Motocicletă într-un câmp central

În mecanica cuantică , mișcarea într-un câmp central este tipică pentru două particule care interacționează supuse unui potențial dependent de distanța reciprocă a ambelor. Problema poate fi redusă la o singură problemă a particulelor, așa cum se întâmplă în cazul clasic.

Problema celor două corpuri

Același subiect în detaliu: problemă cu două corpuri .

Să luăm două particule de masă $m_{1}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ și $m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ $m_ {2}$ interacționând printr-un potențial $V(r)$ ${\ displaystyle V (r)}$ ${\ displaystyle V (r)}$ unde r este distanța relativă a celor două particule. Operatorul hamiltonian este:

H={\frac {{\vec {p}}_{1}^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {{\vec {p}}_{2}^{2}}{2m_{2}}}+V(|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|)

{\ displaystyle H = {\ frac {{\ vec {p}} _ {1} ^ {2}} {2m_ {1}}} + {\ frac {{\ vec {p}} _ {2} ^ { 2}} {2m_ {2}}} + V (| {\ vec {r}} _ {1} - {\ vec {r}} _ {2} |)}

{\ displaystyle H = {\ frac {{\ vec {p}} _ {1} ^ {2}} {2m_ {1}}} + {\ frac {{\ vec {p}} _ {2} ^ { 2}} {2m_ {2}}} + V (| {\ vec {r}} _ {1} - {\ vec {r}} _ {2} |)}

Introducem noile variabile:

{\vec {R}}={\frac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}

{\ displaystyle {\ vec {R}} = {\ frac {m_ {1} {\ vec {r}} _ {1} + m_ {2} {\ vec {r}} _ {2}} {m_ { 1} + m_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ vec {R}} = {\ frac {m_ {1} {\ vec {r}} _ {1} + m_ {2} {\ vec {r}} _ {2}} {m_ { 1} + m_ {2}}}}

{\vec {r}}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}

{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {1} - {\ vec {r}} _ {2}}

{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {1} - {\ vec {r}} _ {2}}

unde este ${\vec {R}}$ ${\ displaystyle {\ vec {R}}}$ $\ vec R$ este vectorul de poziție al centrului de masă al celor două particule și ${\vec {r}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ vec r}$ este distanța reciprocă a celor două particule. Odată cu introducerea acestor două variabile, trebuie să transformăm operatorii de impuls și astfel Laplacianul energiei cinetice. Raportăm transformările:

{\frac {\partial }{\partial r_{1}}}={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\frac {\partial }{\partial R}}+{\frac {\partial }{\partial r}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial r_ {1}}} = {\ frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial R}} + {\ frac {\ partial} {\ partial r}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial r_ {1}}} = {\ frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial R}} + {\ frac {\ partial} {\ partial r}}}

{\frac {\partial }{\partial r_{2}}}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\frac {\partial }{\partial R}}-{\frac {\partial }{\partial r}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial r_ {2}}} = {\ frac {m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial R}} - {\ frac {\ partial} {\ partial r}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial r_ {2}}} = {\ frac {m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial R}} - {\ frac {\ partial} {\ partial r}}}

Gradienții (proporționali cu impulsurile) devin:

{\vec {\nabla }}_{1}={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {\nabla }}_{R}+{\vec {\nabla }}_{r}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} _ {1} = {\ frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} {\ vec {\ nabla}} _ {R} + {\ vec {\ nabla}} _ {r}}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} _ {1} = {\ frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} {\ vec {\ nabla}} _ {R} + {\ vec {\ nabla}} _ {r}}

Și

{\vec {\nabla }}_{2}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {\nabla }}_{R}-{\vec {\nabla }}_{r}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} _ {2} = {\ frac {m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} {\ vec {\ nabla}} _ {R} - {\ vec {\ nabla}} _ {r}}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} _ {2} = {\ frac {m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} {\ vec {\ nabla}} _ {R} - {\ vec {\ nabla}} _ {r}}

