Traiectoria parabolică

Element principal: mișcare parabolică .

Exemple de traiectorii parabolice.

În cinematică , un corp își asumă o traiectorie parabolică atunci când se mișcă într-o mișcare rectilinie uniformă cu viteza inițială $v_{0}$ ${\ displaystyle v_ {0}}$ $v_0$ , în timp ce suferă o accelerație constantă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ nici paralel, nici ortogonal cu propria sa mișcare. Dacă fricțiunea vâscoasă poate fi considerată neglijabilă, ecuațiile parametrice ale traiectoriei unui corp cu $v_{0}$ ${\ displaystyle v_ {0}}$ $v_0$ care formează un unghi $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ cu orizontala sunt:

\left\{{\begin{aligned}&x=v_{x}t=(v_{0}\cos \theta )t\\&y=v_{y}t-{\frac {1}{2}}at^{2}=(v_{0}\sin \theta )t-{\frac {1}{2}}at^{2}\\\end{aligned}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & x = v_ {x} t = (v_ {0} \ cos \ theta) t \\ & y = v_ {y} t - {\ frac {1} {2}} la ^ {2} = (v_ {0} \ sin \ theta) t - {\ frac {1} {2}} la ^ {2} \\\ end {align}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & x = v_ {x} t = (v_ {0} \ cos \ theta) t \\ & y = v_ {y} t - {\ frac {1} {2}} la ^ {2} = (v_ {0} \ sin \ theta) t - {\ frac {1} {2}} la ^ {2} \\\ end {align}} \ right.}

De la nașterea mecanicii clasice cu Galileo , s-a observat că mișcarea parabolică aproximează cinematic mișcarea proiectilelor din aer , fiind $a=g$ ${\ displaystyle a = g}$ ${\ displaystyle a = g}$ se obține accelerația gravitației , prin substituție, din ecuațiile anterioare:

y=v_{0}\sin \theta \left({\frac {x}{v_{0}\cos \theta }}\right)-{\frac {1}{2}}g\left({\frac {x}{v_{0}\cos \theta }}\right)^{2}=x\tan \theta -{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x^{2}

{\ displaystyle y = v_ {0} \ sin \ theta \ left ({\ frac {x} {v_ {0} \ cos \ theta}} \ right) - {\ frac {1} {2}} g \ left ({\ frac {x} {v_ {0} \ cos \ theta}} \ right) ^ {2} = x \ tan \ theta - {\ frac {g} {2v_ {0} ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}} x ^ {2}}

{\ displaystyle y = v_ {0} \ sin \ theta \ left ({\ frac {x} {v_ {0} \ cos \ theta}} \ right) - {\ frac {1} {2}} g \ left ({\ frac {x} {v_ {0} \ cos \ theta}} \ right) ^ {2} = x \ tan \ theta - {\ frac {g} {2v_ {0} ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}} x ^ {2}}

De aici se remarcă faptul că ne confruntăm cu ecuația unei parabole cu vârf la punctul de coordonate $\left({\frac {2v_{0}^{2}}{g}}\sin \theta \cos \theta ,\ {\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\sin ^{2}\theta \right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {2v_ {0} ^ {2}} {g}} \ sin \ theta \ cos \ theta, \ {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {2g}} \ sin ^ {2} \ theta \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {2v_ {0} ^ {2}} {g}} \ sin \ theta \ cos \ theta, \ {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {2g}} \ sin ^ {2} \ theta \ right)}$ .

Mecanica cerească

Figura prezintă diferite tipuri de traiectorii. Cea parabolică este indicată în verde.

În mecanica cerească , în special în astrodinamică , o traiectorie parabolică este o orbită cu excentricitate egală cu 1. Dacă obiectul din traiectoria parabolică se îndepărtează de origine, orbita se numește evadare , dimpotrivă dacă obiectul se apropie se numește o orbită de captură .

Conform ipotezei standard , un obiect care călătorește pe o orbită de evacuare va ajunge la infinit cu o viteză relativă la corpul central egală cu zero, prin urmare nu va reveni niciodată la punctul său de plecare. Traiectoria parabolică este traiectoria de evacuare care necesită cea mai mică energie .

Viteză

Conform ipotezelor standard , viteza orbitală $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ a unui corp care se mișcă de-a lungul unei traiectorii parabolice poate fi calculat ca:

v={\sqrt {2{\frac {\mu }{r}}}}

{\ displaystyle v = {\ sqrt {2 {\ frac {\ mu} {r}}}}}

{\ displaystyle v = {\ sqrt {2 {\ frac {\ mu} {r}}}}}

unde este:

$r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este distanța radială a corpului care orbitează de corpul central,
$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este constanta gravitationala planetara .

În fiecare poziție corpul care orbitează va avea viteza de evacuare în raport cu poziția sa.

Dacă corpul are viteza de evacuare față de Pământ , nu va avea ceea ce este necesar pentru a ieși din sistemul solar , astfel încât traiectoria din apropierea Pământului va fi aproximativ o parabolă , în timp ce mai departe se va curba pentru a fi o orbită eliptică în jurul Soare.

Această viteză este foarte asemănătoare cu viteza orbitală a unui corp pe o orbită circulară cu o rază egală cu poziția radială a corpului însuși pe traiectoria parabolică:

v={\sqrt {2}}\,v_{0}

{\ displaystyle v = {\ sqrt {2}} \, v_ {0}}

{\ displaystyle v = {\ sqrt {2}} \, v_ {0}}

unde este:

$v_{0}$ ${\ displaystyle v_ {0}}$ $v_0$ este viteza orbitală a corpului pe o orbită circulară .

Ecuații de mișcare

Conform ipotezelor standard , pentru un corp care se mișcă în acest tip de traiectorie, ecuația orbitei va deveni:

r={\frac {h^{2}}{\mu (1+\cos \theta )}}

{\ displaystyle r = {\ frac {h ^ {2}} {\ mu (1+ \ cos \ theta)}}}

{\ displaystyle r = {\ frac {h ^ {2}} {\ mu (1+ \ cos \ theta)}}}

unde este:

$r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este distanța radială a corpului care orbitează de corpul central,
$h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este impulsul unghiular orbital specific al corpului orbitant,
$\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este adevărata anomalie a corpului care orbitează,
$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este constanta gravitationala planetara .

Putere

Conform ipotezelor standard , energia orbitală specifică $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ a unei traiectorii parabolice este zero, deci ecuația specifică de conservare a energiei în acest caz ia forma:

\varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=0

{\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {v ^ {2}} {2}} - {\ frac {\ mu} {r}} = 0}

{\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {v ^ {2}} {2}} - {\ frac {\ mu} {r}} = 0}

unde este:

$v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este viteza orbitală a corpului care orbitează,
$r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este distanța radială a corpului care orbitează de corpul central,
$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este constanta gravitationala planetara .

Elemente conexe

Portalul astronauticii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de astronautică