Formula Cauchy-Binet

În matematică și mai precis în algebră liniară , formula Cauchy-Binet este un rezultat care generalizează teorema lui Binet , permițând calcularea determinantului produsului a două matrice astfel încât numărul de coloane din prima să fie egal cu numărul de rânduri a doua și numărul de coloane ale celei de-a doua este egal cu numărul de rânduri ale primei.

Formula este valabilă pentru tablourile cu valori în orice inel comutativ .

Afirmație

Lasa-i sa fie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ două matrice respectiv de tip $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ Și $n\times m$ ${\ displaystyle n \ times m}$ $n \ ori m$ . Produsul lor $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ este deci o matrice pătrată $m\times m$ ${\ displaystyle m \ times m}$ $m \ times m$ .

Formula Cauchy-Binet exprimă determinantul lui $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ ca:

\det(AB)=\sum _{S}\det(A_{S})\det(B_{S})

{\ displaystyle \ det (AB) = \ sum _ {S} \ det (A_ {S}) \ det (B_ {S})}

\ det (AB) = \ sum _ {S} \ det (A_ {S}) \ det (B_ {S})

unde este $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ variază între subseturi cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ elemente ale întregului $\{1,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle \ {1, \ ldots, n \}}$ $\ {1, \ ldots, n \}$ . Pentru fiecare $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , matricea $A_{S}$ ${\ displaystyle A_ {S}}$ $LA FEL DE}$ este minorul de ordine $m\times m$ ${\ displaystyle m \ times m}$ $m \ times m$ obținut de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ luând doar coloanele ai căror indici aparțin $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . În mod similar, $B_{S}$ ${\ displaystyle B_ {S}}$ $B_ {S}$ este minorul de ordine $m\times m$ ${\ displaystyle m \ times m}$ $m \ times m$ obținut de $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ luând doar rândurile ale căror indici aparțin $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .

Proprietate

În cazul în care $m=n$ ${\ displaystyle m = n}$ $m = n$ , suma se efectuează pe un singur termen și formula coincide cu enunțul teoremei lui Binet .
De sine $m>n$ ${\ displaystyle m> n}$ $m> n$ , întregul $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este gol și determinantul este deci nul.
De sine $m<n$ ${\ displaystyle m <n}$ $m <n$ , întregul $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este format din ${\binom {n}{m}}$ ${\ displaystyle {\ binom {n} {m}}}$ ${\ binom {n} {m}}$ elemente (numărul este descris folosind un coeficient binomial ).

Interpretare în spațiul euclidian

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice reală $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ , determinantul $A^{t}A$ ${\ displaystyle A ^ {t} A}$ $A ^ {t} A$ este egal cu pătratul volumului $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ --Dimensională a paralelotopului în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ generat din coloanele din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Formula Binet-Cauchy descrie astfel această cantitate ca suma pătratelor volumelor proiecțiilor ortogonale pe diferitele subspatii coordonate ale dimensiunii $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ . In caz $m=1$ ${\ displaystyle m = 1}$ $m = 1$ , aceste proiecții ortogonale sunt segmente și găsim o formulare a teoremei lui Pitagora .

Relația cu delta Kronecker generalizată

Același subiect în detaliu: Delta Kronecker .

Formula Cauchy - Binet este echivalentă cu relația:

\det(L_{f}R_{g})=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]})

{\ displaystyle \ det (L_ {f} R_ {g}) = \ sum _ {S \ in {\ tbinom {[n]} {m}}} \ det ((L_ {f}) _ {[m] , S}) \ det ((R_ {g}) _ {S, [m]})}}

\ det (L_ {f} R_ {g}) = \ sum _ {{S \ in {\ tbinom {[n]} m}}} ​​\ det ((L_ {f}) _ {{[m] , S}}) \ det ((R_ {g}) _ {{S, [m]}})

unde este:

L_{f}={\bigl (}(\delta _{f(i),j})_{i\in [m],j\in [n]}{\bigr )}\qquad R_{g}={\bigl (}(\delta _{j,g(k)})_{j\in [n],k\in [m]}{\bigr )}

{\ displaystyle L_ {f} = {\ bigl (} (\ delta _ {f (i), j}) _ {i \ in [m], j \ in [n]} {\ bigr)} \ qquad R_ {g} = {\ bigl (} (\ delta _ {j, g (k)}) _ {j \ in [n], k \ in [m]} {\ bigr)}}

L_ {f} = {\ bigl (} (\ delta _ {{f (i), j}}) _ {{i \ in [m], j \ in [n]}} {\ bigr)} \ qquad R_ {g} = {\ bigl (} (\ delta _ {{j, g (k)}}) _ {{j \ in [n], k \ in [m]}} {\ bigr)}

De asemenea avem:

\delta _{g(1)\dots g(m)}^{f(1)\dots f(m)}=\sum _{k:[m]\to [n] \atop k(1)<\dots <k(m)}\delta _{k(1)\dots k(m)}^{f(1)\dots f(m)}\delta _{g(1)\dots g(m)}^{k(1)\dots k(m)}

{\ displaystyle \ delta _ {g (1) \ dots g (m)} ^ {f (1) \ dots f (m)} = \ sum _ {k: [m] \ to [n] \ atop k ( 1) <\ dots <k (m)} \ delta _ {k (1) \ dots k (m)} ^ {f (1) \ dots f (m)} \ delta _ {g (1) \ dots g (m)} ^ {k (1) \ dots k (m)}}

\ delta _ {{g (1) \ dots g (m)}} ^ {{f (1) \ dots f (m)}} = \ sum _ {{k: [m] \ to [n] \ atop k (1) <\ dots <k (m)}} \ delta _ {{k (1) \ dots k (m)}} ^ {{f (1) \ dots f (m)}} \ delta _ { {g (1) \ dots g (m)}} ^ {{k (1) \ dots k (m)}}

Bibliografie

( EN ) Joel G. Broida și S. Gill Williamson. O introducere cuprinzătoare a algebrei liniare , §4.6 Teorema lui Cauchy-Binet, pp. 208-14, Addison-Wesley, 1989, ISBN 0-201-50065-5 .
( EN ) Shafarevich, Igor R. , Remizov, Alexey O. Linge Algebra and Geometry , §2.9 (p. 68) & §10.5 (p. 377), Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AA. VV., Formula Cauchy Binet , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică