Ecuația Binet

Ecuația Binet , datorată lui Jacques Philippe Marie Binet , dă forma unei forțe centrale, dată fiind traiectoria orbitală în coordonate polare . Ecuația poate fi, de asemenea, utilizată pentru a obține forma unei orbite date de o anumită forță, dar aceasta implică de obicei rezolvarea unei ecuații diferențiale ordinare neliniare de ordinul doi . În cazul mișcării circulare în jurul centrului forței, o singură soluție este imposibilă.

Ecuaţie

Forma unei orbite este adesea ușor descrisă în termeni de distanță relativă $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ în funcție de unghi $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ . Pentru ecuația Binet, forma orbitală este descrisă în schimb prin reciprocitate $u=1/r$ ${\ displaystyle u = 1 / r}$ ${\ displaystyle u = 1 / r}$ ca o funcție a $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ . Definiți impulsul unghiular specific $h=L/m$ ${\ displaystyle h = L / m}$ ${\ displaystyle h = L / m}$ unde este $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este impulsul unghiular e $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ masa. Ecuația Binet, derivată în secțiunea următoare, dă forța în termeni de funcție $u(\theta )$ ${\ displaystyle u (\ theta)}$ ${\ displaystyle u (\ theta)}$ :

F({u}^{-1})=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right).

{\ displaystyle F ({u} ^ {- 1}) = - mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u \ right).}

{\ displaystyle F ({u} ^ {- 1}) = - mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u \ right).}

Demonstrație

A doua lege a lui Newton pentru o forță pur centrală este

F(r)=m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}).

{\ displaystyle F (r) = m ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}).}

{\ displaystyle F (r) = m ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}).}

Pentru conservarea impulsului unghiular rezultă că

r^{2}{\dot {\theta }}=h={\text{costante}}.

{\ displaystyle r ^ {2} {\ dot {\ theta}} = h = {\ text {constant}}.}

{\ displaystyle r ^ {2} {\ dot {\ theta}} = h = {\ text {constant}}.}

Derivații de $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ în ceea ce privește timpul poate fi rescris ca derivate ale $u=1/r$ ${\ displaystyle u = 1 / r}$ ${\ displaystyle u = 1 / r}$ în ceea ce privește unghiul:

{\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\&{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-{\frac {1}{h}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {r}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} \ theta}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } \ left ({\ frac {1} {r}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ theta}} = - {\ frac {\ dot {r}} {r ^ {2} {\ dot {\ theta}}}} = - {\ frac {\ dot {r}} {h}} \\ & {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} = - {\ frac {1} {h}} {\ frac {\ mathrm {d} {\ dot {r}}} {\ mathrm {d} t }} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ theta}} = - {\ frac {\ ddot {r}} {h {\ dot {\ theta}}}} = - { \ frac {\ ddot {r}} {h ^ {2} u ^ {2}}} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} \ theta}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } \ left ({\ frac {1} {r}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ theta}} = - {\ frac {\ dot {r}} {r ^ {2} {\ dot {\ theta}}}} = - {\ frac {\ dot {r}} {h}} \\ & {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} = - {\ frac {1} {h}} {\ frac {\ mathrm {d} {\ dot {r}}} {\ mathrm {d} t }} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ theta}} = - {\ frac {\ ddot {r}} {h {\ dot {\ theta}}}} = - { \ frac {\ ddot {r}} {h ^ {2} u ^ {2}}} \\\ end {align}}}

Punând împreună rezultatele anterioare, ajungem la

F=m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})=-m\left(h^{2}u^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)

{\ displaystyle F = m ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}) = - m \ left (h ^ {2} u ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + h ^ {2} u ^ {3} \ right) = - mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u \ right)}

{\ displaystyle F = m ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}) = - m \ left (h ^ {2} u ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + h ^ {2} u ^ {3} \ right) = - mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u \ right)}

Exemple

Problema lui Kepler

Pentru a calcula orbita dată de o forță care îndeplinește legea pătratului invers , ecuația Binet este rezolvată prin obținerea:

-ku^{2}=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)

{\ displaystyle -ku ^ {2} = - mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2 }}} + u \ right)}

{\ displaystyle -ku ^ {2} = - mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2 }}} + u \ right)}

{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {k}{mh^{2}}}\equiv {\text{costante}}>0.

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {k} {mh ^ {2}}} \ echiv {\ text {constant}}> 0.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {k} {mh ^ {2}}} \ echiv {\ text {constant}}> 0.}

Dacă unghiul $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ se măsoară din periapsis , apoi soluția generală pentru orbita exprimată în coordonate polare (reciproce) este

lu=1+\varepsilon \cos \theta .

{\ displaystyle lu = 1 + \ varepsilon \ cos \ theta.}

{\ displaystyle lu = 1 + \ varepsilon \ cos \ theta.}

Ecuația de mai sus descrie secțiuni conice , cu $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ semilatul drept (egal cu $h^{2}/\mu =h^{2}m/k$ ${\ displaystyle h ^ {2} / \ mu = h ^ {2} m / k}$ ${\ displaystyle h ^ {2} / \ mu = h ^ {2} m / k}$ ) Și $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ excentricitatea orbitală .

Ecuația relativistă obținută pentru coordonatele Schwarzschild este ^[1]

{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {r_ {s} c ^ {2}} { 2h ^ {2}}} + {\ frac {3r_ {s}} {2}} u ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {r_ {s} c ^ {2}} { 2h ^ {2}}} + {\ frac {3r_ {s}} {2}} u ^ {2}}

unde este $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii e $r_{s}$ ${\ displaystyle r_ {s}}$ $r_ {s}$ este raza Schwarzschild . Pentru metrica Reissner-Nordström obținem

{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}-{\frac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left({\frac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {r_ {s} c ^ {2}} { 2h ^ {2}}} + {\ frac {3r_ {s}} {2}} u ^ {2} - {\ frac {GQ ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ { 4}}} \ left ({\ frac {c ^ {2}} {h ^ {2}}} u + 2u ^ {3} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {r_ {s} c ^ {2}} { 2h ^ {2}}} + {\ frac {3r_ {s}} {2}} u ^ {2} - {\ frac {GQ ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ { 4}}} \ left ({\ frac {c ^ {2}} {h ^ {2}}} u + 2u ^ {3} \ right)}

unde este $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este sarcina electrică e $\varepsilon _{0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$ $\ varepsilon_0$ este constanta dielectrică a vidului .

Problema Kepler inversă

Ce fel de forță produce o orbită eliptică (sau mai general o secțiune conică ) în jurul unui focar al elipsei ?

Făcând de două ori derivata ecuației Binet pentru o elipsă pe care o avem

l\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-\varepsilon \cos \theta .

{\ displaystyle l \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} = - \ varepsilon \ cos \ theta.}

{\ displaystyle l \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} = - \ varepsilon \ cos \ theta.}

Prin urmare, legea forței este

F=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {-\varepsilon \cos \theta }{l}}+{\frac {1+\varepsilon \cos \theta }{l}}\right)=-{\frac {mh^{2}u^{2}}{l}}=-{\frac {mh^{2}}{lr^{2}}},

{\ displaystyle F = -mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {- \ varepsilon \ cos \ theta} {l}} + {\ frac {1+ \ varepsilon \ cos \ theta} { l}} \ right) = - {\ frac {mh ^ {2} u ^ {2}} {l}} = - {\ frac {mh ^ {2}} {lr ^ {2}}},}

{\ displaystyle F = -mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {- \ varepsilon \ cos \ theta} {l}} + {\ frac {1+ \ varepsilon \ cos \ theta} { l}} \ right) = - {\ frac {mh ^ {2} u ^ {2}} {l}} = - {\ frac {mh ^ {2}} {lr ^ {2}}},}

care este legea pătratului invers așa cum era de așteptat. Prin potrivirea valorilor orbitale $h^{2}/l$ ${\ displaystyle h ^ {2} / l}$ ${\ displaystyle h ^ {2} / l}$ la valori fizice precum $G. M.$ ${\ displaystyle GM}$ $GM$ sau $k_{e}q_{1}q_{2}/m$ ${\ displaystyle k_ {e} q_ {1} q_ {2} / m}$ ${\ displaystyle k_ {e} q_ {1} q_ {2} / m}$ se reproduce legea gravitației universale sau legea lui Coulomb .

Notă

^ Petr Křen, Sursa, câmpul sau metrica ? ( PDF ), pe wbabin.net . Adus la 15 noiembrie 2010 (Arhivat din original la 19 iunie 2010) .

Elemente conexe

Teorema lui Bertrand

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] Petr Křen, Sursa, câmpul sau metrica ? ( PDF ), pe wbabin.net . Adus la 15 noiembrie 2010 (Arhivat din original la 19 iunie 2010) .

[1]