Mișcarea orbitală

În cinematică , mișcarea orbitală sau mișcarea centrală este mișcarea caracterizată prin prezența unei accelerații centripete , legată de prezența unei forțe centrale , care atrage corpul sau punctul material , care orbitează spre corpul central.

Energia cinetică deținută de corpul care orbitează garantează stabilitatea orbitei. Alți parametri fiind egali, pe măsură ce crește viteza corpului care orbitează, distanța medie dintre cele două corpuri crește. Perturbările induse de viteza corpului care orbitează împing corpul spre o nouă orbită. Pentru o valoare a vitezei zero, distanța dintre cele două corpuri este zero, adică ele se ciocnesc datorită forței de interacțiune. În orice moment, viteza este tangențială orbitei, iar vectorul care o reprezintă poate fi compus dintr-o componentă radială și una ortogonală.

În cazul în care componenta radială este constant zero, mișcarea centrală își asumă caracteristicile unei mișcări circulare , adică o mișcare caracterizată printr-o orbită circulară , în timp ce în cazul în care componenta radială oscilează în intensitate și direcție, mișcarea centrală presupune caracteristicile unei mișcări eliptice , adică o mișcare care urmează o orbită eliptică . Dacă componenta radială este egală cu o anumită valoare critică, numită viteza de evacuare , corpul orbitant se va îndepărta la infinit de corpul central, deoarece mișcarea centrală va fi asumat caracteristicile unei mișcări parabolice , adică o mișcare de-a lungul unei traiectoria parabolică . Dacă componenta radială depășește valoarea vitezei de evacuare, corpul orbitant se va îndepărta de corpul central cu o mișcare hiperbolică , adică o mișcare care are loc de-a lungul unei traiectorii hiperbolice .

Formule pentru mișcarea centrală a lui Binet

Luați în considerare un punct material care are o accelerație centripetă $\mathbf {a} _{c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {c}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {c}}$ spre un punct fix al sistemului de referință în coordonate polare $(r,\theta )$ ${\ displaystyle (r, \ theta)}$ $(r, \ theta)$ sub examen. Deoarece suntem în prezența unei mișcări plane , ecuațiile care descriu viteza tangențială $\mathbf {v} _{\theta }$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ theta}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ theta}}$ și accelerația centripetă $\mathbf {a} _{c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {c}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {c}}$ Sunt:

{\begin{aligned}&\mathbf {v} _{\theta }=2\|{\dot {\mathbf {A} }}\|\left(-{\frac {\mathrm {d} k}{\mathrm {d} \theta }}{\hat {\mathbf {N} }}+k{\hat {\mathbf {T} }}\right)\\&\mathbf {a} _{c}=-4{\dot {A}}^{2}\,k^{2}{\hat {\mathbf {N} }}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}k}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+k\right)\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {v} _ {\ theta} = 2 \ | {\ dot {\ mathbf {A}}} \ | \ left (- {\ frac {\ mathrm {d} k} {\ mathrm {d} \ theta}} {\ hat {\ mathbf {N}}} + k {\ hat {\ mathbf {T}}} \ right) \\ & \ mathbf {a} _ {c } = - 4 {\ dot {A}} ^ {2} \, k ^ {2} {\ hat {\ mathbf {N}}} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} k } {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + k \ right) \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {v} _ {\ theta} = 2 \ | {\ dot {\ mathbf {A}}} \ | \ left (- {\ frac {\ mathrm {d} k} {\ mathrm {d} \ theta}} {\ hat {\ mathbf {N}}} + k {\ hat {\ mathbf {T}}} \ right) \\ & \ mathbf {a} _ {c } = - 4 {\ dot {A}} ^ {2} \, k ^ {2} {\ hat {\ mathbf {N}}} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} k } {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + k \ right) \\\ end {align}}}

unde este $k=1/r$ ${\ displaystyle k = 1 / r}$ ${\ displaystyle k = 1 / r}$ este curbura normală instantanee a traiectoriei , ${\hat {\mathbf {N} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}}}$ ar fi vectorul unitar normal, care coincide în orice moment cu cel radial, ${\hat {\mathbf {T} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}}}$ este vectorul tangențial e ${\dot {\mathbf {A} }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}}}$ este viteza areolară . În aceste condiții, momentul mecanic specific $\mathbf {c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$ $\ mathbf c$ este nul, de aceea avem:

0=\mathbf {c} =\mathbf {a} _{c}\times \mathbf {r} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} ={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {v} _{\theta }\times \mathbf {r} )}{\mathrm {d} t}}-\mathbf {v} _{\theta }\times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {v} _{\theta }\times \mathbf {r} )}{\mathrm {d} t}}-{\cancel {\mathbf {v} _{\theta }\times \mathbf {v} _{\theta }}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {v} _{\theta }\times \mathbf {r} )}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {h} }{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle 0 = \ mathbf {c} = \ mathbf {a} _ {c} \ times \ mathbf {r} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {\ theta}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {r} = {\ frac {\ mathrm {d} (\ mathbf {v} _ {\ theta} \ times \ mathbf {r})} {\ mathrm {d} t}} - \ mathbf {v} _ {\ theta} \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} (\ mathbf {v} _ {\ theta} \ times \ mathbf {r})} {\ mathrm {d} t}} - {\ cancel {\ mathbf {v} _ {\ theta} \ times \ mathbf {v } _ {\ theta}}} = {\ frac {\ mathrm {d} (\ mathbf {v} _ {\ theta} \ times \ mathbf {r})} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {h}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle 0 = \ mathbf {c} = \ mathbf {a} _ {c} \ times \ mathbf {r} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {\ theta}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {r} = {\ frac {\ mathrm {d} (\ mathbf {v} _ {\ theta} \ times \ mathbf {r})} {\ mathrm {d} t}} - \ mathbf {v} _ {\ theta} \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} (\ mathbf {v} _ {\ theta} \ times \ mathbf {r})} {\ mathrm {d} t}} - {\ cancel {\ mathbf {v} _ {\ theta} \ times \ mathbf {v } _ {\ theta}}} = {\ frac {\ mathrm {d} (\ mathbf {v} _ {\ theta} \ times \ mathbf {r})} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {h}} {\ mathrm {d} t}}}

Acest lucru este echivalent cu a spune că impulsul unghiular orbital specific $\mathbf {h}$ ${\ displaystyle \ mathbf {h}}$ ${\ mathbf h}$ este constantă în timp:

\mathbf {h} =\mathbf {v} _{\theta }\times \mathbf {r} =2\|{\dot {\mathbf {A} }}\|\left(-{\frac {\mathrm {d} k}{\mathrm {d} \theta }}{\hat {\mathbf {N} }}+k{\hat {\mathbf {T} }}\right)\times (r{\hat {\mathbf {N} }})=2\|{\dot {\mathbf {A} }}\|{\hat {\mathbf {T} }}\times {\hat {\mathbf {N} }}=2\|{\dot {\mathbf {A} }}\|{\hat {\mathbf {B} }}

{\ displaystyle \ mathbf {h} = \ mathbf {v} _ {\ theta} \ times \ mathbf {r} = 2 \ | {\ dot {\ mathbf {A}}} \ | \ left (- {\ frac {\ mathrm {d} k} {\ mathrm {d} \ theta}} {\ hat {\ mathbf {N}}} + k {\ hat {\ mathbf {T}}} \ right) \ times (r { \ hat {\ mathbf {N}}}) = 2 \ | {\ dot {\ mathbf {A}}} \ | {\ hat {\ mathbf {T}}} \ times {\ hat {\ mathbf {N} }} = 2 \ | {\ dot {\ mathbf {A}}} \ | {\ hat {\ mathbf {B}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {h} = \ mathbf {v} _ {\ theta} \ times \ mathbf {r} = 2 \ | {\ dot {\ mathbf {A}}} \ | \ left (- {\ frac {\ mathrm {d} k} {\ mathrm {d} \ theta}} {\ hat {\ mathbf {N}}} + k {\ hat {\ mathbf {T}}} \ right) \ times (r { \ hat {\ mathbf {N}}}) = 2 \ | {\ dot {\ mathbf {A}}} \ | {\ hat {\ mathbf {T}}} \ times {\ hat {\ mathbf {N} }} = 2 \ | {\ dot {\ mathbf {A}}} \ | {\ hat {\ mathbf {B}}}}

unde este ${\hat {\mathbf {B} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}}}$ este vectorul unitar binormal, amintindu-ne că $\mathbf {h}$ ${\ displaystyle \ mathbf {h}}$ ${\ mathbf h}$ este liniar dependent de $\mathbf {t}$ ${\ displaystyle \ mathbf {t}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {t}}$ și din $\mathbf {n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ mathbf n$ la fel. Dar atunci produsul mixt este nul:

0=\mathbf {v} \times \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =2{\dot {A}}\mathbf {b} \cdot \mathbf {r}

{\ displaystyle 0 = \ mathbf {v} \ times \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r} = 2 {\ dot {A}} \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {r}}

0 = {\ mathbf v} \ times {\ mathbf r} \ cdot {\ mathbf r} = 2 {\ dot A} {\ mathbf b} \ cdot {\ mathbf r}

prin urmare $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ rămâne pe planul care trece prin O care are o înclinație constantă așa cum este normal a $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf b$ .

Demonstrație

Dovada celor două formule ale lui Binet rezultă din regula lanțului , reamintind că ${\boldsymbol {\omega }}={\frac {2{\dot {\mathbf {A} }}}{r^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {2 {\ dot {\ mathbf {A}}}} {r ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {2 {\ dot {\ mathbf {A}}}} {r ^ {2}}}}$

\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \theta }}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \theta }}{\frac {2{\dot {\mathbf {A} }}}{r^{2}}}=-2{\dot {\mathbf {A} }}{\frac {\mathrm {d} (1/r)}{\mathrm {d} \theta }}=-2{\dot {\mathbf {A} }}{\frac {\mathrm {d} k}{\mathrm {d} \theta }}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} \ theta}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t} } = {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} \ theta}} {\ frac {2 {\ dot {\ mathbf {A}}}} {r ^ {2}}} = - 2 {\ dot {\ mathbf {A}}} {\ frac {\ mathrm {d} (1 / r)} {\ mathrm {d} \ theta}} = - 2 {\ dot {\ mathbf {A}} } {\ frac {\ mathrm {d} k} {\ mathrm {d} \ theta}}}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} \ theta}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t} } = {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} \ theta}} {\ frac {2 {\ dot {\ mathbf {A}}}} {r ^ {2}}} = - 2 {\ dot {\ mathbf {A}}} {\ frac {\ mathrm {d} (1 / r)} {\ mathrm {d} \ theta}} = - 2 {\ dot {\ mathbf {A}} } {\ frac {\ mathrm {d} k} {\ mathrm {d} \ theta}}}

Acum, în general pentru o mișcare plană:

\mathbf {v} ={\dot {r}}\mathbf {n} +{\dot {\theta }}r\mathbf {h} =-2{\dot {A}}{\frac {dk}{d\theta }}\mathbf {n} +2{\dot {A}}k\mathbf {h} =2{\dot {A}}\left(-{\frac {dk}{d\theta }}\mathbf {n} +k\mathbf {h} \right)

{\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ dot {r}} \ mathbf {n} + {\ dot {\ theta}} r \ mathbf {h} = -2 {\ dot {A}} {\ frac { dk} {d \ theta}} \ mathbf {n} +2 {\ dot {A}} k \ mathbf {h} = 2 {\ dot {A}} \ left (- {\ frac {dk} {d \ theta}} \ mathbf {n} + k \ mathbf {h} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ dot {r}} \ mathbf {n} + {\ dot {\ theta}} r \ mathbf {h} = -2 {\ dot {A}} {\ frac { dk} {d \ theta}} \ mathbf {n} +2 {\ dot {A}} k \ mathbf {h} = 2 {\ dot {A}} \ left (- {\ frac {dk} {d \ theta}} \ mathbf {n} + k \ mathbf {h} \ right)}

Dar apoi a doua derivată se menține:

{\ddot {r}}=-2{\dot {A}}{\frac {d^{2}({\frac {1}{r}})}{{d\theta }^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}=-{\frac {4{\dot {A}}^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}({\frac {1}{r}})}{{d\theta }^{2}}}

{\ displaystyle {\ ddot {r}} = - 2 {\ dot {A}} {\ frac {d ^ {2} ({\ frac {1} {r}})} {{d \ theta} ^ { 2}}} {\ frac {d \ theta} {dt}} = - {\ frac {4 {\ dot {A}} ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {d ^ { 2} ({\ frac {1} {r}})} {{d \ theta} ^ {2}}}}

{\ ddot r} = - 2 {\ dot A} {\ frac {d ^ {2} ({\ frac {1} {r}})} {{d \ theta} ^ {2}}} {\ frac {d \ theta} {dt}} = - {\ frac {4 {{\ dot A}} ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {d ^ {2} ({\ frac { 1} {r}})} {{d \ theta} ^ {2}}}

Deci, pentru o mișcare centrală:

\mathbf {a} =({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})\mathbf {n} =\left(-{\frac {4{\dot {A}}^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}k}{{d\theta }^{2}}}-{\frac {4{\dot {A}}^{2}}{r^{3}}}\right)\mathbf {n} =-{\frac {4{\dot {A}}^{2}}{r^{2}}}\left({\frac {d^{2}k}{{d\theta }^{2}}}+k\right)\mathbf {n}

{\ displaystyle \ mathbf {a} = ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}) \ mathbf {n} = \ left (- {\ frac {4 {\ dot {A}} ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {d ^ {2} k} {{d \ theta} ^ {2}}} - {\ frac {4 {\ dot { A}} ^ {2}} {r ^ {3}}} \ right) \ mathbf {n} = - {\ frac {4 {\ dot {A}} ^ {2}} {r ^ {2}} } \ left ({\ frac {d ^ {2} k} {{d \ theta} ^ {2}}} + k \ right) \ mathbf {n}}

{\ displaystyle \ mathbf {a} = ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}) \ mathbf {n} = \ left (- {\ frac {4 {\ dot {A}} ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {d ^ {2} k} {{d \ theta} ^ {2}}} - {\ frac {4 {\ dot { A}} ^ {2}} {r ^ {3}}} \ right) \ mathbf {n} = - {\ frac {4 {\ dot {A}} ^ {2}} {r ^ {2}} } \ left ({\ frac {d ^ {2} k} {{d \ theta} ^ {2}}} + k \ right) \ mathbf {n}}

Exemple

Două exemple de mișcare orbitală: mișcarea eliptică a unei planete în jurul Soarelui și a electronilor din jurul nucleului atomic conform modelului atomic al lui Rutherford.

Exemple de mișcare orbitală a unui corp ceresc în jurul corpului părinte ^[1] , atât mișcarea unui electron în jurul nucleului unui atom conform modelului atomic Rutherford , care reprezintă electronii ca particule care orbitează în jurul nucleului atomic, motiv pentru care este numit și modelul planetar și modelul atomic al lui Bohr . În mecanica cuantică, mișcarea orbitală contribuie la impulsul unghiular , dar există și alte contribuții, cum ar fi contribuția la rotire .

Notă

^ De exemplu, a unei planete în jurul soarelui sau a unei luni în jurul unei planete.

Elemente conexe

Portalul de astronomie

Portalul de fizică

[1] De exemplu, a unei planete în jurul soarelui sau a unei luni în jurul unei planete.

[1]