Luând pătratele gradienților obținem laplacienii:

\nabla _{1}^{2}={\frac {m_{1}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}\nabla _{R}^{2}+\nabla _{r}^{2}+{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {\nabla }}_{R}\cdot {\vec {\nabla }}_{r}

{\ displaystyle \ nabla _ {1} ^ {2} = {\ frac {m_ {1} ^ {2}} {(m_ {1} + m_ {2}) ^ {2}}} \ nabla _ {R } ^ {2} + \ nabla _ {r} ^ {2} + {\ frac {2m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} {\ vec {\ nabla}} _ {R} \ cdot {\ vec {\ nabla}} _ {r}}

{\ displaystyle \ nabla _ {1} ^ {2} = {\ frac {m_ {1} ^ {2}} {(m_ {1} + m_ {2}) ^ {2}}} \ nabla _ {R } ^ {2} + \ nabla _ {r} ^ {2} + {\ frac {2m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} {\ vec {\ nabla}} _ {R} \ cdot {\ vec {\ nabla}} _ {r}}

\nabla _{2}^{2}={\frac {m_{2}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}\nabla _{R}^{2}+\nabla _{r}^{2}-{\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {\nabla }}_{R}\cdot {\vec {\nabla }}_{r}

{\ displaystyle \ nabla _ {2} ^ {2} = {\ frac {m_ {2} ^ {2}} {(m_ {1} + m_ {2}) ^ {2}}} \ nabla _ {R } ^ {2} + \ nabla _ {r} ^ {2} - {\ frac {2m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} {\ vec {\ nabla}} _ {R} \ cdot {\ vec {\ nabla}} _ {r}}

{\ displaystyle \ nabla _ {2} ^ {2} = {\ frac {m_ {2} ^ {2}} {(m_ {1} + m_ {2}) ^ {2}}} \ nabla _ {R } ^ {2} + \ nabla _ {r} ^ {2} - {\ frac {2m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} {\ vec {\ nabla}} _ {R} \ cdot {\ vec {\ nabla}} _ {r}}

apoi Hamiltonianul este transformat:

H={\frac {{\vec {P}}^{2}}{2M}}+{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2\mu }}+V(r)

{\ displaystyle H = {\ frac {{\ vec {P}} ^ {2}} {2M}} + {\ frac {{\ vec {p}} ^ {2}} {2 \ mu}} + V (r)}

{\ displaystyle H = {\ frac {{\ vec {P}} ^ {2}} {2M}} + {\ frac {{\ vec {p}} ^ {2}} {2 \ mu}} + V (r)}

unde este

{\vec {P}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}_{R}

{\ displaystyle {\ vec {P}} = - i \ hbar {\ vec {\ nabla}} _ {R}}

{\ displaystyle {\ vec {P}} = - i \ hbar {\ vec {\ nabla}} _ {R}}

Și

{\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}_{r}

{\ displaystyle {\ vec {p}} = - i \ hbar {\ vec {\ nabla}} _ {r}}

{\ displaystyle {\ vec {p}} = - i \ hbar {\ vec {\ nabla}} _ {r}}

și unde au fost introduse masa totală și masa redusă , respectiv:

M=m_{1}+m_{2}\

{\ displaystyle M = m_ {1} + m_ {2} \}

{\ displaystyle M = m_ {1} + m_ {2} \}

\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}

{\ displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

{\ displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

Conform teoriei mecanicii cuantice, ecuația Schrödinger dependentă de timp:

H\Psi ({\vec {r}},t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}

{\ displaystyle H \ Psi ({\ vec {r}}, t) = i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi ({\ vec {r}}, t)} {\ partial t}}}

{\ displaystyle H \ Psi ({\ vec {r}}, t) = i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi ({\ vec {r}}, t)} {\ partial t}}}

admite soluții precum:

\Psi ({\vec {r}},t)=\psi ({\vec {r}})\cdot e^{-iEt/\hbar }

{\ displaystyle \ Psi ({\ vec {r}}, t) = \ psi ({\ vec {r}}) \ cdot e ^ {- iEt / \ hbar}}

{\ displaystyle \ Psi ({\ vec {r}}, t) = \ psi ({\ vec {r}}) \ cdot e ^ {- iEt / \ hbar}}

cu $e^{-iEt/\hbar }$ ${\ displaystyle e ^ {- iEt / \ hbar}}$ ${\ displaystyle e ^ {- iEt / \ hbar}}$ soluție legată de evoluția temporală a funcției de undă e $\psi ({\vec {r}})$ ${\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}})}$ ${\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}})}$ Funcția de undă pentru ecuația Schrödinger independentă de timp:

H\psi ({\vec {r}})=E\psi ({\vec {r}})

{\ displaystyle H \ psi ({\ vec {r}}) = E \ psi ({\ vec {r}})}

{\ displaystyle H \ psi ({\ vec {r}}) = E \ psi ({\ vec {r}})}

Acum, transformând Hamiltonianul, vedem că problema poate fi descompusă în două părți independente, prima parte este legată de soluția ecuației Schrödinger pentru mișcarea centrului de masă al sistemului cu două particule, cealaltă parte la mișcarea particulei $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ care se deplasează într-un câmp central în raport cu centrul de masă. Putem exprima funcția de undă totală ca:

\psi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})=\psi _{R}({\vec {R}})\cdot \psi _{r}({\vec {r}})

{\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}} _ {1}, {\ vec {r}} _ {2}) = \ psi _ {R} ({\ vec {R}}) \ cdot \ psi _ {r} ({\ vec {r}})}

{\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}} _ {1}, {\ vec {r}} _ {2}) = \ psi _ {R} ({\ vec {R}}) \ cdot \ psi _ {r} ({\ vec {r}})}

Soluția ecuației centrului de masă

Împărțind hamiltonienul în două părți la ecuația pentru centrul de masă obținem din ecuația relativă Schrödinger:

H_{\vec {R}}\psi _{R}({\vec {R}})=E_{\vec {R}}\psi _{R}({\vec {R}})

{\ displaystyle H _ {\ vec {R}} \ psi _ {R} ({\ vec {R}}) = E _ {\ vec {R}} \ psi _ {R} ({\ vec {R} })}

{\ displaystyle H _ {\ vec {R}} \ psi _ {R} ({\ vec {R}}) = E _ {\ vec {R}} \ psi _ {R} ({\ vec {R} })}

unde este $H_{\vec {R}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla _{\vec {R}}^{2}$ ${\ displaystyle H _ {\ vec {R}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2M}} \ nabla _ {\ vec {R}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle H _ {\ vec {R}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2M}} \ nabla _ {\ vec {R}} ^ {2}}$ . Soluția generală a acestei ecuații este cea a unei particule libere :

\psi _{R}({\vec {R}})=Ae^{i{\vec {k}}{\vec {R}}}+Be^{-i{\vec {k}}{\vec {R}}}

{\ displaystyle \ psi _ {R} ({\ vec {R}}) = Ae ^ {i {\ vec {k}} {\ vec {R}}} + Be ^ {- i {\ vec {k} } {\ vec {R}}}}

{\ displaystyle \ psi _ {R} ({\ vec {R}}) = Ae ^ {i {\ vec {k}} {\ vec {R}}} + Be ^ {- i {\ vec {k} } {\ vec {R}}}}

adică soluție de undă plană cu energie:

E_{\vec {R}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2M}}

{\ displaystyle E _ {\ vec {R}} = {\ frac {\ hbar ^ {2} k ^ {2}} {2M}}}

{\ displaystyle E _ {\ vec {R}} = {\ frac {\ hbar ^ {2} k ^ {2}} {2M}}}

Și $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este vectorul de undă: centrul de masă se mișcă ca o particulă liberă, deoarece nu este supus niciunui potențial.

Soluția ecuației radiale pentru particulă $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ supus câmpului central

Ecuația Schrödinger pentru particula unică, adică pentru masa redusă devine:

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+V(r)\right)\psi _{r}(r)=E\psi _{r}(r)

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ nabla ^ {2} + V (r) \ right) \ psi _ {r} (r) = E \ psi _ {r} (r)}

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ nabla ^ {2} + V (r) \ right) \ psi _ {r} (r) = E \ psi _ {r} (r)}

unde este $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ reprezintă energia netă a centrului de masă, adică reprezintă energia internă a sistemului. Din moment ce potențialul $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este sferic, putem folosi coordonate sferice , noul operator hamiltonian devine:

H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right]+V(r)

{\ displaystyle H = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ left [{\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac { \ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ varphi ^ {2}}} \ right] + V (r)}

{\ displaystyle H = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ left [{\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac { \ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ varphi ^ {2}}} \ right] + V (r)}

Această ecuație poate fi gestionată cu ușurință dacă reconsiderăm operatorul momentului unghiular în coordonate sferice:

{\mathcal {L}}=-\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right]

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - \ hbar ^ {2} \ left [{\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} } {\ partial \ varphi ^ {2}}} \ right]}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - \ hbar ^ {2} \ left [{\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} } {\ partial \ varphi ^ {2}}} \ right]}

Deci putem rescrie ecuația Schrödinger pentru particula unică ca:

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\frac {\mathcal {L}}{\hbar ^{2}r^{2}}}\right]+V(r)\right)\psi _{r}(r,\theta ,\varphi )=E\psi _{r}(r,\theta ,\varphi )

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ left [{\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ right) - {\ frac {\ mathcal {L}} {\ hbar ^ {2} r ^ {2 }}} \ right] + V (r) \ right) \ psi _ {r} (r, \ theta, \ varphi) = E \ psi _ {r} (r, \ theta, \ varphi)}

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ left [{\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ right) - {\ frac {\ mathcal {L}} {\ hbar ^ {2} r ^ {2 }}} \ right] + V (r) \ right) \ psi _ {r} (r, \ theta, \ varphi) = E \ psi _ {r} (r, \ theta, \ varphi)}

Soluția acestei ecuații poate fi luată în considerare în continuare:

\psi _{r}(r,\theta ,\varphi )=f(r)\cdot f(\theta )\cdot f(\varphi )

{\ displaystyle \ psi _ {r} (r, \ theta, \ varphi) = f (r) \ cdot f (\ theta) \ cdot f (\ varphi)}

{\ displaystyle \ psi _ {r} (r, \ theta, \ varphi) = f (r) \ cdot f (\ theta) \ cdot f (\ varphi)}

de fapt, pe de o parte, soluția părții unghiulare din fizica matematică în termeni de armonici sferice este bine cunoscută:

Y_{lm}(\theta ,\varphi )=\Theta _{lm}(\theta )\cdot \Phi (\varphi )

{\ displaystyle Y_ {lm} (\ theta, \ varphi) = \ Theta _ {lm} (\ theta) \ cdot \ Phi (\ varphi)}

{\ displaystyle Y_ {lm} (\ theta, \ varphi) = \ Theta _ {lm} (\ theta) \ cdot \ Phi (\ varphi)}

după cum se știe, armonicele sferice sunt funcții proprii simultane ale operatorului momentului unghiular ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathcal L}$ și proiecția sa de-a lungul axei z: ${\mathcal {L}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {z}}$ ; indicele $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ în schimb, acestea sunt numerele cuantice unghiulare și magnetice.

Soluția completă pentru particule $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ care orbitează centrul de masă (indicele $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ indică funcția sa de undă) este atunci:

\psi _{r}(r,\theta ,\varphi )=R_{E,l}(r)\cdot Y_{lm}(\theta ,\varphi )

{\ displaystyle \ psi _ {r} (r, \ theta, \ varphi) = R_ {E, l} (r) \ cdot Y_ {lm} (\ theta, \ varphi)}

{\ displaystyle \ psi _ {r} (r, \ theta, \ varphi) = R_ {E, l} (r) \ cdot Y_ {lm} (\ theta, \ varphi)}

Trebuie doar să găsim soluția rămasă a părții radiale a ecuației. De fapt, scrierea ecuației radiale de Schrödinger:

\left(-{\frac {1}{2\mu }}\left[{\frac {\hbar ^{2}}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d}{dr}}\right)-{\frac {l(l+1)\hbar ^{2}}{r^{2}}}\right]+V(r)\right)R_{E,l}(r)=E\cdot R_{E,l}(r)

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {1} {2 \ mu}} \ left [{\ frac {\ hbar ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr} } \ left (r ^ {2} {\ frac {d} {dr}} \ right) - {\ frac {l (l + 1) \ hbar ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right ] + V (r) \ right) R_ {E, l} (r) = E \ cdot R_ {E, l} (r)}

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {1} {2 \ mu}} \ left [{\ frac {\ hbar ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr} } \ left (r ^ {2} {\ frac {d} {dr}} \ right) - {\ frac {l (l + 1) \ hbar ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right ] + V (r) \ right) R_ {E, l} (r) = E \ cdot R_ {E, l} (r)}

unde este $l(l+1)\hbar ^{2}$ ${\ displaystyle l (l + 1) \ hbar ^ {2}}$ ${\ displaystyle l (l + 1) \ hbar ^ {2}}$ sunt valorile proprii ale operatorului momentului unghiular ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ , noi vedem asta $R_{E,l}$ ${\ displaystyle R_ {E, l}}$ ${\ displaystyle R_ {E, l}}$ depinde și de $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ dar nu din $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , de fapt operatorul nu apare ${\mathcal {L}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {z}}$ .

Să rescriem ecuația radială:

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}r^{2}{\frac {d}{dr}}+V_{eff}\right]R_{E,l}(r)=E\cdot R_{E,l}(r)

{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} r ^ {2} {\ frac {d} {dr}} + V_ {eff} \ right] R_ {E, l} (r) = E \ cdot R_ {E, l} (r)}

{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} r ^ {2} {\ frac {d} {dr}} + V_ {eff} \ right] R_ {E, l} (r) = E \ cdot R_ {E, l} (r)}

unde cu

V_{eff}={\frac {l(l+1)\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}+V(r)

{\ displaystyle V_ {eff} = {\ frac {l (l + 1) \ hbar ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} + V (r)}

{\ displaystyle V_ {eff} = {\ frac {l (l + 1) \ hbar ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} + V (r)}

am indicat potențialul efectiv numit energie potențială centrifugă (este respingător), deci vedem că ecuația radială este cea unidimensională a particulei (amintiți-vă că particula în cauză este masa redusă) care se deplasează într-un potențial efectiv. Rescriem în mod explicit ecuația radială ca:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {d}{dr}}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right]R_{E,l}+\left(V(r)-E\right)R_{E,l}(r)=0

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ left [{\ frac {1} {r}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r {\ frac {d} {dr}} \ right) + {\ frac {1} {r}} {\ frac {d} {dr}} - {\ frac {l (l + 1)} {r ^ {2} }} \ right] R_ {E, l} + \ left (V (r) -E \ right) R_ {E, l} (r) = 0}

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ left [{\ frac {1} {r}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r {\ frac {d} {dr}} \ right) + {\ frac {1} {r}} {\ frac {d} {dr}} - {\ frac {l (l + 1)} {r ^ {2} }} \ right] R_ {E, l} + \ left (V (r) -E \ right) R_ {E, l} (r) = 0}

Realizăm înlocuirea:

R_{E,l}(r)={\frac {\chi (r)}{r}}

{\ displaystyle R_ {E, l} (r) = {\ frac {\ chi (r)} {r}}}

{\ displaystyle R_ {E, l} (r) = {\ frac {\ chi (r)} {r}}}

asa de:

{\frac {1}{r}}{\frac {dR_{E,l}}{dr}}={\frac {1}{r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {d\chi }{dr}}-{\frac {\chi }{r^{2}}}\right)={\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {d\chi }{dr}}-{\frac {\chi }{r}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ frac {dR_ {E, l}} {dr}} = {\ frac {1} {r}} \ left ({\ frac {1} {r }} {\ frac {d \ chi} {dr}} - {\ frac {\ chi} {r ^ {2}}} \ right) = {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ left ({\ frac {d \ chi} {dr}} - {\ frac {\ chi} {r}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ frac {dR_ {E, l}} {dr}} = {\ frac {1} {r}} \ left ({\ frac {1} {r }} {\ frac {d \ chi} {dr}} - {\ frac {\ chi} {r ^ {2}}} \ right) = {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ left ({\ frac {d \ chi} {dr}} - {\ frac {\ chi} {r}} \ right)}

{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {dR_{E_{l}}}{dr}}\right)={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {d\chi }{dr}}-{\frac {\chi }{r}}\right)={\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d\chi }{dr}}+{\frac {1}{r^{3}}}\chi ={\frac {1}{r}}\left({\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {d\chi }{dr}}+{\frac {\chi }{r^{2}}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r {\ frac {dR_ {E_ {l}}} {dr}} \ right) = {\ frac {1} {r}} {\ frac {d} {dr}} \ left ({\ frac {d \ chi} {dr}} - {\ frac {\ chi} {r}} \ right) = {\ frac {1} {r}} {\ frac {d ^ {2} \ chi} {dr ^ {2}}} - {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d \ chi } {dr}} + {\ frac {1} {r ^ {3}}} \ chi = {\ frac {1} {r}} \ left ({\ frac {d ^ {2} \ chi} {dr ^ {2}}} - {\ frac {1} {r}} {\ frac {d \ chi} {dr}} + {\ frac {\ chi} {r ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r {\ frac {dR_ {E_ {l}}} {dr}} \ right) = {\ frac {1} {r}} {\ frac {d} {dr}} \ left ({\ frac {d \ chi} {dr}} - {\ frac {\ chi} {r}} \ right) = {\ frac {1} {r}} {\ frac {d ^ {2} \ chi} {dr ^ {2}}} - {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d \ chi } {dr}} + {\ frac {1} {r ^ {3}}} \ chi = {\ frac {1} {r}} \ left ({\ frac {d ^ {2} \ chi} {dr ^ {2}}} - {\ frac {1} {r}} {\ frac {d \ chi} {dr}} + {\ frac {\ chi} {r ^ {2}}} \ right)}

Ecuația Schrödinger pentru $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ devine

-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}{\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}+\left[{\frac {\hbar ^{2}l(l+1)}{2\mu r^{2}}}+V(r)-E\right]\chi =0

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} {\ frac {d ^ {2} \ chi} {dr ^ {2}}} + \ left [{\ frac {\ hbar ^ {2} l (l + 1)} {2 \ mu r ^ {2}}} + V (r) -E \ right] \ chi = 0}

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} {\ frac {d ^ {2} \ chi} {dr ^ {2}}} + \ left [{\ frac {\ hbar ^ {2} l (l + 1)} {2 \ mu r ^ {2}}} + V (r) -E \ right] \ chi = 0}

După cum se poate vedea din această ecuație, nu conține $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , de fapt este degenerat față de ${\mathcal {L}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {z}}$ întrucât într-un câmp central simetric toate direcțiile sunt egale. Funcția radială conține energia și numărul cuantic $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ , în timp ce partea unghiulară dată de armonicele sferice conține $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , deci mișcarea este complet definită de cele trei numere $n, L, m$ ${\ displaystyle n, l, m}$ ${\ displaystyle n, l, m}$ , care permit calcularea energiei, a momentului unghiular orbital și a componentei sale față de orice axă, care sunt trei operatori care formează un set complet de mărimi fizice pentru mișcare într-un câmp central simetric.

Soluția radială poate fi dată furnizând în mod explicit forma potențialului $V(r)$ ${\ displaystyle V (r)}$ ${\ displaystyle V (r)}$ cu condiția ca potențialul să nu fie singular la origine:

\lim _{r\to 0}r^{2}V(r)=0

{\ displaystyle \ lim _ {r \ to 0} r ^ {2} V (r) = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {r \ to 0} r ^ {2} V (r) = 0}

.

Cu toate acestea, putem vedea comportamentul asimptotic al funcției $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ . Pentru $r\to 0$ ${\ displaystyle r \ to 0}$ ${\ displaystyle r \ to 0}$ funcția trebuie să nu fie singulară, astfel încât condiția de mai sus trebuie să rămână în continuare:

\chi (0)=0

{\ displaystyle \ chi (0) = 0}

{\ displaystyle \ chi (0) = 0}

și ecuația pentru $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ devine:

{\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\chi \simeq 0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ chi} {dr ^ {2}}} - {\ frac {l (l + 1)} {r ^ {2}}} \ chi \ simeq 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ chi} {dr ^ {2}}} - {\ frac {l (l + 1)} {r ^ {2}}} \ chi \ simeq 0}

a cărei soluție poate fi găsită pentru:

\chi (r)\sim r^{s}

{\ displaystyle \ chi (r) \ sim r ^ {s}}

{\ displaystyle \ chi (r) \ sim r ^ {s}}

care, înlocuit în precedent, ne oferă ecuația:

s(s-1)-l(l+1)=0

{\ displaystyle s (s-1) -l (l + 1) = 0}

{\ displaystyle s (s-1) -l (l + 1) = 0}

adică o soluție $s=-l$ ${\ displaystyle s = -l}$ ${\ displaystyle s = -l}$ de la care $r^{-l}$ ${\ displaystyle r ^ {- l}}$ ${\ displaystyle r ^ {- l}}$ care are o origine neregulată și o soluție regulată $s=(l+1)$ ${\ displaystyle s = (l + 1)}$ ${\ displaystyle s = (l + 1)}$ de la care $r^{l+1}$ ${\ displaystyle r ^ {l + 1}}$ ${\ displaystyle r ^ {l + 1}}$ care satisface condiția de regularitate $\chi (0)=0$ ${\ displaystyle \ chi (0) = 0}$ ${\ displaystyle \ chi (0) = 0}$ .

Pentru $r\to \infty$ ${\ displaystyle r \ to \ infty}$ ${\ displaystyle r \ to \ infty}$ ecuația pentru $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ devine:

{\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}+{\frac {2\mu E}{\hbar ^{2}}}\chi \simeq 0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ chi} {dr ^ {2}}} + {\ frac {2 \ mu E} {\ hbar ^ {2}}} \ chi \ simeq 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ chi} {dr ^ {2}}} + {\ frac {2 \ mu E} {\ hbar ^ {2}}} \ chi \ simeq 0}

și folosind condiția de normalizare a funcției de undă:

\int _{0}^{\infty }dr\,r^{2}|R_{E,l}|^{2}=1\,\,\,\Rightarrow \,\,\int _{0}^{\infty }dr\,|\chi (r)|^{2}=1

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} dr \, r ^ {2} | R_ {E, l} | ^ {2} = 1 \, \, \, \ Rightarrow \, \, \ int _ {0} ^ {\ infty} dr \, | \ chi (r) | ^ {2} = 1}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} dr \, r ^ {2} | R_ {E, l} | ^ {2} = 1 \, \, \, \ Rightarrow \, \, \ int _ {0} ^ {\ infty} dr \, | \ chi (r) | ^ {2} = 1}

rezultă că funcția de undă trebuie în orice caz să tindă la zero pentru $r\to \infty$ ${\ displaystyle r \ to \ infty}$ ${\ displaystyle r \ to \ infty}$ . Pentru stări legate, adică pentru $E<0$ ${\ displaystyle E <0}$ ${\ displaystyle E <0}$ avem:

{\frac {2\mu E}{\hbar ^{2}}}=-k^{2}

{\ displaystyle {\ frac {2 \ mu E} {\ hbar ^ {2}}} = - k ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {2 \ mu E} {\ hbar ^ {2}}} = - k ^ {2}}

iar comportamentul asimptotic este:

\chi (r\to \infty )\sim e^{-kr}

{\ displaystyle \ chi (r \ to \ infty) \ sim e ^ {- kr}}

{\ displaystyle \ chi (r \ to \ infty) \ sim e ^ {- kr}}

În general, putem anticipa doar că soluția ecuației radiale este proporțională cu polinoamele Laguerre :

R_{E,l}(r)=R_{nl}(r)\propto N_{n,l}L_{n+l}^{2l+1}(\cdot )

{\ displaystyle R_ {E, l} (r) = R_ {nl} (r) \ propto N_ {n, l} L_ {n + l} ^ {2l + 1} (\ cdot)}

{\ displaystyle R_ {E, l} (r) = R_ {nl} (r) \ propto N_ {n, l} L_ {n + l} ^ {2l + 1} (\ cdot)}

unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este numărul cuantic principal , $L_{n+l}^{2l+1}(\cdot )$ ${\ displaystyle L_ {n + l} ^ {2l + 1} (\ cdot)}$ ${\ displaystyle L_ {n + l} ^ {2l + 1} (\ cdot)}$ sunt polinoamele Laguerre și $N_{nl}$ ${\ displaystyle N_ {nl}}$ ${\ displaystyle N_ {nl}}$ este o constantă de normalizare. Un exemplu tipic este cel al câmpului Coulomb care caracterizează atomul de hidrogen și particula liberă tridimensională.

Considerații suplimentare

După cum putem vedea, valorile proprii ale energiei depind doar de numărul cuantic principal $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , prin urmare energia este degenerată în raport cu $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ și din $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ : pentru fiecare $n=1,2,\dots ,\infty$ ${\ displaystyle n = 1,2, \ dots, \ infty}$ ${\ displaystyle n = 1,2, \ dots, \ infty}$ , valoarea proprie a momentului unghiular orbital poate lua valorile $l=0,1,\dots ,n-1$ ${\ displaystyle l = 0,1, \ dots, n-1}$ ${\ displaystyle l = 0,1, \ dots, n-1}$ și, pentru fiecare valoare de $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ , valoarea proprie a proiecției momentului unghiular poate lua valorile $m=-l,-l+1,\dots ,+l$ ${\ displaystyle m = -l, -l + 1, \ dots, + l}$ ${\ displaystyle m = -l, -l + 1, \ dots, + l}$ . Degenerarea totală este produsul degenerării în $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ adică poate lua n valori diferite plus degenerare în $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ care la rândul său poate lua n valori și, prin urmare, degenerarea totală $n^{2}$ ${\ displaystyle n ^ {2}}$ $n ^ {2}$ . În conformitate cu interpretarea probabilistică a mecanicii cuantice,

\int dr\,|\psi _{r}(r)|^{2}

{\ displaystyle \ int dr \, | \ psi _ {r} (r) | ^ {2}}

{\ displaystyle \ int dr \, | \ psi _ {r} (r) | ^ {2}}

reprezintă probabilitatea ca particula $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ orbita centrului de masă al sistemului este undeva în spațiu. Probabilitatea totală a funcției de undă este:

\int d{\vec {r}}\,|\Psi ({\vec {r}})|^{2}

{\ displaystyle \ int d {\ vec {r}} \, | \ Psi ({\ vec {r}}) | ^ {2}}

{\ displaystyle \ int d {\ vec {r}} \, | \ Psi ({\ vec {r}}) | ^ {2}}

Bibliografie

( EN ) BH Bransden și Charles J. Joachain, Physics of atoms and molecules , Boston, Addison-Wesley, 2005, ISBN 978-05-82-35692-4 .

Elemente conexe

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică