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n+1}+a^{n}b-ab^{n}-b^{n+1}}{a-b}}={\frac {a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}}+ab{\frac {a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b}}

{\ Displaystyle (a + b) {\ frac {a ^ {n} -b ^ {n}} {ab}} = {\ frac {a ^ {n + 1} + a ^ {n} b-ab ^ {n} -b ^ {n + 1}} {ab}} = a ^ {n + 1 {\ frac {} -b ^ {n + 1}} {ab}} + ab {\ frac {a ^ { n-1} -b ^ {n-1}} {ab}}}

(A + b) {\ frac {a ^ {n} -b ^ {n}} {ab}} = {\ frac {a ^ {{n + 1}} + a ^ {{n}} b-ab ^ {n} -b ^ {{n + 1}}} {ab}} = {\ frac {a ^ {{n + 1}} - b ^ {{n + 1}}} {ab}} + ab {\ frac {a ^ {{n-1}} - b ^ {{n-1}}} {ab}}

și rearanjarea termenii de egalitate:

{\frac {a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}}=(a+b){\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}-ab{\frac {a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b}}\quad \quad \quad

{\ Displaystyle {\ frac {a ^ {n + 1} -b ^ {n + 1}} {ab}} = (a + b) {\ frac {a ^ {n} -b ^ {n}} { ab}} - ab {\ frac {a ^ {n-1} -b ^ {n-1}} {ab}} \ quad \ quad \ quad}

{\ Displaystyle {\ frac {a ^ {n + 1} -b ^ {n + 1}} {ab}} = (a + b) {\ frac {a ^ {n} -b ^ {n}} { ab}} - ab {\ frac {a ^ {n-1} -b ^ {n-1}} {ab}} \ quad \ quad \ quad}

(3)

Prin înlocuire $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ în (3), atunci avem

A_{n+1}=(a+b)A_{n}-abA_{n-1}\quad \quad \quad

{\ A_ displaystyle {n + 1} = (a + b) A_ {n} -abA_ {n-1} \ quad \ quad \ quad}

{\ A_ displaystyle {n + 1} = (a + b) A_ {n} -abA_ {n-1} \ quad \ quad \ quad}

(4)

Dacă acum ne uităm pentru două valori $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ astfel încât:

{\begin{cases}a+b=1\\-ab=1\end{cases}}\quad \quad \quad

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} a + b = 1 \\ - ab = 1 \ end {cazuri}} \ quad \ quad \ quad}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} a + b = 1 \\ - ab = 1 \ end {cazuri}} \ quad \ quad \ quad}

(5)

(4) devine:

A_{n+1}=A_{n}+A_{n-1}

{\ A_ displaystyle {n + 1} = A_ {n} + A_ {n-1}}

A _ {{n + 1}} = A_ {n} + A _ {{n-1}}

Acestea din urmă, combinată cu (2), prevede exact legea secvenței Fibonacci:

{\begin{cases}A_{0}=0\\A_{1}=1\\A_{n+1}=A_{n}+A_{n-1}\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} A_ {0} = 0 \\ A_ {1} = 1 \\ A_ {n + 1} = A_ {n} + A_ {n-1} \ end {cazuri}}}

{\ Begin {cazuri} A_ {0} = 0 \\ A_ {1} = 1 \\ A _ {{n + 1}} = A _ {{n}} + A _ {{n-1}} \ end {cazuri}}

Să găsim valorile acum $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ; pentru a face acest lucru să luăm în considerare faptul (5), care $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt două numere a căror sumă este 1 și al căror produs este -1. În consecință $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ satisface ecuatia a doua studii:

x^{2}-x-1=0

{\ displaystyle x ^ {2} -x-1 = 0}

x ^ {2} -x-1 = 0

ale căror soluții sunt:

x_{1,2}={\frac {1\mp {\sqrt {5}}}{2}}

{\ Displaystyle X_ {1,2} = {\ frac {1 \ mp {\ sqrt {5}}} {2}}}

x _ {{1,2}} = {\ frac {1 \ mp {\ sqrt {5}}} {2}}

Prin alegere $x_{1}=b$ ${\ Displaystyle X_ {1} = b}$ ${\ Displaystyle X_ {1} = b}$ Și $x_{2}=a$ ${\ Displaystyle X_ {2} = a}$ ${\ Displaystyle X_ {2} = a}$ Și înlocuind valorile din (1), obținem

A_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)}}

{\ A_ displaystyle {n} = {\ frac {\ stânga ({\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ dreapta) ^ {n} - \ stânga ({\ frac {1- {\ sqrt {5}}} {2}} \ dreapta) ^ {n}} {\ stânga ({\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ dreapta) - \ stânga ({ \ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} \ dreapta)}}}

A_ {n} = {\ frac {\ stânga ({{\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}} \ dreapta) ^ {n} - \ stânga ({{\ frac {1- {\ sqrt {5}}} {2}}} \ dreapta) ^ {n}} {\ stânga ({{\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}} \ dreapta) - \ stânga ({{\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}}} \ dreapta)}}

care este (cu schimbarea notație $F_{n}=A_{n}$ ${\ Displaystyle F_ {n} = A_ {n}}$ $F_ {n} = A_ {n}$ , Din moment ce, după cum am văzut, $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ este termenul nth secvenței Fibonacci):

F_{n}={\frac {\displaystyle {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}}{\sqrt {5}}}

{\ F_ displaystyle {n} = {\ frac {\ displaystyle {\ stânga ({\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ dreapta) ^ {n} - \ stânga ({\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} \ dreapta) ^ {n}}} {\ sqrt {5}}}}

{\ F_ displaystyle {n} = {\ frac {\ displaystyle {\ stânga ({\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ dreapta) ^ {n} - \ stânga ({\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} \ dreapta) ^ {n}}} {\ sqrt {5}}}}

care este formula lui Binet.

Dovadă alternativă

Considerăm următoarele egalități:

\phi ^{2}={\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)}^{2}={\frac {6+2{\sqrt {5}}}{4}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}=1+{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}=\phi +1

{\ Displaystyle \ phi ^ {2} = {\ stânga ({\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ dreapta)} ^ {2} = {\ frac {6 + 2 {\ sqrt {5}}} {4}} = {\ frac {3 + {\ sqrt {5}}} {2}} = 1 + {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} = \ phi +1}

{\ Displaystyle \ phi ^ {2} = {\ stânga ({\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ dreapta)} ^ {2} = {\ frac {6 + 2 {\ sqrt {5}}} {4}} = {\ frac {3 + {\ sqrt {5}}} {2}} = 1 + {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} = \ phi +1}

{\frac {1}{\phi }}={\frac {2}{{\sqrt {5}}+1}}={\frac {2({\sqrt {5}}-1)}{({\sqrt {5}}+1)({\sqrt {5}}-1)}}={\frac {2{\sqrt {5}}-2}{5-1}}={\frac {2{\sqrt {5}}-2}{4}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}-{\frac {2}{2}}=\phi -1

{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ phi}} = {{\ sqrt {5}} + 1}} = {\ frac {2 ({\ sqrt {5}} - 1) {\ frac {2} } {({\ sqrt {5}} + 1) ({\ sqrt {5}} - 1)}} = {\ frac {2 {\ sqrt {5}} - 2} {5-1}} = { \ frac {2 {\ sqrt {5}} - 2} {4}} = {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}} = {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} - {\ frac {2} {2}} = \ phi} -1

{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ phi}} = {{\ sqrt {5}} + 1}} = {\ frac {2 ({\ sqrt {5}} - 1) {\ frac {2} } {({\ sqrt {5}} + 1) ({\ sqrt {5}} - 1)}} = {\ frac {2 {\ sqrt {5}} - 2} {5-1}} = { \ frac {2 {\ sqrt {5}} - 2} {4}} = {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}} = {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} - {\ frac {2} {2}} = \ phi} -1

Din al doilea avem: $-{\frac {1}{\phi }}=-(\phi -1)=1-\phi$ ${\ Displaystyle - {\ frac {1} {\ phi}} = - (\ phi -1) = 1- \ phi}$ ${\ Displaystyle - {\ frac {1} {\ phi}} = - (\ phi -1) = 1- \ phi}$

În acest moment, să încercăm să calculeze primele puteri ale $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ și de $-{\frac {1}{\phi }}$ ${\ Displaystyle - {\ frac {1} {\ phi}}}$ $- {\ frac {1} {\ phi}}$ . Se constată că:

{\begin{aligned}&\phi ^{0}=1\quad (1)\\&\phi ^{1}=\phi \quad (2)\\&\phi ^{2}=\phi +1\\&\phi ^{3}=\phi (\phi +1)=\phi ^{2}+\phi =(\phi +1)+\phi =2\phi +1\\\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & \ phi ^ {0} = 1 \ quad (1) \\ & \ phi ^ {1} = \ phi \ quad (2) \\ & \ phi ^ {2} = \ phi +1 \\ & \ phi ^ {3} = \ phi (\ phi +1) = \ phi ^ {2} + \ phi = (\ phi +1) + \ phi = 2 \ phi +1 \\ \ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & \ phi ^ {0} = 1 \ quad (1) \\ & \ phi ^ {1} = \ phi \ quad (2) \\ & \ phi ^ {2} = \ phi +1 \\ & \ phi ^ {3} = \ phi (\ phi +1) = \ phi ^ {2} + \ phi = (\ phi +1) + \ phi = 2 \ phi +1 \\ \ end {aliniat}}}

{\begin{aligned}&\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{0}=1\quad (3)\\&\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{1}=1-\phi \quad (4)\\&\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{2}=-{\frac {1-\phi }{\phi }}={\frac {\phi -1}{\phi }}=1-{\frac {1}{\phi }}=1-(\phi -1)=2-\phi \\&\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{3}=-{\frac {2-\phi }{\phi }}={\frac {\phi -2}{\phi }}=1-{\frac {2}{\phi }}=1-2(\phi -1)=3-2\phi \\\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {0} = 1 \ quad (3) \\ & \ stânga (- {\ frac { 1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {1} = 1 \ phi \ quad (4) \\ & \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {2} = - {\ frac {1 \ phi} {\ phi}} = {\ frac {\ phi -1} {\ phi}} = 1 - {\ frac {1} {\ phi}} = 1 - (\ phi -1) = 2- \ phi \\ & \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {3} = - {\ frac {2 \ phi} {\ phi}} = {\ frac {\ phi -2} {\ phi}} = 1 - {\ frac {2} {\ phi}} = 1-2 (\ phi -1) = 3-2 \ phi \\\ end {aliniat }}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {0} = 1 \ quad (3) \\ & \ stânga (- {\ frac { 1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {1} = 1 \ phi \ quad (4) \\ & \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {2} = - {\ frac {1 \ phi} {\ phi}} = {\ frac {\ phi -1} {\ phi}} = 1 - {\ frac {1} {\ phi}} = 1 - (\ phi -1) = 2- \ phi \\ & \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {3} = - {\ frac {2 \ phi} {\ phi}} = {\ frac {\ phi -2} {\ phi}} = 1 - {\ frac {2} {\ phi}} = 1-2 (\ phi -1) = 3-2 \ phi \\\ end {aliniat }}}

Se poate observa din egalitățile descrise mai sus că, în ambele cazuri, secvența coeficienților de $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ și succesiunea termenilor cunoscuți par a fi secvențe Fibonacci. De fapt, dacă spunem

\phi ^{n}=a\phi +b\quad \quad \quad

{\ Displaystyle \ phi ^ {n} = a \ phi + b \ quad \ quad \ quad}

{\ Displaystyle \ phi ^ {n} = a \ phi + b \ quad \ quad \ quad}

(5)

aveți:

{\begin{aligned}&\phi ^{n+1}=a\phi ^{2}+b\phi =a\phi +a+b\phi =(a+b)\phi +a\\&\phi ^{n+2}=(a+b)\phi ^{2}+a\phi =(a+b)(\phi +1)+a\phi =a\phi +a+b\phi +b+a\phi =(2a+b)\phi +(a+b)\\\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & \ phi ^ {n + 1} = o \ phi ^ {2} + b \ phi = o \ phi + a + b \ phi = (a + b) \ phi + un \\ & \ phi ^ {n + 2} = (a + b) \ phi ^ {2} + o \ phi = (a + b) (\ phi +1) + o \ phi = o \ phi + a + b \ phi + b + o \ phi = (2a + b) \ phi + (a + b) \\\ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & \ phi ^ {n + 1} = o \ phi ^ {2} + b \ phi = o \ phi + a + b \ phi = (a + b) \ phi + un \\ & \ phi ^ {n + 2} = (a + b) \ phi ^ {2} + o \ phi = (a + b) (\ phi +1) + o \ phi = o \ phi + a + b \ phi + b + o \ phi = (2a + b) \ phi + (a + b) \\\ end {aliniat}}}

Dacă ne numim $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ Și $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ respectiv coeficientul de $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ iar termenul cunoscut care apare în potența $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -thth din $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ (5), din cele două relații pe care tocmai am obținut o putem scrie:

A_{n}=A_{n-1}+A_{n-2}

{\ A_ displaystyle {n} = A_ {n-1} + A_ {n-2}}

{\ A_ displaystyle {n} = A_ {n-1} + A_ {n-2}}

B_{n}=B_{n-1}+B_{n-2}

{\ B_ displaystyle {n} = {B_ n-1} + B_ {n-2}}

{\ B_ displaystyle {n} = {B_ n-1} + B_ {n-2}}

De la (1) și (2) vedem că $A_{0}=0$ ${\ A_ displaystyle {0} = 0}$ ${\ A_ displaystyle {0} = 0}$ , $A_{1}=1$ ${\ A_ displaystyle {1} = 1}$ ${\ A_ displaystyle {1} = 1}$ , $B_{0}=1$ ${\ B_ displaystyle {0} = 1}$ $B_ {0} = 1$ Și $B_{1}=1$ ${\ B_ displaystyle {1} = 1}$ $B_ {1} = 1$ , Care este primele două valori ale $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ sunt valorile $F_{n}$ ${\ displaystyle F_ {n}}$ $F_ {n}$ a secvenței Fibonacci pentru $n=0$ ${\ Displaystyle n = 0}$ $n = 0$ și $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ în timp ce primele două valori ale $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ sunt valorile secvenței Fibonacci pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ și $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ .

Deci, rezumând, avem:

{\begin{cases}A_{0}=F_{0}\\A_{1}=F_{1}\\A_{n}=F_{n};\quad \forall n\geq {2}\\B_{0}=F_{1}\\B_{1}=F_{2}\\B_{n}=F_{n+1};\quad \forall n\geq {2}\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} A_ {0} = F_ {0} \\ A_ {1} = {1} F_ \\ A_ {n} = F_ {n}; \ quad \ forall n \ geq {2 } \\ B_ {0} = {1} F_ \\ B_ {1} = F_ {2} \\ B_ {n} = F_ {n + 1}; \ quad \ forall n \ geq {2} \ end { cazuri}}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} A_ {0} = F_ {0} \\ A_ {1} = {1} F_ \\ A_ {n} = F_ {n}; \ quad \ forall n \ geq {2 } \\ B_ {0} = {1} F_ \\ B_ {1} = F_ {2} \\ B_ {n} = F_ {n + 1}; \ quad \ forall n \ geq {2} \ end { cazuri}}}

Din ceea ce am scris este clar că:

\phi ^{n}=F_{n}\phi +F_{n-1}\quad (6)

{\ Displaystyle \ phi ^ {n} = F_ {n} \ phi + F_ {n-1} \ quad (6)}

{\ Displaystyle \ phi ^ {n} = F_ {n} \ phi + F_ {n-1} \ quad (6)}

În mod similar, pentru puterile $-{\frac {1}{\phi }}$ ${\ Displaystyle - {\ frac {1} {\ phi}}}$ $- {\ frac {1} {\ phi}}$ , pozat

\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{n}=a-b\phi \quad (7)

{\ Displaystyle \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {n} = ab \ phi \ quad (7)}

{\ Displaystyle \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {n} = a-b \ phi \ quad (7)}

primesti:

{\begin{aligned}&\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{n+1}=-{\frac {a-b\phi }{\phi }}={\frac {b\phi -a}{\phi }}=b-{\frac {a}{\phi }}=b-a(\phi -1)=(a+b)-a\phi \\&\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{n+2}=-{\frac {(a+b)-a\phi }{\phi }}={\frac {a\phi -(a+b)}{\phi }}=a-{\frac {a+b}{\phi }}=a-(a+b)(\phi -1)=(2a+b)-(a+b)\phi \\\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {n + 1} = - {\ frac {ab \ phi} {\ phi}} = {\ frac {b \ phi -a} {\ phi}} = b - {\ frac {a} {\ phi}} = ba (\ phi -1) = (a + b) -a \ phi \\ & \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {n + 2} = - {\ frac {(a + b) -a \ phi} {\ phi}} = {\ frac { o \ phi - (a + b)} {\ phi}} = a - {\ frac {a + b} {\ phi}} = a- (a + b) (\ phi -1) = (2a + b ) - (a + b) \ phi \\\ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {n + 1} = - {\ frac {ab \ phi} {\ phi}} = {\ frac {b \ phi -a} {\ phi}} = b - {\ frac {a} {\ phi}} = ba (\ phi -1) = (a + b) -a \ phi \\ & \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {n + 2} = - {\ frac {(a + b) -a \ phi} {\ phi}} = {\ frac { o \ phi - (a + b)} {\ phi}} = a - {\ frac {a + b} {\ phi}} = a- (a + b) (\ phi -1) = (2a + b ) - (a + b) \ phi \\\ end {aliniat}}}

prin urmare, a declarat respectiv $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ Și $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ cunoscut termenul și coeficientul de $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ în raport cu puterea de nth $-{\frac {1}{\phi }}$ ${\ Displaystyle - {\ frac {1} {\ phi}}}$ $- {\ frac {1} {\ phi}}$ (7), încă mai avem:

A_{n+2}=A_{n}+A_{n+1}

{\ A_ displaystyle {n + 2} = A_ {n} + A_ {n + 1}}

A _ {{n + 2}} = A_ {n} + A _ {{n + 1}}

B_{n+2}=B_{n}+B_{n+1}

{\ B_ displaystyle {n + 2} = B_ {n} + B_ {n + 1}}

B _ {{n + 2}} = B_ {n} + B _ {{n + 1}}

De la (3) și (4) vedem că

{\begin{cases}A_{0}=F_{1}\\A_{1}=F_{2}\\A_{n+2}=A_{n}+A_{n+1};\quad \forall n\geq {2}\\B_{0}=F_{0}\\B_{1}=F_{1}\\B_{n+2}=B_{n}+B_{n+1};\quad \forall n\geq {2}\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} A_ {0} = {1} F_ \\ A_ {1} = F_ {2} \\ A_ {n + 2} = A_ {n} + A_ {n + 1}; \ quad \ forall n \ geq {2} \\ B_ {0} = F_ {0} \\ B_ {1} = {1} F_ \\ B_ {n + 2} = B_ {n} + B_ {n + 1}; \ quad \ forall n \ geq {2} \ end {cazuri}}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} A_ {0} = {1} F_ \\ A_ {1} = F_ {2} \\ A_ {n + 2} = A_ {n} + A_ {n + 1}; \ quad \ forall n \ geq {2} \\ B_ {0} = F_ {0} \\ B_ {1} = {1} F_ \\ B_ {n + 2} = B_ {n} + B_ {n + 1}; \ quad \ forall n \ geq {2} \ end {cazuri}}}

Din ceea ce am scris este clar că

\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{n}=F_{n+1}-F_{n}\phi \quad (8)

{\ Displaystyle \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {n} = F_ {n + 1} -F_ {n} \ phi \ quad (8)}

{\ Displaystyle \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {n} = F_ {n + 1} -F_ {n} \ phi \ quad (8)}

Prin scăderea (8) din (6) obținem:

\phi ^{n}-\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{n}=F_{n}\phi +F_{n-1}-(F_{n+1}-F_{n}\phi )

{\ Displaystyle \ phi ^ {n} - \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {n} = F_ {n} \ phi + F_ {n-1} - (F_ { n + 1} -F_ {n} \ phi)}

\ Phi ^ {n} - \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {n} = F_ {n} \ phi + F _ {{n-1}} - (F _ {{n + 1}} - F_ {n} \ phi)

Mai mult, deoarece

F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}

{\ displaystyle F_ {n + 1} = F_ {n} + F_ {n-1}}

F _ {{n + 1}} = F_ {n} + F _ {{n-1}}

putem rescrie relația anterioară, după cum urmează:

\phi ^{n}-\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{n}=F_{n}\phi +F_{n-1}-(F_{n}+F_{n-1}-F_{n}\phi )=F_{n}\phi -(F_{n}-F_{n}\phi )=2F_{n}\phi -F_{n}

{\ Displaystyle \ phi ^ {n} - \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {n} = F_ {n} \ phi + F_ {n-1} - (F_ { n} + F_ {n-1} -F_ {n} \ phi) = F_ {n} \ phi - (F_ {n} -F_ {n} \ phi) = 2F_ {n} \ phi -F_ {n} }

\ Phi ^ {n} - \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {n} = F_ {n} \ phi + F _ {{n-1}} - (F _ {{n}} + F _ {{n-1}} - F_ {n} \ phi) = F_ {n} \ phi - (F _ {{n}} - F_ {n} \ phi) = 2F_ { n} \ phi -F_ {n}

În cele din urmă, colectarea $F_{n}$ ${\ displaystyle F_ {n}}$ $F_ {n}$ avem:

(2\phi -1)F_{n}=\phi ^{n}-\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{n}\quad \implies \quad F_{n}={\frac {\phi ^{n}-\displaystyle {\left(-{\frac {1}{\phi }}\right)^{n}}}{2\phi -1}}\quad (9)

{\ Displaystyle (2 \ phi -1) F_ {n} = \ phi ^ {n} - \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {n} \ quad \ implică \ quad F_ {n} = {\ frac {\ phi ^ {n} - displaystyle \ {\ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {n}}} {2 \ phi} -1 } \ quad (9)}

{\ Displaystyle (2 \ phi -1) F_ {n} = \ phi ^ {n} - \ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {n} \ quad \ implică \ quad F_ {n} = {\ frac {\ phi ^ {n} - displaystyle \ {\ stânga (- {\ frac {1} {\ phi}} \ dreapta) ^ {n}}} {2 \ phi} -1 } \ quad (9)}

Deci, amintindu din partea inițială a dovezii $\phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ ${\ Displaystyle \ phi = {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}}}$ $\ Phi = {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}}$ Și ${\frac {1}{\phi }}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ phi}} = {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}}}$ ${\ Frac {1} {\ phi}} = {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {2}}$ , (9) devine:

F_{n}={\frac {\displaystyle {\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)^{n}}}{2\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}-1}}={\frac {\displaystyle {\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}}{{\sqrt {5}}+1-1}}={\frac {\displaystyle {\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}}{\sqrt {5}}}

{\ F_ displaystyle {n} = {\ frac {\ displaystyle {\ stânga ({\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ dreapta) ^ {n} - \ stânga ({\ frac {- {\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ dreapta) ^ {n}}} {2 \ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} - 1} } = {\ frac {\ displaystyle {\ stânga ({\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ dreapta) ^ {n} - sqrt {\ - \ stânga ({\ frac {1 {5}}} {2}} \ dreapta) ^ {n}}} {{\ sqrt {5}} + 1-1}} = {\ frac {\ displaystyle {\ stânga ({\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ dreapta) ^ {n} - \ stânga ({\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} \ dreapta) ^ {n}}} { \ sqrt {5}}}}

{\ F_ displaystyle {n} = {\ frac {\ displaystyle {\ stânga ({\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ dreapta) ^ {n} - \ stânga ({\ frac {- {\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ dreapta) ^ {n}}} {2 \ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} - 1} } = {\ frac {\ displaystyle {\ stânga ({\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ dreapta) ^ {n} - sqrt {\ - \ stânga ({\ frac {1 {5}}} {2}} \ dreapta) ^ {n}}} {{\ sqrt {5}} + 1-1}} = {\ frac {\ displaystyle {\ stânga ({\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ dreapta) ^ {n} - \ stânga ({\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} \ dreapta) ^ {n}}} { \ sqrt {5}}}}

care corespunde exact formulei lui Binet.

Formulele lui Binet pentru mișcare centrală

Același subiect în detaliu: mișcarea orbitală și ecuația lui Binet .

Să considerăm o particulă care are o accelerație pur centripetă $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ Mathbf un$ spre un punct fix în cadrul nostru de referință și acestea sunt $(r,\theta )$ ${\ displaystyle (r, \ theta)}$ $(r, \ theta)$ sale coordonate polare în referința noastră. Viteza $\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ și vectorul accelerație $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ Mathbf un$ din această particulă verifică următoarele ecuații: ^[1]

$\mathbf {v} =2{\dot {A}}\left(-{\frac {dk}{d\theta }}\mathbf {n} +k\mathbf {h} \right);\quad \lVert \mathbf {v} \rVert =2{\dot {A}}{\sqrt {{\left({\frac {dk}{d\theta }}\right)}^{2}+k^{2}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = 2 {\ dot {A}} \ stânga (- {\ frac {dk} {d \ theta}} \ mathbf {n} + k \ mathbf {h} \ dreapta); \ quad \ lVert \ mathbf {v} \ rVert = 2 {\ dot {A}} {\ sqrt {{\ stânga ({\ frac {dk} {d \ theta}} \ dreapta)} ^ {2} + k ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = 2 {\ dot {A}} \ stânga (- {\ frac {dk} {d \ theta}} \ mathbf {n} + k \ mathbf {h} \ dreapta); \ quad \ lVert \ mathbf {v} \ rVert = 2 {\ dot {A}} {\ sqrt {{\ stânga ({\ frac {dk} {d \ theta}} \ dreapta)} ^ {2} + k ^ {2}}}}$
$\mathbf {a} =-4{\dot {A}}^{2}k^{2}\mathbf {n} \left({\frac {d^{2}k}{d\theta ^{2}}}+k\right)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} = -4 {\ dot {A}} ^ {2} k ^ {2} \ mathbf {n} \ stânga ({\ frac {d ^ {2} k} {d \ theta ^ {2}}} + k \ dreapta)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} = -4 {\ dot {A}} ^ {2} k ^ {2} \ mathbf {n} \ stânga ({\ frac {d ^ {2} k} {d \ theta ^ {2}}} + k \ dreapta)}$

unde este $k={\frac {1}{r}}$ ${\ K displaystyle = {\ frac {1} {r}}}$ ${\ K displaystyle = {\ frac {1} {r}}}$ este curbura normală instantanee a traiectoriei , $\mathbf {n}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ mathbf n$ ar fi unitatea radial vectorul $\mathbf {\rho } ={\frac {\mathbf {r} }{r}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ rho} = {\ frac {\ mathbf {r}} {r}}}$ ${\ Mathbf \ rho} = {\ frac {{\ mathbf r}} {r}}$ , Care, însă, în acest caz coincide în orice moment, cu cea normală $\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {a} }{a}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {n} = {\ frac {\ mathbf {a}} {a}}}$ ${\ Mathbf n} = {\ frac {{\ mathbf a}} {a}}$ , $\mathbf {h}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {h}}$ ${\ Mathbf h}$ este versorul transversal, prin definiție, perpendicular pe acesta, e ${\dot {\mathbf {A} }}$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}}}$ este areolar viteză, constantă , a particulei. Deci , particula este de a face o mișcare plan , deoarece prin definiția accelerației și vitezei și proprietățile produsului vectorial :

\mathbf {0} =\mathbf {a} \times \mathbf {r} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} ={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {v} \times \mathbf {r} )}{\mathrm {d} t}}-\mathbf {v} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {v} \times \mathbf {r} )}{\mathrm {d} t}}-\mathbf {v} \times \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {v} \times \mathbf {r} )}{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle \ mathbf {{\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf 0} = \ mathbf {a} \ ori \ mathbf {r} = {\ frac ori \ {r} = {\ frac {\ mathrm {d} (\ mathbf {v} \ ori \ mathbf {r})} {\ mathrm {d} t}} - \ mathbf {v} \ ori {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} (\ mathbf {v} \ ori \ mathbf {r})} {\ mathrm {d} t}} - \ mathbf {v} \ ori \ mathbf {v} = {\ frac {\ mathrm {d} (\ mathbf {v} \ ori \ mathbf {r})} {\ mathrm {d} t}} }

{\ Displaystyle \ mathbf {{\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf 0} = \ mathbf {a} \ ori \ mathbf {r} = {\ frac ori \ {r} = {\ frac {\ mathrm {d} (\ mathbf {v} \ ori \ mathbf {r})} {\ mathrm {d} t}} - \ mathbf {v} \ ori {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} (\ mathbf {v} \ ori \ mathbf {r})} {\ mathrm {d} t}} - \ mathbf {v} \ ori \ mathbf {v} = {\ frac {\ mathrm {d} (\ mathbf {v} \ ori \ mathbf {r})} {\ mathrm {d} t}} }

Acest lucru este echivalent cu a spune că produsul este constantă în timp:

\mathbf {v} \times \mathbf {r} =2{\dot {A}}\left(-{\frac {\mathrm {d} k}{\mathrm {d} \theta }}\mathbf {n} +k\mathbf {h} \right)\times (r\mathbf {n} )=2{\dot {A}}\mathbf {h} \times \mathbf {n} =2{\dot {A}}\mathbf {b}

{\ Displaystyle \ mathbf {v} \ ori \ mathbf {r} = 2 {\ dot {A}} \ stânga (- {\ frac {\ mathrm {d} k} {\ mathrm {d} \ theta}} \ mathbf {n} + k \ mathbf {h} \ dreapta) \ ori (r \ mathbf {n}) = 2 {\ dot {A}} \ mathbf {h} \ ori \ mathbf {n} = 2 {\ dot {A}} \ mathbf {b}}

{\ Displaystyle \ mathbf {v} \ ori \ mathbf {r} = 2 {\ dot {A}} \ stânga (- {\ frac {\ mathrm {d} k} {\ mathrm {d} \ theta}} \ mathbf {n} + k \ mathbf {h} \ dreapta) \ ori (r \ mathbf {n}) = 2 {\ dot {A}} \ mathbf {h} \ ori \ mathbf {n} = 2 {\ dot {A}} \ mathbf {b}}

unde este $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ în efect binormal versorul rezultate, amintindu-ne că $\mathbf {h}$ ${\ displaystyle \ mathbf {h}}$ ${\ Mathbf h}$ este liniar dependent de $\mathbf {n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ mathbf n$ la fel. Dar atunci produsul mixt este nul:

0=\mathbf {v} \times \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =2{\dot {A}}\mathbf {b} \cdot \mathbf {r}

{\ displaystyle 0 = \ mathbf {v} \ times \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r} = 2 {\ dot {A}} \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {r}}

0 = {\ mathbf v} \ times {\ mathbf r} \ cdot {\ mathbf r} = 2 {\ dot A} {\ mathbf b} \ cdot {\ mathbf r}

prin urmare $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ rămâne pe planul care trece prin $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ care are o înclinație constantă este o normală $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ .

Urmări

Spus $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ impulsul organismului, $\mathbf {L}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L}}$ ${\ Mathbf L}$ său impuls unghiular și $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ forță centrală , pentru relația dintre viteza areolară și momentul cinetic sunt:

$\mathbf {p} =\mathbf {L} t{\sqrt {{\left({\frac {\mathrm {d} k}{\mathrm {d} \theta }}\right)}^{2}+k^{2}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} = \ mathbf {L} t {\ sqrt {{\ stânga ({\ frac {\ mathrm {d} k} {\ mathrm {d} \ theta}} \ dreapta)} ^ { 2} + k ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} = \ mathbf {L} t {\ sqrt {{\ stânga ({\ frac {\ mathrm {d} k} {\ mathrm {d} \ theta}} \ dreapta)} ^ { 2} + k ^ {2}}}}$
$\mathbf {F} =-2L{\dot {A}}k^{2}\mathbf {n} \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}k}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+k\right)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = -2L {\ dot {A}} k ^ {2} \ mathbf {n} \ stânga ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} k} {\ mathrm { d} \ theta ^ {2}}} + k \ dreapta)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = -2L {\ dot {A}} k ^ {2} \ mathbf {n} \ stânga ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} k} {\ mathrm { d} \ theta ^ {2}}} + k \ dreapta)}$

Formula Cauchy-Binet pentru determinantul

Același subiect în detaliu: formula Cauchy-Binet .

Alte

Formule un aditiv: $\forall a,b\quad a+b-b=a$ ${\ Displaystyle \ forall a, b \ quad a + bb = a}$ ${\ Displaystyle \ forall a, b \ quad a + b-b = a}$
formule multiplicativ: $\forall a,b\quad {\frac {a}{b}}\cdot b=a$ ${\ Displaystyle \ forall a, b \ quad {\ frac {a} {b}} \ cdot b = a}$ ${\ Displaystyle \ forall a, b \ quad {\ frac {a} {b}} \ cdot b = a}$

Aceste formule sunt elementare, dar Binet a fost în măsură să sublinieze importanța lor.

Notă

^ A se vedea Coriolis Teorema .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Jacques Philippe Marie Binet

linkuri externe

Jacques Philippe Marie Binet , pe Treccani.it - Online Enciclopedii, Institutul Enciclopediei Italiene .
Jacques Philippe Marie Binet , în Enciclopedia italiană , Institutul Enciclopediei Italiene .
Jacques Philippe Marie Binet , pe Sapienza.it, De Agostini .
(RO) Jacques Philippe Marie Binet , pe MacTutor , Universitatea din St Andrews, Scoția.
(RO) Jacques Philippe Marie Binet , în Catholic Encyclopedia , Robert Appleton Company.
(FR) Mouvements à Acceleration centrale , pe uel-pcsm.education.fr. Adus de 27 aprilie 2006 (arhivate de original pe 12 martie 2007).

Controlul autorității	VIAF (RO) 73844274 · ISNI (RO) 0000 0000 1501 7543 · GND (DE) 117 603 767 · BNF (FR) cb106583825 (data) · CERL cnp01089170 · WorldCat Identități (RO) VIAF-73844274

Portalul de astronomie	Portal Biografii
Portalul de matematică	Portal mecanic

[1] A se vedea Coriolis Teorema .

[1]