Momentul unghiular specific

În mecanica clasică , momentul unghiular specific este o mărime vectorială definită ca moment unghiular pe unitate de masă , adică ținând cont de faptul că momentul unghiular reprezintă momentul momentului , acesta reprezintă momentul vitezei . Este indicat cu $\mathbf {h}$ ${\ displaystyle \ mathbf {h}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {h}}$ și este egal cu produsul vector al poziției vectoriale $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ și vectorul viteză $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ :

\mathbf {h} ={\mathbf {r} \times \mathbf {v} }

{\ displaystyle \ mathbf {h} = {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}}}

{\ displaystyle \ mathbf {h} = {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}}}

în plus, în sistemul internațional se măsoară în m ² · s ^-1 ( metru pătrat pe secundă ).

Știind că

{\begin{aligned}&\mathbf {r} =r_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+r_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+r_{z}{\hat {\mathbf {k} }}\\&\mathbf {v} =v_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {k} }}\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {r} = r_ {x} {\ hat {\ mathbf {i}}} + r_ {y} {\ hat {\ mathbf {j}}} + r_ { z} {\ hat {\ mathbf {k}}} \\ & \ mathbf {v} = v_ {x} {\ hat {\ mathbf {i}}} + v_ {y} {\ hat {\ mathbf {j }}} + v_ {z} {\ hat {\ mathbf {k}}} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {r} = r_ {x} {\ hat {\ mathbf {i}}} + r_ {y} {\ hat {\ mathbf {j}}} + r_ { z} {\ hat {\ mathbf {k}}} \\ & \ mathbf {v} = v_ {x} {\ hat {\ mathbf {i}}} + v_ {y} {\ hat {\ mathbf {j }}} + v_ {z} {\ hat {\ mathbf {k}}} \\\ end {align}}}

Prin dezvoltarea produsului vector obținem:

\mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} =\det {\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {i} }}&{\hat {\mathbf {j} }}&{\hat {\mathbf {k} }}\\r_{x}&r_{y}&r_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\\end{bmatrix}}=h_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+h_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+h_{z}{\hat {\mathbf {k} }}

{\ displaystyle \ mathbf {h} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v} = \ det {\ begin {bmatrix} {\ hat {\ mathbf {i}}} și {\ hat {\ mathbf {j }}} & {\ hat {\ mathbf {k}}} \\ r_ {x} & r_ {y} & r_ {z} \\ v_ {x} & v_ {y} & v_ {z} \\\ end {bmatrix}} = h_ {x} {\ hat {\ mathbf {i}}} + h_ {y} {\ hat {\ mathbf {j}}} + h_ {z} {\ hat {\ mathbf {k }}}}

{\ displaystyle \ mathbf {h} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v} = \ det {\ begin {bmatrix} {\ hat {\ mathbf {i}}} și {\ hat {\ mathbf {j }}} & {\ hat {\ mathbf {k}}} \\ r_ {x} & r_ {y} & r_ {z} \\ v_ {x} & v_ {y} & v_ {z} \\\ end {bmatrix}} = h_ {x} {\ hat {\ mathbf {i}}} + h_ {y} {\ hat {\ mathbf {j}}} + h_ {z} {\ hat {\ mathbf {k }}}}

Moment mecanic specific

Deoarece momentul unghiular specific este definit ca moment unghiular pe unitate de masă, aplicând a doua ecuație cardinală a dinamicii , presupunând că masa totală a sistemului este constantă, obținem:

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {L} }{m}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {\mathbf {p} }{m}}\right)=\\[4pt]&={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times {\frac {\mathbf {p} }{m}}+\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {p} }{m}}\right)=\\[4pt]&=(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{O})\times {\frac {\mathbf {p} }{m}}+\mathbf {r} \times {\frac {\mathbf {F} }{m}}=\\[4pt]&={\cancel {\mathbf {v} \times {\frac {\mathbf {p} }{m}}}}-\mathbf {v} _{O}\times {\frac {\mathbf {p} }{m}}+{\frac {\mathbf {M} }{m}}\\[4pt]\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ mathbf {L}} {m}} \ right) & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (\ mathbf {r} \ times {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} \ right) = \\ [ 4pt] & = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} \ times {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} + \ mathbf {r} \ times {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ mathbf {p}} {m}} \ right) = \\ [4pt] & = ( \ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {O}) \ times {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} + \ mathbf {r} \ times {\ frac {\ mathbf {F}} {m}} = \\ [4pt] & = {\ cancel {\ mathbf {v} \ times {\ frac {\ mathbf {p}} {m}}}} - \ mathbf {v} _ {O} \ ori {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} + {\ frac {\ mathbf {M}} {m}} \\ [4pt] \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ mathbf {L}} {m}} \ right) & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (\ mathbf {r} \ times {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} \ right) = \\ [ 4pt] & = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} \ times {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} + \ mathbf {r} \ times {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ mathbf {p}} {m}} \ right) = \\ [4pt] & = ( \ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {O}) \ times {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} + \ mathbf {r} \ times {\ frac {\ mathbf {F}} {m}} = \\ [4pt] & = {\ cancel {\ mathbf {v} \ times {\ frac {\ mathbf {p}} {m}}}} - \ mathbf {v} _ {O} \ ori {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} + {\ frac {\ mathbf {M}} {m}} \\ [4pt] \ end {align}}}

unde este $\mathbf {v} _{O}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ este viteza polului față de care se calculează impulsul unghiular. Prin urmare, ecuația văzută mai sus poate fi rescrisă ca:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {h} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {c} -\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {v}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {h}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {c} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {v} }

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {h}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {c} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {v} }

unde este $\mathbf {c} =\mathbf {r} \times \mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}}$ este momentul mecanic specific, adică momentul mecanic pe unitate de masă, adică, ținând cont de faptul că momentul mecanic reprezintă momentul forței , acesta reprezintă momentul accelerării . În cazul în care polul este staționar, coincide cu centrul de masă sau are viteza sa paralelă cu viteza totală a sistemului, ecuația ia forma simplificată:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {h} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {c}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {h}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {c}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {h}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {c}}

Aplicații

Momentul unghiular specific joacă un rol important în mecanica cerească , de fapt sub ipotezele obișnuite ale problemei celor două corpuri care respectă legea gravitației universale , luând vectorul de poziție și vectorul de viteză al corpului care orbitează timpul de referință, rezultă că produsul lor vector este impulsul unghiular orbital specific . Acesta din urmă reprezintă o constantă vectorială a mișcării unei orbite, adică momentul mecanic specific corespunzător este conservat în timp $\mathbf {c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$ va fi nul.

Aceasta înseamnă că poziția vectorială $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ și vectorul viteză $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ se schimbă în timpul mișcării, dar impulsul lor unghiular orbital rămâne constant în timp. Sub ipotezele obișnuite, direcția momentului unghiular orbital specific $\mathbf {h}$ ${\ displaystyle \ mathbf {h}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {h}}$ este menținut perpendicular pe planul orbital, prin urmare, constanța vectorului examinat garantează că mișcarea rămâne plană.

Celelalte constante vectoriale ale unei orbite , pe lângă impulsul unghiular orbital specific $\mathbf {h}$ ${\ displaystyle \ mathbf {h}}$ $\ mathbf {h}$ , sunt excentricitatea vectorială $\mathbf {e}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e}}$ și energia orbitală specifică $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , în special, aceasta din urmă este o cantitate scalară. Constantele scalare sunt 7 pe măsură ce se creează o^{incertitudine [ neclară ]} , deoarece produsul scalar dintre $\mathbf {h}$ ${\ displaystyle \ mathbf {h}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {h}}$ și $\mathbf {e}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e}}$ este nul, adică sunt vectori perpendiculari.

Bibliografie

( EN ) David Anthony Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications , Springer, 2001, ISBN 0-7923-6903-3 .

Elemente conexe

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică