Teorema lui Bertrand

Teorema lui Bertrand , în mecanica analitică , este o teoremă privind studiul mișcării unui corp într-un câmp central.

Afirmație

Este $V:\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ potențialul unui câmp conservator central și ambele $V\in \,C^{\omega }$ ${\ displaystyle V \ in \, C ^ {\ omega}}$ ${\ displaystyle V \ in \, C ^ {\ omega}}$ . Apoi, singurele forțe centrale (atractive) care dau naștere la orbite închise pentru fiecare condiție inițială corespunzătoare mișcărilor limitate non-rectilinii, cu abateri de la condiția orbitei circulare de ordin mai mare decât prima, sunt cele proporționale cu inversul pătratului a distanței de la centrul forței și a celui corespunzător legii lui Hooke . Deoarece aceste forțe sunt deductibile din potențialul V, cele de mai sus apar dacă și numai dacă V are forma:

$V(r)={\begin{cases}{\frac {k}{2}}r^{2}\\-{\frac {k}{r}}\end{cases}}\;\;k\geqslant 0$ ${\ displaystyle V (r) = {\ begin {cases} {\ frac {k} {2}} r ^ {2} \\ - {\ frac {k} {r}} \ end {cases}} \; \; k \ geqslant 0}$ ${\ displaystyle V (r) = {\ begin {cases} {\ frac {k} {2}} r ^ {2} \\ - {\ frac {k} {r}} \ end {cases}} \; \; k \ geqslant 0}$

Trebuie remarcat faptul că acestea nu sunt singurele câmpuri centrale conservatoare care admit orbite închise. Găsirea contraexemplelor este într-adevăr foarte simplă, de fapt dacă orice potențial echivalent (sau efectiv) V 'are un minim sau maxim izolat la o anumită distanță r0 de centrul forței și dacă energia totală E este egală cu V' evaluată în r0 , admite o orbită circulară, care este evident închisă, pentru valori bine determinate ale impulsului unghiular și ale energiei sistemului. (Potențialul V și potențialul efectiv V 'diferă printr-un addend, care ia numele de potențial centrifugal, în funcție de modulul momentului unghiular al sistemului în cauză și de distanța acestuia din urmă de centrul de forță).

Bibliografie

Arnold, VI, „Metode matematice ale mecanicii clasice”, Editori Riuniti, p. 41
Fasano A., Marmi S. (2006). „Mecanica analitică: o introducere”, Oxford University Press, p. 190
Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko, JL (2001). „Meccanica classico” (a 2-a ediție italiană bazată pe a 3-a ediție americană), Zanichelli (Addison-Wesley). p. 85

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica