Problema celor două corpuri

Problema celor două corpuri se referă la mișcarea a două corpuri asemănătoare punctelor sub acțiunea doar a forțelor de interacțiune ale celor două corpuri în sine, care se presupune că sunt forțe centrale pentru care se ține al treilea principiu al dinamicii .

Ecuații de mișcare

Odată ce a fost stabilit un sistem de referință adecvat, indicăm cu ${\vec {r}}_{1}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1}}$ Și ${\vec {r}}_{2}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {2}}$ vectorii de poziție ai celor două corpuri și cu $m_{1}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ Și $m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ $m_ {2}$ masele lor. Dacă corpul 1 acționează asupra corpului 2 cu o forță ${\vec {F}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$ ${\ vec {F}}$ , prin legea acțiunii și reacției (al treilea principiu al dinamicii) corpul 2 acționează asupra lui 1 cu o forță $-{\vec {F}}$ ${\ displaystyle - {\ vec {F}}}$ ${\ displaystyle - {\ vec {F}}}$ : atunci ecuațiile mișcării sunt

-{\vec {F}}=m_{1}{\ddot {\vec {r}}}_{1}

{\ displaystyle - {\ vec {F}} = m_ {1} {\ ddot {\ vec {r}}} _ {1}}

{\ displaystyle - {\ vec {F}} = m_ {1} {\ ddot {\ vec {r}}} _ {1}}

{\vec {F}}=m_{2}{\ddot {\vec {r}}}_{2}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = m_ {2} {\ ddot {\ vec {r}}} _ {2}}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = m_ {2} {\ ddot {\ vec {r}}} _ {2}}

din care derivă

m_{1}{\ddot {r}}_{1}=-m_{2}{\ddot {r}}_{2}\Rightarrow m_{1}{\ddot {r}}_{1}+m_{2}{\ddot {r}}_{2}=0

{\ displaystyle m_ {1} {\ ddot {r}} _ {1} = - m_ {2} {\ ddot {r}} _ {2} \ Rightarrow m_ {1} {\ ddot {r}} _ { 1} + m_ {2} {\ ddot {r}} _ {2} = 0}

{\ displaystyle m_ {1} {\ ddot {r}} _ {1} = - m_ {2} {\ ddot {r}} _ {2} \ Rightarrow m_ {1} {\ ddot {r}} _ { 1} + m_ {2} {\ ddot {r}} _ {2} = 0}

În consecință, următoarea ecuație este valabilă pentru centrul de masă :

M_{tot}{\ddot {r}}_{cm}=0\Rightarrow {\ddot {r}}_{cm}=0

{\ displaystyle M_ {tot} {\ ddot {r}} _ {cm} = 0 \ Rightarrow {\ ddot {r}} _ {cm} = 0}

{\ displaystyle M_ {tot} {\ ddot {r}} _ {cm} = 0 \ Rightarrow {\ ddot {r}} _ {cm} = 0}

adică centrul de masă se mișcă cu mișcare rectilinie uniformă .

Observăm acum că

{\ddot {\vec {r}}}_{2}={\frac {1}{m_{2}}}\cdot {\vec {F}}

{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {2} = {\ frac {1} {m_ {2}}} \ cdot {\ vec {F}}}

{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {2} = {\ frac {1} {m_ {2}}} \ cdot {\ vec {F}}}

este asta

{\ddot {\vec {r}}}_{1}=-{\frac {1}{m_{1}}}\cdot {\vec {F}}

{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {1} = - {\ frac {1} {m_ {1}}} \ cdot {\ vec {F}}}

{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {1} = - {\ frac {1} {m_ {1}}} \ cdot {\ vec {F}}}

Prin urmare, cineva are

{\ddot {\vec {r}}}_{2}-{\ddot {\vec {r}}}_{1}={\vec {F}}({\frac {1}{m_{2}}}+{\frac {1}{m_{1}}}).

{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {2} - {\ ddot {\ vec {r}}} _ {1} = {\ vec {F}} ({\ frac {1} { m_ {2}}} + {\ frac {1} {m_ {1}}}).}

{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {2} - {\ ddot {\ vec {r}}} _ {1} = {\ vec {F}} ({\ frac {1} { m_ {2}}} + {\ frac {1} {m_ {1}}}).}

Introducerea coordonatei mișcării relative a corpului 2 față de corpul 1:

{\vec {r}}={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}

{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1}}

{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1}}

Se obține astfel

{\vec {F}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\ddot {\vec {r}}}:=\mu \;{\ddot {\vec {r}}}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \; {\ ddot {\ vec {r}}}: = \ mu \; {\ ddot {\ vec {r}}}}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \; {\ ddot {\ vec {r}}}: = \ mu \; {\ ddot {\ vec {r}}}}

unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ se numește masă redusă .

În cazul mișcării considerabile a două corpuri cerești, forța interacțiunii este dată de legea gravitației universale a lui Newton

{\vec {F}}=-\,{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\;{\hat {e}}_{r}:=-\,{\frac {k}{r^{2}}}\;{\hat {e}}_{r}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = - \, {\ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} \; {\ hat {e}} _ {r}: = - \, {\ frac {k} {r ^ {2}}} \; {\ hat {e}} _ {r}}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = - \, {\ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} \; {\ hat {e}} _ {r}: = - \, {\ frac {k} {r ^ {2}}} \; {\ hat {e}} _ {r}}

Ecuația diferențială a mișcării este atunci

\mu {\ddot {\vec {r}}}=-{\frac {k}{r^{2}}}{\hat {e_{r}}}.

{\ displaystyle \ mu {\ ddot {\ vec {r}}} = - {\ frac {k} {r ^ {2}}} {\ hat {e_ {r}}}.}

{\ displaystyle \ mu {\ ddot {\ vec {r}}} = - {\ frac {k} {r ^ {2}}} {\ hat {e_ {r}}}.}

Energia

Energia mecanică totală este constantă, deoarece singurele forțe considerate sunt conservatoare . Energia este egală cu suma energiei cinetice și a energiei potențiale , deci în cadrul inițial de referință pe care îl deține

E={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}+E_{pot}

{\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} m_ {1} v_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} m_ {2} v_ {2} ^ {2} + E_ {pot}}

{\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} m_ {1} v_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} m_ {2} v_ {2} ^ {2} + E_ {pot}}

În centrul sistemului de referință al masei, folosind formula forței găsită mai devreme, se poate lua în considerare masa redusă $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ la fel de îndepărtat r de originea sistemului.

Definim energia cinetică a masei reduse în raport cu corpul 1 ca fiind

K_{CM}={\frac {1}{2}}\;\mu \;v_{rel}^{2}

{\ displaystyle K_ {CM} = {\ frac {1} {2}} \; \ mu \; v_ {rel} ^ {2}}

{\ displaystyle K_ {CM} = {\ frac {1} {2}} \; \ mu \; v_ {rel} ^ {2}}

unde viteza relativă a corpului 2 apare față de corpul 1 ( ${\dot {\vec {r}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}}}$ ).

Trecând în coordonate polare putem scrie:

{\dot {\vec {r}}}={\dot {r}}{\hat {e}}_{r}+(r{\dot {\theta }}){\hat {e}}_{\theta }

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} = {\ dot {r}} {\ hat {e}} _ {r} + (r {\ dot {\ theta}}) {\ hat {e }} _ {\ theta}}

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} = {\ dot {r}} {\ hat {e}} _ {r} + (r {\ dot {\ theta}}) {\ hat {e }} _ {\ theta}}

prin urmare

K_{CM}={\frac {1}{2}}\;\mu ({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})

{\ displaystyle K_ {CM} = {\ frac {1} {2}} \; \ mu ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ { 2})}

{\ displaystyle K_ {CM} = {\ frac {1} {2}} \; \ mu ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ { 2})}

Energia potențială gravitațională deține

-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r}}=-{\frac {k}{r}}

{\ displaystyle - {\ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r}} = - {\ frac {k} {r}}}

{\ displaystyle - {\ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r}} = - {\ frac {k} {r}}}

Atunci

E={\frac {1}{2}}\;\mu \;({\dot {r}}^{2}+r^{2}\,{\dot {\theta }}^{2})-{\frac {k}{r}}

{\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \; \ mu \; ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} \, {\ dot {\ theta}} ^ {2}) - {\ frac {k} {r}}}

{\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \; \ mu \; ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} \, {\ dot {\ theta}} ^ {2}) - {\ frac {k} {r}}}

Momentul unghiular

Prin definiție, impulsul unghiular total al celor două corpuri este, în sistemul inițial,

{\vec {L}}_{tot}={\vec {r}}_{1}\times m_{1}\;{\vec {v}}_{1}+{\vec {r}}_{2}\times m_{2}\;{\vec {v}}_{2}

{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {tot} = {\ vec {r}} _ {1} \ times m_ {1} \; {\ vec {v}} _ {1} + {\ vec { r}} _ {2} \ times m_ {2} \; {\ vec {v}} _ {2}}

{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {tot} = {\ vec {r}} _ {1} \ times m_ {1} \; {\ vec {v}} _ {1} + {\ vec { r}} _ {2} \ times m_ {2} \; {\ vec {v}} _ {2}}

considerând originea sistemului ca un pol. În sistemul de referință al centrului de masă

{\vec {L}}_{cm}=\mu \;{\vec {r}}\times {\vec {v}}_{rel}=\mu \;r{\hat {e}}_{r}\times ({\dot {r}}{\hat {e}}_{r}+r{\dot {\theta }}{\hat {e}}_{\theta })=\mu r^{2}{\dot {\theta }}{\hat {z}}

{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {cm} = \ mu \; {\ vec {r}} \ times {\ vec {v}} _ {rel} = \ mu \; r {\ hat {e }} _ {r} \ times ({\ dot {r}} {\ hat {e}} _ {r} + r {\ dot {\ theta}} {\ hat {e}} _ {\ theta}) = \ mu r ^ {2} {\ dot {\ theta}} {\ hat {z}}}

{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {cm} = \ mu \; {\ vec {r}} \ times {\ vec {v}} _ {rel} = \ mu \; r {\ hat {e }} _ {r} \ times ({\ dot {r}} {\ hat {e}} _ {r} + r {\ dot {\ theta}} {\ hat {e}} _ {\ theta}) = \ mu r ^ {2} {\ dot {\ theta}} {\ hat {z}}}

.

Deoarece singurele forțe acționante sunt interne sistemului celor două corpuri, impulsul forțelor externe este zero și, prin urmare, impulsul unghiular este conservat. După cum se poate observa din ultima relație, dacă distanța relativă crește, viteza unghiulară trebuie să scadă ( $r^{2}{\dot {\theta }}$ ${\ displaystyle r ^ {2} {\ dot {\ theta}}}$ ${\ displaystyle r ^ {2} {\ dot {\ theta}}}$ este constantă) și invers.

Mai mult, nu numai modulul momentului unghiular este păstrat, ci și direcția : deoarece este întotdeauna perpendiculară pe planul mișcării (prin definiția momentului unghiular), rezultă că acest plan nu se schimbă în timp. Deci putem concluziona că mișcarea este plană.

Potențialul eficient

Amintind rezultatele obținute,

{\dot {\theta }}={\frac {L}{\mu r^{2}}}\Rightarrow E={\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}\mu r^{2}{\frac {L^{2}}{\mu ^{2}r^{4}}}-{\frac {k}{r}}

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = {\ frac {L} {\ mu r ^ {2}}} \ Rightarrow E = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {r} } ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ mu r ^ {2} {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r ^ {4}}} - {\ frac {k} {r}}}

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = {\ frac {L} {\ mu r ^ {2}}} \ Rightarrow E = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {r} } ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ mu r ^ {2} {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r ^ {4}}} - {\ frac {k} {r}}}

adică

E={\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {k}{r}}.

{\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {r}} ^ {2} + {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} - {\ frac {k} {r}}.}

{\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {r}} ^ {2} + {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} - {\ frac {k} {r}}.}

Este evident că primul termen al sumei nu depinde doar de distanța relativă, dar nu poate fi mai mic decât zero. În a doua parte a sumei, în schimb, apar două adaosuri care depind doar de $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ (celelalte cantități sunt constante!). Apoi definim funcția potențială efectivă ca

V_{eff}(r)={\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {k}{r}}.

{\ displaystyle V_ {eff} (r) = {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} - {\ frac {k} {r}}.}

{\ displaystyle V_ {eff} (r) = {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} - {\ frac {k} {r}}.}

Este ușor de văzut asta

\lim _{r\rightarrow \infty }V_{eff}=0^{-}\;;\;\lim _{r\rightarrow 0}V_{eff}=+\infty

{\ displaystyle \ lim _ {r \ rightarrow \ infty} V_ {eff} = 0 ^ {-} \ ;; \; \ lim _ {r \ rightarrow 0} V_ {eff} = + \ infty}

{\ displaystyle \ lim _ {r \ rightarrow \ infty} V_ {eff} = 0 ^ {-} \ ;; \; \ lim _ {r \ rightarrow 0} V_ {eff} = + \ infty}

Tendința potențialului efectiv în funcție de distanță

și studiind derivata găsim un punct minim pentru ${\bar {r}}={\frac {L^{2}}{k\mu }}$ ${\ displaystyle {\ bar {r}} = {\ frac {L ^ {2}} {k \ mu}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {r}} = {\ frac {L ^ {2}} {k \ mu}}}$ . Prin urmare, noua funcție are forma unui potențial puț ; este de asemenea clar că

V_{eff}=E\Leftarrow {\dot {r}}=0

{\ displaystyle V_ {eff} = E \ Leftarrow {\ dot {r}} = 0}

{\ displaystyle V_ {eff} = E \ Leftarrow {\ dot {r}} = 0}

adică, atunci când viteza radială este zero, potențialul efectiv este egal cu energia. Pe de altă parte,

V_{eff}=E\Rightarrow {\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {k}{r}}=E\Rightarrow L^{2}-2\mu kr=2\mu r^{2}E\Rightarrow 2\mu Er^{2}+2\mu kr-L^{2}=0

{\ displaystyle V_ {eff} = E \ Rightarrow {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} - {\ frac {k} {r}} = E \ Rightarrow L ^ { 2} -2 \ mu kr = 2 \ mu r ^ {2} E \ Rightarrow 2 \ mu Er ^ {2} +2 \ mu kr-L ^ {2} = 0}

{\ displaystyle V_ {eff} = E \ Rightarrow {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} - {\ frac {k} {r}} = E \ Rightarrow L ^ { 2} -2 \ mu kr = 2 \ mu r ^ {2} E \ Rightarrow 2 \ mu Er ^ {2} +2 \ mu kr-L ^ {2} = 0}

.

Rezolvăm această ultimă ecuație în $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ :

{\frac {\Delta }{4}}=\mu ^{2}k^{2}+2\mu EL^{2}\geq 0\Rightarrow E\geq -{\frac {\mu k^{2}}{2L^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta} {4}} = \ mu ^ {2} k ^ {2} +2 \ mu EL ^ {2} \ geq 0 \ Rightarrow E \ geq - {\ frac {\ mu k ^ {2}} {2L ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta} {4}} = \ mu ^ {2} k ^ {2} +2 \ mu EL ^ {2} \ geq 0 \ Rightarrow E \ geq - {\ frac {\ mu k ^ {2}} {2L ^ {2}}}}

acesta este

r={\frac {-\mu k\pm {\sqrt {\Delta /4}}}{2\mu E}}

{\ displaystyle r = {\ frac {- \ mu k \ pm {\ sqrt {\ Delta / 4}}} {2 \ mu E}}}

{\ displaystyle r = {\ frac {- \ mu k \ pm {\ sqrt {\ Delta / 4}}} {2 \ mu E}}}

.

Traiectoria

Să studiem acum soluțiile ecuației anterioare, pe măsură ce vom varia $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ . Există patru cazuri, care corespund secțiunilor conice :

circumferinta :

$E=-{\frac {\mu k^{2}}{2L^{2}}}\Rightarrow$ ${\ displaystyle E = - {\ frac {\ mu k ^ {2}} {2L ^ {2}}} \ Rightarrow}$ ${\ displaystyle E = - {\ frac {\ mu k ^ {2}} {2L ^ {2}}} \ Rightarrow}$ Soluția este în formă ${\frac {-n\pm 0}{-q}}\Rightarrow$ ${\ displaystyle {\ frac {-n \ pm 0} {- q}} \ Rightarrow}$ ${\ displaystyle {\ frac {-n \ pm 0} {- q}} \ Rightarrow}$ , prin urmare este acceptabil deoarece este pozitiv.

Sensul fizic este clar: energia rămâne constant egală cu potențialul efectiv, de unde și viteza radială ${\dot {r}}$ ${\ displaystyle {\ dot {r}}}$ ${\ dot {r}}$ nu este întotdeauna nimic. Traiectoria este un cerc de rază ${\frac {L^{2}}{\mu k}}$ ${\ displaystyle {\ frac {L ^ {2}} {\ mu k}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {L ^ {2}} {\ mu k}}}$ .

elipsa :

$-{\frac {\mu k^{2}}{2L^{2}}}<E<0\Rightarrow r={\frac {-n\pm p}{-q}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {\ mu k ^ {2}} {2L ^ {2}}} <E <0 \ Rightarrow r = {\ frac {-n \ pm p} {- q}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {\ mu k ^ {2}} {2L ^ {2}}} <E <0 \ Rightarrow r = {\ frac {-n \ pm p} {- q}}}$ cu $|p|<|n|.$ ${\ displaystyle | p | <| n |.}$ ${\ displaystyle | p | <| n |.}$

Apoi, există două soluții pozitive, deoarece

${\frac {-n-p}{-q}}>0\;;\;{\frac {-n+p}{-q}}>0$ ${\ displaystyle {\ frac {-np} {- q}}> 0 \ ;; \; {\ frac {-n + p} {- q}}> 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {-n-p} {- q}}> 0 \ ;; \; {\ frac {-n + p} {- q}}> 0}$

Practic sunt două locuri unde ${\dot {r}}=0$ ${\ displaystyle {\ dot {r}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ dot {r}} = 0}$ : aceasta este distanța relativă minimă și maximă (a se vedea figura). Corpul 2 nu se poate împinge dincolo de aceste puncte, deoarece ar trebui să aibă energie cinetică negativă. Apoi putem concluziona că traiectoria este închisă și are forma unei elipse cu focalizare corespunzătoare corpului 1 ( prima lege a lui Kepler ).

pildă :

$E=0\Rightarrow r={\frac {-n\pm n}{-q}}\Rightarrow r={\frac {2n}{q}}.$ ${\ displaystyle E = 0 \ Rightarrow r = {\ frac {-n \ pm n} {- q}} \ Rightarrow r = {\ frac {2n} {q}}.}$ ${\ displaystyle E = 0 \ Rightarrow r = {\ frac {-n \ pm n} {- q}} \ Rightarrow r = {\ frac {2n} {q}}.}$

Prin urmare, există o singură soluție, dar trebuie remarcat faptul că

$E=0\Rightarrow {\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {k}{r}}=0$ ${\ displaystyle E = 0 \ Rightarrow {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {r}} ^ {2} + {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2 }}} - {\ frac {k} {r}} = 0}$ ${\ displaystyle E = 0 \ Rightarrow {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {r}} ^ {2} + {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2 }}} - {\ frac {k} {r}} = 0}$

Deci când $r\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle r \ rightarrow \ infty}$ $r \ rightarrow \ infty$ , ${\dot {r}}=0$ ${\ displaystyle {\ dot {r}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ dot {r}} = 0}$ . Apoi traiectoria se închide la o distanță infinită: este o parabolă .

hiperbola :

$E>0\Rightarrow r={\frac {-n\pm p}{-q}}$ ${\ displaystyle E> 0 \ Rightarrow r = {\ frac {-n \ pm p} {- q}}}$ ${\ displaystyle E> 0 \ Rightarrow r = {\ frac {-n \ pm p} {- q}}}$ cu $|p|>|n|.$ ${\ displaystyle | p |> | n |.}$ ${\ displaystyle | p |> | n |.}$

Apoi, o singură soluție este pozitivă, deoarece ${\frac {-n-p}{-q}}>0\;;\;{\frac {-n+p}{-q}}<0.$ ${\ displaystyle {\ frac {-np} {- q}}> 0 \ ;; \; {\ frac {-n + p} {- q}} <0.}$ ${\ displaystyle {\ frac {-n-p} {- q}}> 0 \ ;; \; {\ frac {-n + p} {- q}} <0.}$

Traiectoria este deschisă și are forma unei hiperbole. În cazul particular $L=0$ ${\ displaystyle L = 0}$ ${\ displaystyle L = 0}$ , este o linie dreaptă .

Problema a două corpuri în mecanica cuantică

Același subiect în detaliu: Mișcarea într-un câmp central și atomul de hidrogen .

În mecanica cuantică , problema a două corpuri este fundamentală în studiul sistemelor compuse din două particule care interacționează, cum ar fi atomul de hidrogen , care este una dintre cele mai cunoscute aplicații.

Hamiltonianul care descrie sistemul este compus din termenii cinetici ai celor două particule și un potențial în funcție de distanța dintre ele

H(p,q)={\frac {p_{1}^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m_{2}}}+V(|q_{1}-q_{2}|)

{\ displaystyle H (p, q) = {\ frac {p_ {1} ^ {2}} {2m_ {1}}} + {\ frac {p_ {2} ^ {2}} {2m_ {2}} } + V (| q_ {1} -q_ {2} |)}

{\ displaystyle H (p, q) = {\ frac {p_ {1} ^ {2}} {2m_ {1}}} + {\ frac {p_ {2} ^ {2}} {2m_ {2}} } + V (| q_ {1} -q_ {2} |)}

Analiza simetriilor sistemului permite simplificări considerabile. La fel ca în cazul clasic, ne așteptăm ca atomul în ansamblu, ca un sistem izolat, să fie într-o stare staționară de mișcare și să ne putem plasa în sistemul de referință al centrului de masă pentru a eluda totalul mișcare prin concentrarea asupra celei relative. De fapt, observăm că potențialul este invariant în traduceri în acest sens

V(|({\vec {q}}_{1}+{\vec {a}})-({\vec {q}}_{2}+{\vec {a}})|)=V(|{\vec {q}}_{1}-{\vec {q}}_{2}|)

{\ displaystyle V (| ({\ vec {q}} _ {1} + {\ vec {a}}) - ({\ vec {q}} _ {2} + {\ vec {a}}) | ) = V (| {\ vec {q}} _ {1} - {\ vec {q}} _ {2} |)}

{\ displaystyle V (| ({\ vec {q}} _ {1} + {\ vec {a}}) - ({\ vec {q}} _ {2} + {\ vec {a}}) | ) = V (| {\ vec {q}} _ {1} - {\ vec {q}} _ {2} |)}

Acest lucru coincide cu faptul că impulsul total P este o constantă de mișcare

[P,H]=[p_{1},H]+[p_{2},H]={\frac {\partial V}{\partial q_{1}}}[p_{1},q_{1}]+{\frac {\partial V}{\partial q_{2}}}[p_{2},q_{2}]=-i\hbar V'{\frac {(q_{1}-q_{2})-(q_{1}-q_{2})}{|q_{1}-q_{2}|}}=0

{\ displaystyle [P, H] = [p_ {1}, H] + [p_ {2}, H] = {\ frac {\ partial V} {\ partial q_ {1}}} [p_ {1}, q_ {1}] + {\ frac {\ partial V} {\ partial q_ {2}}} [p_ {2}, q_ {2}] = - i \ hbar V '{\ frac {(q_ {1} -q_ {2}) - (q_ {1} -q_ {2})} {| q_ {1} -q_ {2} |}} = 0}

{\ displaystyle [P, H] = [p_ {1}, H] + [p_ {2}, H] = {\ frac {\ partial V} {\ partial q_ {1}}} [p_ {1}, q_ {1}] + {\ frac {\ partial V} {\ partial q_ {2}}} [p_ {2}, q_ {2}] = - i \ hbar V '{\ frac {(q_ {1} -q_ {2}) - (q_ {1} -q_ {2})} {| q_ {1} -q_ {2} |}} = 0}

Căutăm apoi o schimbare de variabile care este o transformare canonică , care, prin urmare, păstrează regulile de comutare și care evidențiază simetria. Două dintre noile variabile sunt recunoscute în generatorul de simetrie P și în cantitatea invariantă q care apare în potențial. Variabilele conjugate Q și p astfel încât

[q_{i},p_{j}]=[Q_{i},P_{j}]=i\hbar \delta _{ij}

{\ displaystyle [q_ {i}, p_ {j}] = [Q_ {i}, P_ {j}] = i \ hbar \ delta _ {ij}}

{\ displaystyle [q_ {i}, p_ {j}] = [Q_ {i}, P_ {j}] = i \ hbar \ delta _ {ij}}

[q_{i},P_{j}]=[Q_{i},p_{j}]=0

{\ displaystyle [q_ {i}, P_ {j}] = [Q_ {i}, p_ {j}] = 0}

{\ displaystyle [q_ {i}, P_ {j}] = [Q_ {i}, p_ {j}] = 0}

Primim atunci

Q={\frac {m_{1}q_{1}+m_{2}q_{2}}{m_{1}+m_{2}}}

{\ displaystyle Q = {\ frac {m_ {1} q_ {1} + m_ {2} q_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

{\ displaystyle Q = {\ frac {m_ {1} q_ {1} + m_ {2} q_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

p={\frac {m_{2}p_{1}-m_{1}p_{2}}{m_{1}+m_{2}}}

{\ displaystyle p = {\ frac {m_ {2} p_ {1} -m_ {1} p_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

{\ displaystyle p = {\ frac {m_ {2} p_ {1} -m_ {1} p_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

iar Hamiltonianul este rescris, introducând masa totală M și masa redusă $\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$ ${\ displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

H={\frac {P^{2}}{2M}}+{\frac {p^{2}}{2\mu }}+V(|q|)

{\ displaystyle H = {\ frac {P ^ {2}} {2M}} + {\ frac {p ^ {2}} {2 \ mu}} + V (| q |)}

{\ displaystyle H = {\ frac {P ^ {2}} {2M}} + {\ frac {p ^ {2}} {2 \ mu}} + V (| q |)}

În acest fel, am împărțit H în doi termeni exprimați în variabile diferite care comută între ei. Prin urmare, problema poate fi studiată separat, iar soluțiile vor fi de formă

\psi (Q,q)=\psi _{cm}(Q)\psi _{rel}(q)

{\ displaystyle \ psi (Q, q) = \ psi _ {cm} (Q) \ psi _ {rel} (q)}

{\ displaystyle \ psi (Q, q) = \ psi _ {cm} (Q) \ psi _ {rel} (q)}

E=E_{cm}+E_{rel}

{\ displaystyle E = E_ {cm} + E_ {rel}}

{\ displaystyle E = E_ {cm} + E_ {rel}}

Hamiltonianul centrului de masă este banal, soluțiile sale sunt unde plane. Partea interesantă a problemei este relativul hamiltonian.

H={\frac {p^{2}}{2\mu }}+V(|q|)

{\ displaystyle H = {\ frac {p ^ {2}} {2 \ mu}} + V (| q |)}

{\ displaystyle H = {\ frac {p ^ {2}} {2 \ mu}} + V (| q |)}

Observăm că potențialul nu depinde de unghiuri, deci este invariant sub rotații. De fapt, H, compus din termeni scalari, navetează cu impulsul unghiular L, care este generatorul rotațiilor.

[L,H]=0

{\ displaystyle [L, H] = 0}

{\ displaystyle [L, H] = 0}

Amintind că variabila conjugată a lui L este unghiul φ care apare în coordonatele sferice, putem rescrie H, procedând ca mai sus, sub forma

H={\frac {1}{r}}{\frac {p_{r}^{2}}{2\mu }}r+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+V(r)

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {r}} {\ frac {p_ {r} ^ {2}} {2 \ mu}} r + {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} + V (r)}

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {r}} {\ frac {p_ {r} ^ {2}} {2 \ mu}} r + {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} + V (r)}

unde apare impulsul radial

p_{r}={\frac {1}{|q|}}(q\cdot p)

{\ displaystyle p_ {r} = {\ frac {1} {| q |}} (q \ cdot p)}

{\ displaystyle p_ {r} = {\ frac {1} {| q |}} (q \ cdot p)}

Toate informațiile despre partea radială sunt, prin urmare, conținute în impulsul unghiular L și, din moment ce acesta face naveta cu H, putem proceda separat la identificarea soluțiilor. De fapt, ecuația Schrödinger este redusă la trei ecuații mai simple

L^{2}Y(\theta ,\phi )=\hbar ^{2}l(l+1)Y(\theta ,\phi )

{\ displaystyle L ^ {2} Y (\ theta, \ phi) = \ hbar ^ {2} l (l + 1) Y (\ theta, \ phi)}

{\ displaystyle L ^ {2} Y (\ theta, \ phi) = \ hbar ^ {2} l (l + 1) Y (\ theta, \ phi)}

L_{z}Y(\theta ,\phi )=\hbar mY(\theta ,\phi )

{\ displaystyle L_ {z} Y (\ theta, \ phi) = \ hbar mY (\ theta, \ phi)}

{\ displaystyle L_ {z} Y (\ theta, \ phi) = \ hbar mY (\ theta, \ phi)}

\left({{\frac {1}{r}}{\frac {p_{r}^{2}}{2\mu }}r+{\frac {\hbar ^{2}l(l+1)}{2\mu r^{2}}}+V(r)}\right)R(r)=ER(r)

{\ displaystyle \ left ({{\ frac {1} {r}} {\ frac {p_ {r} ^ {2}} {2 \ mu}} r + {\ frac {\ hbar ^ {2} l ( l +1)} {2 \ mu r ^ {2}}} + V (r)} \ right) R (r) = ER (r)}

{\ displaystyle \ left ({{\ frac {1} {r}} {\ frac {p_ {r} ^ {2}} {2 \ mu}} r + {\ frac {\ hbar ^ {2} l ( l +1)} {2 \ mu r ^ {2}}} + V (r)} \ dreapta) R (r) = ER (r)}

Prin urmare, soluția la problemă va fi produsul

\psi _{n,l,m}(r,\theta ,\phi )=R_{n}(r)Y_{l,m}(\theta ,\phi )

{\ displaystyle \ psi _ {n, l, m} (r, \ theta, \ phi) = R_ {n} (r) Y_ {l, m} (\ theta, \ phi)}

{\ displaystyle \ psi _ {n, l, m} (r, \ theta, \ phi) = R_ {n} (r) Y_ {l, m} (\ theta, \ phi)}

unde n, l, m sunt valorile proprii ale $H,L^{2},L_{z}$ ${\ displaystyle H, L ^ {2}, L_ {z}}$ ${\ displaystyle H, L ^ {2}, L_ {z}}$

Soluția radială este obținută prin amintirea definiției impulsului ca derivată în raport cu poziția conjugată r și prin explicarea potențialului. Soluțiile unghiulare Y, care se numesc armonici sferice , nu au nicio dependență de forma radială a potențialului. Prin urmare, acestea sunt soluții generale.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre problema cu două corpuri

linkuri externe

( EN ) Problema celor două corpuri , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 21921 · LCCN (EN) sh85139054 · GND (DE) 4191237-8 · BNF (FR) cb122621959 (data)

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică